1、等腰三角形存在性问题巩固练习等腰三角形存在性问题巩固练习(提优提优) 1在平面直角坐标系中，点 A(，)，B(3，3)，动点 C 在 x 轴上，若以 A、B、C 三点为顶 点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】B 【解析】如图， ， AB 所在的直线是 yx， 设 AB 的中垂线所在的直线是 yx+b， 点 A(，)，B， AB 的中点坐标是， 把 x，y代入 yx+b， 解得 b， AB 的中垂线所在的直线是， ， 以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与 x 轴的交点为点 C2、C3； ， ， 以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与
2、 x 轴没有交点 综上，可得 若以 A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为 3 故选：B 2平面直角坐标系中，已知 A(5，0)，点 P 在第二象限，AOP 是以 OA 为腰的等腰三角形，且面积为 10，则满足条件的 P 点坐标为 【解答】(3，4)或(8，4)或(2，4) 【解析】设 P(m，n) A(5，0)， OA5， SPOA10， 5n10， n4， 当 OPOA5 时，m2+4252， m3， m0， m3， P(3，4)， 当 AP5 时，(m+5)2+4252， m2 或8， P(8，4)或(2，4) 故答案为(3.4)或(8，4)或(2，4) 3 在
3、RtABC 中， ACB90， CAB36， 在直线 AC 或 BC 上取点 M， 使得MAB 为等腰三角形， 符合条件的 M 点有 个 【解答】8 【解析】如图所示： 以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线 AC 有二点 M1，M2，交 BC 有一点 M3，(此时 ABAM)； 以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线 BC 有二点 M5，M4，交 AC 有一点 M6(此时 BMBA) AB 的垂直平分线交 AC 一点 M7(MAMB)，交直线 BC 于点 M8； 符合条件的点有 8 个 4如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，已知 A(4，3)，P 是坐标轴上的动点，当点 O，A，P 三
4、点组成 的三角形为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点 P 坐标 【解答】见解析 【解析】如图所示， 满足条件的点 P 有 8 个，其坐标分别为 P1(5，0)、P2(8，0)、P3(0，5)、P4(0，6)、P5(5，0)、P6(0， 5)、P7(0，)、P8(，0) 5如图，已知在平面直角坐标系中，A(0，1)、B(2，0)、C(4，0) (1)求ABC 的面积； (2)在 y 轴上是否存在一个点 D，使得ABD 是以 AB 为底的等腰三角形，若存在，求出点 D 坐标；若不 存，说明理由 (3)有一个 P(4，a)，使得 SPABSABC，请你求出 a 的值 【解答】(1)3；(2)D
5、(0，)；(3)a 的值为 4 或2 【解析】(1)A(0，1)、B(2，0)、C(4，0)， AO1，BC6， ABC 的面积613； (2)存在一个点 D，使得ABD 是以 AB 为底的等腰三角形如图所示， 设 D(0，a)，则 AD1+a，ODa， BDAD1+a，BOD90， RtBOD 中，OD2+OB2BD2， a2+22(a+1)2， 解得 a， D(0，)； (3)在 x 轴负半轴上取点 D(4，0)，过 D 作 x 轴的垂线 l，则点 P 在该垂线 l 上， 过 C 作 CPAB，交 l 于点 P，则 SPABSABC， A(0，1)、B(2，0)， 直线 AB 的解析式为
6、yx1， 设直线 CP 解析式为 yx+b， 把 C(4，0)代入，可得 02+b， 解得 b2， 直线 CP 解析式为 yx+2， F(0，2)， 当 x4 时，y2+24， P(4，4)； 当点 P在 x 轴下方时，设过 P且平行于 AB 的直线交 y 轴于 E，则 AEAF3， OE4，即 E(0，4)， 直线 PE 解析式为 yx4， 当 x4 时，y242， P(4，2)， a 的值为 4 或2 6如图，已知：AD 平分CAE，ADBC (1)求证：ABC 是等腰三角形 (2)当CAE 等于多少度时ABC 是等边三角形？证明你的结论 【解答】(1)见解析；(2)当CAE120时ABC
7、 是等边三角形 【解析】(1)证明：AD 平分CAE， EADCAD， ADBC， EADB，CADC， BC， ABAC 故ABC 是等腰三角形 (2)当CAE120时ABC 是等边三角形 CAE120，AD 平分CAE， EADCAD60， ADBC， EADB60，CADC60， BC60， ABC 是等边三角形 7如图，ABC 中，C90，AB10cm，BC6cm，若动点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动， 到达 A 点后停止运动，且速度为每秒 2cm，设出发的时间为 t 秒 (1)当 t 为何值时，PBC 是等腰三角形； (2)过点 P 作 PHAB，垂足为 H，当
8、H 为 AB 中点时，求 t 的值 【解答】(1)t 为 3 秒时，PBC 为等腰三角形；(2) 【解析】(1)C90， 当PBC 为等腰三角形时，其必为等腰直角三角形， BCPC， 由题意可知 PC2t，且 BC6cm， 2t6，解得 t3， 即当 t 为 3 秒时，PBC 为等腰三角形； (2)在 RtABC 中，AB10cm，BC6cm， AC8cm， PHAB，且 H 为 AB 中点， PH 垂直平分 AB， PBPA， 由题意可知 PC2tcm，则 PBPA(82t)cm， 在 RtPBC 中，由勾股定理可得 PB2CB2+CP2， 即(82t)262+(2t)2，解得 t， 即当
9、H 为 AB 中点时 t 的值为 8如图，在平面直角系中，点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，A(8，0)，B(0，6)，点 P 从点 B 出发，沿 BA 以 每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发，沿 AO 以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动，点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 O 时，两点同时停止运动，设点 Q 的运动时间为 t 秒 (1)连接 PQ，过点 Q 作 QCAO 交 AB 于点 C，用含 t 的代数式表示 C 点坐标； (2)在整个运动过程中，当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？ 【解答】(1)C(8t，t)；(2)当 t 为或或或时，CP
10、Q 为等腰三角形 【解析】(1)由题意得：AQBPt， OQOAAQ8t， CQAO，BOAO， CQBO， ACQABO， ， ， CQt， C(8t，t)； (2)当 CPCQ 时，如图 1， 在 RtACQ 中， 在 RtAOB 中，AB10， PCABPBAC10tt， t10tt， t， 当 CPPQ 时，如图 2，过 P 作 PDCQ 于 D， CDDQ， PDAQ， CPPA， 由得：ACt， APACt， 10t， ， 当 CQCP 时，如图 3， CQCPt， APACCPtt， 10t， t； 当 CQPQ 时，如图 4， 过 Q 作 QEAB 于 E， cosQCAcos
11、OBA， CE， CEPE， ACCP+AP， ， ； 综上所述，当 t 为或或或时，CPQ 为等腰三角形 9如图，在平面直角坐标系中有一点 A，OA16，动点 P 从 A 开始以每秒 2 个单位的速度向 x 轴负半轴运 动，动点 Q 从 0 开始以每秒 1 个单位的速度向 y 轴正半轴运动，P，Q 同时出发，设时间为 t； (1)当 t 为何值时，三角形 OPQ 为等腰三角形； (2)当 t 为何值时，三角形 OPQ 的面积为 15 【解答】(1)当 t 为或 16 秒时，三角形 OPQ 为等腰三角形；(2)当 t 为 3 或 5 或 4+秒时，三角形 OPQ 的面积为 15. 【解析】(1
12、)当 P 在 x 轴正半轴上时，OP162t，OQt， POQ90， 当 OPOQ 时，三角形 OPQ 为等腰三角形， 此时，162tt，解得 t； 当 P 在 x 轴负半轴上时，OP2t16，OQt， POQ90， 当 OPOQ 时，三角形 OPQ 为等腰三角形， 此时，2t16t，解得 t16； 综上所述，当 t 为或 16 秒时，三角形 OPQ 为等腰三角形； (2)当 P 在 x 轴正半轴上时，OP162t，OQt， POQ90，三角形 OPQ 的面积为 15， (162t)t15， 解得 t3 或 5； 当 P 在 x 轴负半轴上时，OP2t16，OQt， POQ90，三角形 OPQ 的面积为 15， (2t16)t15， 解得 t4+或 4(舍去)， 综上所述，当 t 为 3 或 5 或 4+秒时，三角形 OPQ 的面积为 15
