1、 1 专题专题 17 等腰、等边三角形问题等腰、等边三角形问题 一、等腰三角形 1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶 角，底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一” ） 3.等腰三角形的性质的作用 性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据 性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所
2、在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形 2. 性质 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60； 性质 2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形； （2） 有一个角是 6
3、0的等腰三角形是等边三角形； （3） 有两个角是 60的三角形是等边三角形。 专题知识回顾专题知识回顾 2 三、含 30 0 的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它对的等于的一半. 四、解题方法要领 1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在 等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利 用其定义和有关性质，快捷地证出结论。 2.常用的辅助线有： （1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。 （2）在三角形的中线问 题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问
4、题。 3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边 或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019重庆）重庆）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于 点E，过点E作EFBC交AB于点F （1）若C36，求BAD的度数； （2）求证：FBFE 【例题【例题 2】 （】 （2019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60，点 E 为 AD 边上一点，连接 BD.CE，CE 与 BD 交于
5、点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 【例题【例题 3】 （】 （2019黄石）黄石）如图，在ABC 中，B50，CDAB 于点 D，BCD 和BDC 的角平分线相 交于点 E，F 为边 AC 的中点，CDCF，则ACD+CED（ ） A125 B145 C175 D190 一、选择题一、选择题 1.1.（20192019 宁夏）宁夏） 如图，在ABC中，点D和E分别在AB和AC上，且连接DE， 过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为（ ） A B C D 2.（2019浙江衢州浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由
6、古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点 固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75 ，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 ACBC ADAE 40CGAD 40455570 专题典型训练题 专题典型训练题 4 3.（2019湖南长沙湖南长沙）如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧， 两弧相交于 M、 N 两点， 作直线 MN， 交 BC 于点 D， 连接 AD，
7、则CAD 的度数是 （ ） A20 B30 C45 D60 4.（2019湖南长沙湖南长沙）如图，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动 点，则 CD+BD 的最小值是（ ） A2 B4 C5 D10 5.（2019湖南邵阳湖南邵阳）如图，在 RtABC 中，BAC90，B36，AD 是斜边 BC 上的中线，将ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则BED 等于（ ） A120 B108 C72 D36 二、填空题二、填空题 6.（2019湖南怀化湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为 72，则这个等腰
8、三角形的顶角为 7.（2019湖南邵阳湖南邵阳）如图，将等边AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 在第一象 限，将等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180得到AOB，则点 B的坐标是 5 8.（2019湖北天门湖北天门）如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60，在 四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30，点 C 与点 B 在同一水平线上已知 CD9.6m，则旗杆 AB 的高 度为 m 9.（2019 贵州毕节）贵州毕节）如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若 B40，C3
9、6，则DAC 的大小为 10. （2019湖北武汉湖北武汉）如图，在ABCD 中，E.F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90， BCD63，则ADE 的大小为 11.(201911.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )如图,在ABC 中,ABAC,点 D 在 AC 上,且 BDBCAD,则A_度. 6 三、解答题三、解答题 12.12.（20192019 湖北孝感）湖北孝感）如图，已知CD90，BC与AD交于点E，ACBD，求证：AEBE 13.13.（20192019杭州）杭州）如图，在ABC中，ACABBC （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：A
10、PC2B （2） 以点B为圆心， 线段AB的长为半径画弧， 与BC边交于点Q， 连接AQ 若AQC3B， 求B的度数 1414 （ （20192019重庆）重庆）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D （1）若C42，求BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AEFE 1515 （ （20192019南岸区）南岸区）如图，直线ABCD，ACD的平分线CE交AB于点F，AFE的平分线交CA延长线于 点G （1）证明：ACAF； （2）若FCD30，求G的大小 7 1616 （ （20192019攀枝花）攀枝花）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC
11、边上的中线，且BDCE求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）BEC3ABE 17.（2019湖北湖北十堰）十堰）如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线上 一点，且CDEBAC （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB3BD，CE2，求O 的半径 18.（2019甘肃武威）甘肃武威）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 CE2，求D 的半径 8 19. （2019湖南衡阳湖南衡阳）如图，在等边ABC
12、 中，AB6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速运 动动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同 时停止运动设运动时间为以 t（s） 过点 P 作 PEAC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D以 CQ、CE 为边作 平行四边形 CQFE （1）当 t 为何值时，BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由； （3）求 DE 的长； （4） 取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BPM， 连接 AB， 当 t 为何值时， AB的值最小？并求出最小值
