1、专题专题 17 立体几何综合立体几何综合 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)已知四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是 菱形，120BAD，点E，F分别为BC和PA的中点 (1)求证：直线/BF平面PED ； (2)求证：平面BCF 平面PAE 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 (1)取PD的中点M，连FM，ME ， E，F分别为BC，PA的中点， 1 / /, 2 FMAD FMAD， 1 / /, 2 BEAD BEAD， / /,FMAD FMAD ， 四边形BEMF为平行四边形，则BF/EM 又BF 面PED，EM 面PED， /BF面PE
2、D； (2)底面ABCD是菱形，120BAD，AEBC， PA 平面ABCD，BC 平面ABCD， BC PA，又AEPAA， BC面PAE，BC 面BCF， 平面BCF 平面PAE 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ABAD，点E在 线段AD上，且CEAB. ()求证：CE 平面PAD ； ()若1PAAB，3AD ， 2CD ，45CDA，求四棱锥PABCD的体积. 【答案】()证明见解析 () 5 6 【解析】 ()证明：因为PA 底面ABCD，CE平面ABCD ， 所以PACE.因为ABAD，CEAB， 所以CEAD.又PAADA，
3、所以CE 平面PAD. ()解：由()可知CEAD ， 在Rt ECD中，sin451CECD ， cos451DECD ， 又因为1AB ，则ABCE. 又CEAB，ABAD， 所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形. 因为3AD，所以2BCAEADDE， 115 231 222 ABCD SBCADAB ， 1155 1 3326 P ABCDABCD VSPA ， 于是四棱锥PABCD的体积为 5 6 . 3(2020 届四川省泸州市高三二诊)三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，ABAA1A1B4， BC2，AC2 3，点 F 为 AB 的中点，点 E
4、为线段 A1C1上的动点. (1)求证：BC平面 A1EF； (2)若B1EC160 ，求四面体 A1B1EF 的体积. 【答案】(1)证明见解析.(2) 8 3 【解析】 (1)ABAA1A1B，点 F 为 AB 的中点，A1FAB， 平面 AA1B1B平面 ABC，平面 AA1B1B平面 ABCAB， A1F平面 ABC，BC平面 ABC，A1FBC. AB4，BC2，AC2 3，AB 2BC2+AC2，ACB90 ，BCAC. ACA1C1，BCA1C1，又 A1FA1EA1，BC平面 A1EF； (2)B1EC160 ，EC1 22 3 603tan ，A1E2 2 34 3 3 33
5、 . 由(1)可得：A1F底面 A1B1C1，A1FA1E，A1F2 3. A1EF 的面积 S 14 3 2 3 23 4. 由(1)可得：BC平面 A1EF，B1C1BC，B1C1平面 A1EF， 四面体 A1B1EF 的体积 1 3 SB1C1 1 3 4 2 8 3 . 4(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面 ABCD，点E在PD上. (1)若E为PD的中点，证明： /PB平面AEC； (2)若1PA ，22PDAB ，三棱锥EACD的体积为 3 9 ，试求:PE ED的值. 【答案】(1)证明见解析(2):1:2PE ED
6、 【解析】 证明：(1)连接BD交AC于O,连接EO, ABCD为矩形,O为BD的中点, 又E为PD的中点,EOPB, EO平面AEC,PB平面AEC, PB平面AEC. (2)由题设3AD ,1CD,ADC的面积为 3 2 . 棱锥EACD的体积为 3 9 , E到平面ABCD的距离h满足 313 932 h ,即 2 3 h . PA 平面ABCD,平面PAD 平面ABCD, 过E在平面PAD内作EFAD,垂足为F,则EF 平面ABCD, 而PA 平面ABCD,于是EFPA. 1PA ,:2:3ED PD.则:1:2PE ED 5(2020 届山西省太原市高三模拟)如图(1)在等腰直角三角
7、形 ABC 中，90ACB，4AB ，点 D 为 AB 中点，将ADC沿 DC 折叠得到三棱锥 1 ABCD，如图(2)，其中 1 60ADB，点 M，N，G 分别为 1 AC，BC， 1 AB的中点 (1)求证：MN 平面 DCG (2)求三棱锥 G-A1DC 的体积 【答案】(1)证明见解析(2) 3 3 【解析】 (1)由题知图(1)中2 2,2ACBCADBDCD 在三棱锥 1 ABCD中， 11 ,ADBD ACBC 点G是 1 AB的中点， 11 ,DGAB CGAB， 又DGCGG 1 AB平面DGC 又点M、N分别是 1 AC、BC的中点， 1 / /MNAB MNDGC 平面
8、. (2)由图(1)知 1 ,CDAD CDBD，且CD平面 1 ADG 又 0 1 60ADB， 1 ADB为等边三角形， 11 ,2,DGAB AB 11 1 1,3, 2 AGABDG 1 1 113 13 222 A DG SAGDG 111 1133 2 3323 G A DCC A DGA DG VVSCD . 6(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)如图所示的几何体 111 ABCABC中，四边形 11 ABB A是正方形， 四边形 11 BCC B是梯形， 1 /BC BC，且 11 1 2 BCBC，ABAC，平面 11 ABB A 平面 ABC (1)求证：平面 11
9、ACC 平面 11 BCC B； (2)若2AB ，90BAC ，求几何体 111 ABCABC的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 10 3 【解析】 (1)取 BC 的中点 E，连接 1 ,AE C E，ABAC，AEBC 11 ABB A是正方形， 1 BBAB，又平面 11 ABB A 平面 ABC， 1 BB 平面 ABC， 又AE平面 ABC， 1 AEBB 又 1 BB，BC平面 11 BCC B， 1 BBBCB，AE平面 11 BCC B 11 BCBE，四边形 11 BBC E为平行四边形， 111 CBBEAA， 四边形 11 AAC E为平行四边形 11 AEAC，
10、 11 AC 平面 11 BCC B 又 11 AC平面 11 ACC，平面 11 ACC 平面 11 BCC B (2)由(1)知所求几何体为四棱锥 11 CAAC E和直三棱柱 111 ABEABC的组合体 CEAE， 1 CEAA， 1 AA，AE 平面 11 AAC E，CE 平面 11 AAC E， 四棱锥 11 CAAC E的体积 1 11 1 1 1114 222 3333 C AAC EAAC E VSCEAA AE CE 矩形 直三棱柱 111 ABEABC的体积 1 1 1 11 11 2222 22 ABE A B CABE VSAABE AE AA 所求几何体 111
11、ABCABC的体积 1 11 1 1 410 2 33 C AAC EABE A B C VVV 7(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知在四棱锥CABED中，/DE AB，ACBC，24BCAC， 2ABDE，DADC且平面DAC 平面ABC (1)设点F为线段BC的中点，试证明EF 平面ABC ； (2)若直线BE与平面ABC所成的角为 60 ，求四棱锥 CABED的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)4 3 【解析】 (1)证明：取AC的中点O，连接DO和OF ， 在DAC中DADC，DOAC. 由于平面DAC 平面ABC，且交线为AC，DO 平面ABC. 又O，F分别为AC，BC的
12、中点，AB/OF且2ABOF. 又DE/AB，2ABDE，OF/DE且OFDE. 四边形DEFO为平行四边形.EF/DO， EF 平面ABC. (2)由(1)中所证，不妨取BC中点为F，则一定有EF 平面ABC. 所以直线BE与平面ABC所成的角为60EBF， 由于 1 2 2 BFBC， 2 3EFDO ， 又EF/DOE、F点到平面DAC的距离相等， 平面DAC 平面ABC，CFAC， CF 平面DACE点到平面DAC的距离等于 2. 故可得 11 2 2 32 3 22 DAC SACDO ； 11 2 44 22 ABC SACBC . 又因为E点到平面DAC的距离为2，E点到平面AB
13、C的距离为2 3EF ， 11 2 3242 34 3 33 C ABEDE DACE ABC VVV 8 (2020 届湖南省常德市高三模拟)在三棱锥PABC中， 底面ABC与侧面PAB均为正三角形，2AB ， 6PC ，M为AB的中点 ()证明：平面PCM 平面PAB ； ()N为线段PA上一点，且 3 4 CMN S，求三棱锥P CMN的体积 【答案】()见证明() 3 8 P CMN V 【解析】 解法一：()因为ABC 是边长为2的正三角形，M为AB的中点，所以CMAB，3CM 同理， 3PM ，又6PC ， 因为 222 CMPMPC， 所以CMPM 又ABPMM，所以CM 平面P
14、AB， 又CM 平面PCM， 所以平面PCM 平面PAB ()由()得CM 平面PAB ， 所以CMMN，CMN 为直角三角形， 所以 13 24 CMN SCM NM ，且 3CM ， 解得 3 2 MN 在AMN 中，由 222 cos 2 ANAMMN A AN AM ， 2 22 3 1 2 cos60 2 AN AN 解得 1 2 AN ，即 3 2 PN 即 3 4 PN PA , 3333 3 3 4888 PNMPAMPAB SSS ， 1 3 P CMNC PMNPMN VVSCM 13 33 3 388 解法二： ()同解法一 ()由()可得CM 平面PAB ， 所以CMN
15、M， 即 31 3 42 NM ， 3 2 NM ， 所以 1 2 NMAM PMPA ， 得ANMAPM， 则90ANMAMP ， 所以NMPA，又CMPA，NMCMM 所以PA 平面CNM， 在Rt PNM中， 22 3 2 PNPMNM， 所以 111333 3 332228 P CMNCMN VSPN 9(2020 届湖北省宜昌市高三调研)已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC，对角线AC、BD交于点 O，平面外一点 P 在平面ABCD内的射影为 O，PB与平面ABCD所成角为 30 . (1)求证：BDPA ； (2)点 N 在线段PB上，且 3 12 N PCD V ，求 PN
16、PB 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 1 4 PN PB 【解析】 (1)由题意PO面ABCD，POBD ， 菱形ABCD中，ACBD，又POACO，则BD 面PAC， 所以BDPA； (2)因为PO面ABCD，所以PB与平面ABCD所成角为 30PBO， 又菱形边长为 2，60ABC，所以3BO ，1PO，2PB ，1CO， 2PC . 所以 4242 cos 42 22 BPC ， 14 sin 4 BPC . 设| 2PNPB，点 D 到平面PCB的距离为d 由 D PBCP DBC VV 得 11 33 BCDPBC SPOSd ， 即 111114 2 2 sin12012
17、2 32324 d ，解得 2 21 7 d 所以 D 到平面PNC的距离也为 2 21 7 . 所以 11142 2131 22 3247124 NPCDD PCN VV . 所以 1 4 PN PB . 10(2020 届湖北省高三模拟)如图，在四棱锥 SABCD 中，侧面 SCD 为钝角三角形且垂直于底面 ABCD， CDSD，点 M 是 SA 的中点，AD/BC，ABC90 ，ABAD 1 2 BCa (1)求证：平面 MBD平面 SCD； (2)若SDC120 ，求三棱锥 CMBD 的体积 【答案】(1)证明见解析；(2) 6 12 a3 【解析】 (1)证明：取 BC 中点 E，连
18、接 DE，则 ABADa，BC2a由题意可得：四边形 ABED 为正方形，且 BE DECEa，BDCD 2 a BD2+CD2BC2，则 BDCD，又平面 SCD平面 ABCD，平面 SCD平面 ABCDCD， BD平面 SCD，BD平面 MBD，平面 MBD平面 SCD (2)解：过点 S 作 SHCD，交 CD 的延长线于点 H，连接 AH 则SDH 为 SD 与底面 ABCD 所成的角，即SDH60 由(1)可得：SDCD 2 a，在 RtSHD 中，SD 2 a，HD 2 2 a，SH 6 2 a 点 M 到平面 ABCD 的距离 d 6 4 a 三棱锥 CMBD 的体积 V 11
19、32 BD CDd 166 22 6412 aaa a3 11 (2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 平面 11 AAB B 平面ABC， D是AC的中点 (1)求证： 1 /BC平面 1 ABD； (2)若 1 60AABACB， 1 ABBB，2AC ，1BC ，求三棱锥 1 CAAB的体积 【答案】(1)详见解析；(2) 3 4 【解析】 (1)连结 1 AB交 1 AB于点O，则O为 1 AB的中点， 因为D是AC的中点，所以 1 /OD BC， 又OD平面 1 ABD， 1 BC 平面 1 ABD， 所以 1 /BC平面 1 ABD
20、(2)2AC ，1BC，60ACB， 222 1 2cos4 1 2 2 13 2 ABACBCAC BCACB ， 3AB ， 222 ACABBC ，ABBC 又平面 11 AAB B 平面ABC，平面 11 AAB B平面ABCAB，BC 平面 11 AAB B， BC平面 11 AAB B 1 60AAB ， 1 ABBB，四边形 11 AAB B为菱形， 1 ABA为正三角形， 1 3AAAB. 1 11 1133 3 sin33 2224 A AB SAB AAA AB 11 113 33 1 3344 C A ABAA B VSBC 12(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)如
21、图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，/ABDC， 90ABC，ADSD， 1 2 BCCDAB，侧面SAD底面ABCD (1)求证：平面SBD平面SAD ； (2)若120SDA，且三棱锥S BCD的体积为 6 12 ，求侧面SAB的面积 【答案】(1)证明见解析； (2) 15 2 . 【解析】 (1)在梯形ABCD中，/ABDC，90ABC， 1 2 BCCDAB， 设BCa，则CDa，2ABa，在直角三角形BCD中，90BCD， 可得 2BDa ，45CBD，45ABD， 由余弦定理可得 22 2cos452ADABDBAB DBa ， 则BDAD，由面SAD底面ABCD， 所
22、以BD 平面SAD， 又BD 平面SBD， 所以平面SBD平面SAD； (2)解：120SDA，且三棱锥SBCD 的体积为 6 12 ， 由 2ADSDa ， 在SAD中，可得2sin606SASDa， SAD的边AD上的高 6 sin60 2 SHSDa ， 由SH 平面BCD，可得 2 1616 32212 aa， 解得1a ， 由BD 平面SAD，可得BDSD， 2222 222SBSDBDaaa ， 又2ABa， 在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为 22 610 4 42 aaa， 则SAB的面积为 1101515 2222 SAaa 13(2020 届广东省湛江市模拟)如图，在三
23、棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AACC 底面ABC，E为 1 CC的 中点，2AFFB (1)求证： 1 BC平面 1 AEF； (2)若 1 2ACAA ， 2ABBC ， 1 60A AC ，求四棱锥 111 CBFAB的体积 【答案】(1)证明见详解；(2) 4 3 9 . 【解析】 (1)连接 1 AC，与 1 AE交于点M，连接MF， E为 1 CC的中点， 1 C E/ 1 AA，且 11 1 2 C EAA 1 :2:1AM MC 又2AFFB， 在 1 ABC中，MF/ 1 BC 又MF 平面 1 AEF， 1 BC 平面 1 AEF， 1 BC/平面 1 AEF
24、(2)解：侧面 11 AACC 底面ABC， 1 2ACAA， 1 60A AC ， 三棱柱 111 ABCABC的高 3h V三棱锥 1 11 33 ABCABCC ShV V 三棱柱 1 11 ABCA B C ， V四棱锥 11 1 2 3 ABB AC V 三棱柱 1 11 ABCA B C 在侧面 11 ABB A中，2AFFB， S梯形 1 1 2 3 FBB A S 平行四边形 11 ABB A V四棱锥 11 1 2 3 CBFA B V 四棱锥 11 1 4 9 CABB A V 三棱柱 1 11 ABCA B C V四棱锥 1 1 414 3 223 929 B A BF
25、14(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)在四棱锥PABCD中，平面PAC 平面 ABCD，且有 /AB DC， 1 2 ACCDDAAB (1)证明：BCPA ； (2)若 2 2 2 PAPCAC，Q 在线段 PB 上，满足 2PQQB ，求三棱锥PACQ的体积 【答案】(1)见解析(2) 4 3 9 【解析】 (1)证明：不妨设2ABa，则ACCDDAa 由ACD是等边三角形得， 3 ACD /AB DC， 3 CAB 由余弦定理得， 2222 2cos3 3 BCACABAC ABa 即BC3a，所以 222 BCACAB， 所以90ACB，即BCAC 又平面PAC 平面 ABCD
26、 平面PAC平面ABCDAC BC平面 ABCD，BC平面 PAC PA平面 PAC，BCPA (2)依题意得，PAPC 2 3 P ACQQ PACB PAC VVV 21 33 PAC SBC 211 332 PA PC BC 2114 3 222 3 3329 15 (2020 届广东省东莞市高三模拟)如图， 在四棱锥PABCD中， 底面 ABCD 为直角梯形， 其中ABBC， / /ADBC，4AD，2APABBC，E 是 AD 的中点，AC 和 BE 交于点 O，且PO平面 ABCD (1)证明：平面 PAC平面 PCD； (2)求点 D 到平面 PCE 的距离 【答案】(1)证明见
27、解析；(2) 2 6 3 【解析】 (1)证明：/ /ADBC，4AD，2BC ，E 是 AD 的中点， /BCAE且BCAE， 四边形 ABCE 为平行四边形， 又ABBC，ABBC， 四边形 ABCE 是正方形， 又2CEAEED，CDAC PO平面 ABCD，CD 平面 ABCD， CDPO 又ACPOO，AC，PO平面 PAC， CD平面 PAC， 而CD 平面 PCD，平面PAC 平面 PCD； (2)解：由(1)知，四棱锥PABCE为正四棱锥， 故2PCPEPA 又2CE ，PCE是等边三角形， 即 2 3 23 4 PCE S 设点 D 到平面 PCE 的距离为 h，得 13 3
28、3 D PCEPCE VShh 由2PCPA， 2 2AC ， 得PAC为等腰直角三角形，故 1 2 2 POAC ECD是直角三角形，且2CEED=， 1 2 22 2 DCE S ， 得 112 2 22 333 P DCEDCE POVS 由 P DCED PCE VV ，得 32 2 33 h ，即 2 6 3 h 点 D 到平面 PCE 的距离为 2 6 3 16(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)如图，在四棱锥PABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面 ABCD内的射影为A，1PAAB，点A到平面PBC的距离为 3 3 ，且直线AC与PB垂直. ()在棱PD找点E，使直线PB
29、与平面ACE平行，并说明理由； ()在()的条件下，求三棱锥PEAC的体积. 【答案】()点E为PD中点时，直线PB与面ACE平行，理由见解析；() 1 12 . 【解析】 ()点E为PD中点时直线PB与面ACE平行. 连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点， 因为点E为PD中点，故OE为PBD的中位线，则/OE PB， OE 平面ACE，PB 平面ACE，所以，/PB平面ACE； ()根据题意ACPB，PA 底面ABCD，AC 底面ABCD，则有AC PA， PAPBP，所以AC 平面PAB，则ACAB，设ACx， 2 111113 1 12 323223 P ACBA PBC VVxx
30、，得1AC ， 则 11111 1 1 1 223212 P EACP ACD VV . 17 (2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为长方形，PA 底面ABCD，4PAAB，3BC ，E为PB的中点，F为线段BC上靠近B点的三等分点. (1)求证：AE平面PBC ； (2)求点B到平面AEF的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 2 3 . 【解析】 (1)证明：PAAB，E为线段PB中点， AEPB. PA 平面ABCD，BC平面ABCD， BCPA. 又底面ABCD是长方形， BCAB.又PAABA， BC平面PAB. AE 平面
31、PAB， AEBC. 又PBBCB， AE平面PBC. (2)由(1)知，AE平面PBC，又EF 平面PBC ， AEEF， 22 3EFAFAE . 由题知PA 平面ABCD，E为PB中点， 点E到平面ABCD的距离为 1 2 2 PA， 设点B平面AEF的距离为h，则 B AEFE ABF VV ， 即 1111 2 234 1 2 3232 h ， 解得 2 2 3 h ， 点B到平面AEF的距离为 2 2 3 . 18(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)如图(1)，在矩形ABCD中， ,E F在边CD上， 1BCCEEFFD.沿 ,BE AF将 CBE和DAF折起， 使平面CBE
32、和平面DAF都与平面ABEF 垂直，连接DC，如图(2). (1)证明：/CDAB ； (2)求三棱锥DBCE的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 2 6 【解析】 (1)分别取 AF，BE 的中点 M，N，连结 DM，CN，MN 由图(1)可得，ADF 与BCE 都是等腰直角三角形且全等， DMAF，CNBE，DMCN 平面 ADF平面 ABEF，交线为 AF，DM平面 ADF，DMAF， DM平面 ABEF 同理，CN平面 ABEF，DMCN 又DMCN，四边形 CDMN 为平行四边形，CDMN M，N 分别是 AF，BE 的中点， MNAB， CDAB； (2)由图可知，V三棱锥DBC
33、EV三棱锥BDCE， EF1，AB3，CDMN2， V三棱锥BDCE2V 三棱锥BEFC2V三棱锥CEFB 由(1)知，CN平面 BEF 2 2 CN ， 1 2 BEF S， 2 12 C EFB V 三棱锥 ， 2 6 D BCE V 三棱锥 19 (2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，E为棱 11 BC的中点 (1)画出过点E且与直线 1 AC垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线(不必说明画法及理由)； (2)求点B到该平面的距离 【答案】(1)见解析；(2) 3 3 . 【解析】 (1)截面如下图所示：其中F、G、H、I、J分别为边 11 C D、 1 DD、AD、AB、 1 BB的中点 (2)设点B到该平面的距离为h ， 则由 JHIBB HIJ VV 可知 11 33 HIBHIJ SJBSh ， 所以 2 2 1 1 12 2sin 23 1 3 2 3 HIB HIJ SJB h S V V 因此，点B到该平面的距离为 3 3 。
