1、 1 专题专题 17 等腰、等边三角形问题等腰、等边三角形问题 一、等腰三角形 1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶 角，底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一” ） 3.等腰三角形的性质的作用 性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据 性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所
2、在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形 2. 性质 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60； 性质 2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形； （2） 有一个角是 6
3、0的等腰三角形是等边三角形； （3） 有两个角是 60的三角形是等边三角形。 专题知识回顾专题知识回顾 2 三、含 30 0 的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它对的等于的一半. 四、解题方法要领 1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在 等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利 用其定义和有关性质，快捷地证出结论。 2.常用的辅助线有： （1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。 （2）在三角形的中线问 题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问
4、题。 3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边 或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019重庆）重庆）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于 点E，过点E作EFBC交AB于点F （1）若C36，求BAD的度数； （2）求证：FBFE 【答案】见解析。 【解析】 （1）ABAC，CABC， C36，ABC36， BDCD，ABAC， ADBC，ADB90，BAD903654 （2）证明：BE平分ABC， ABECBEABC
5、， 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 EFBC，FEBCBE， FBEFEB，FBFE 【例题【例题 2】 （】 （2019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60，点 E 为 AD 边上一点，连接 BD.CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 【答案】2 【解析】连接 AC 交 BD 于点 O，由题意可证 AC 垂直平分 BD，ABD 是等边三角形，可得BAODAO 30，ABADBD8，BOOD4，通过证明EDF 是等边三角形，可得 DEEFDF2，由勾股 定理可求 OC，BC 的长如图
6、，连接 AC 交 BD 于点 O ABAD，BCDC，A60， AC 垂直平分 BD，ABD 是等边三角形 BAODAO30，ABADBD8，BOOD4 4 CEAB BAOACE30，CEDBAD60 DAOACE30 AECE6，DEADAE2 CEDADB60 EDF 是等边三角形，DEEFDF2 CFCEEF4，OFODDF2 OC2 BC2 【例题【例题 3】 （】 （2019黄石）黄石）如图，在ABC 中，B50，CDAB 于点 D，BCD 和BDC 的角平分线相 交于点 E，F 为边 AC 的中点，CDCF，则ACD+CED（ ） A125 B145 C175 D190 【答案】
7、C 【解析】 根据直角三角形的斜边上的中线的性质， 即可得到CDF 是等边三角形， 进而得到ACD60， 根据BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E， 即可得出CED115， 即可得到ACD+CED60+115 175 CDAB，F 为边 AC 的中点， DFACCF， 又CDCF， CDDFCF， CDF 是等边三角形， ACD60， B50， BCD+BDC130， BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E， 5 DCE+CDE65， CED115， ACD+CED60+115175， 故选：C 一、选择题一、选择题 1.1.（20192019 宁夏）宁夏） 如图，在ABC中，点D和E分
8、别在AB和AC上，且连接DE， 过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 】平行线的性质、等腰三角形的性质 因为，所以(180)270BACC ，因为(180)270BACC ，所以 (180)255ADCBAD ，因为/GHDE，所以55GADADC，故本题正确选项为 C 2.（2019浙江衢州浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点 固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若B
9、DE=75 ，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 ACBC ADAE 40CGAD 40455570 ACBC 专题典型训练题 专题典型训练题 6 【答案】 D 【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 。 OC=CD=DE， O=ODC，DCE=DEC， 设O=ODC=x， DCE=DEC=2x， CDE=180 -DCE-DEC=180 -4x， BDE=75 ， ODC+CDE+BDE=180 ， 即 x+180 -4x+75 =180 ， 解得：x=25 ， CDE=180 -4x=80 . 3.（2019湖南长沙湖南长沙
10、）如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧， 两弧相交于 M、 N 两点， 作直线 MN， 交 BC 于点 D， 连接 AD， 则CAD 的度数是 （ ） A20 B30 C45 D60 【答案】B 【解析】在ABC 中，B30，C90， BAC180BC60， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， DADB， DABB30， CADBACDAB30 4.（2019湖南长沙湖南长沙）如图，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动 点，则 CD+BD 的最小值是（ ） 7 A2 B4 C5 D1
11、0 【答案】B 【解析】如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M由 tanA2，设 AEa，BE2a，利用勾股定理构 建方程求出 a，再证明 DHBD，推出 CD+BDCD+DH，由垂线段最短即可解决问题 如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M BEAC，ABE90， tanA2，设 AEa，BE2a， 则有：100a2+4a2，a220， a2或2（舍弃） ，BE2a4， ABAC，BEAC，CMAC， CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等） ） DBHABE，BHDBEA， sinDBH，DHBD， CD+BDCD+DH， CD+DHCM，CD+BD4， CD+BD 的最小值为
12、4 5.（2019湖南邵阳湖南邵阳）如图，在 RtABC 中，BAC90，B36，AD 是斜边 BC 上的中线，将ACD 8 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则BED 等于（ ） A120 B108 C72 D36 【答案】B 【解析】根据三角形内角和定理求出C90B54由直角三角形斜边上的中线的性质得出 AD BDCD，利用等腰三角形的性质求出BADB36，DACC54，利用三角形内角和定 理求出ADC180DACC72再根据折叠的性质得出ADFADC72，然后根据三 角形外角的性质得出BEDBAD+ADF108 在 RtABC 中，BAC90，
13、B36， C90B54 AD 是斜边 BC 上的中线， ADBDCD， BADB36，DACC54， ADC180DACC72 将ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处， ADFADC72， BEDBAD+ADF36+72108 二、填空题二、填空题 6.（2019湖南怀化湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为 72，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36 【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论 等腰三角形的一个底角为 72， 等腰三角形的顶角180727236 7.（2019湖南邵阳湖南邵阳）如图，将等边AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点
14、B 在第一象 限，将等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180得到AOB，则点 B的坐标是 9 【答案】 （2，2） 【解析】作 BHy 轴于 H，如图，利用等边三角形的性质得到 OHAH2，BOA60，再计算出 BH， 从而得到 B 点坐标为（2，2） ，然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点 B的坐标 作 BHy 轴于 H，如图， OAB 为等边三角形， OHAH2，BOA60， BHOH2， B 点坐标为（2，2） ， 等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180得到AOB， 点 B的坐标是（2，2） 故答案为（2，2） 8.（2019湖北天门湖北天门）如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学
15、楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60，在 四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30，点 C 与点 B 在同一水平线上已知 CD9.6m，则旗杆 AB 的高 度为 m 10 【答案】14.4 【解析】作 DEAB 于 E，如图所示： 则AED90，四边形 BCDE 是矩形， BECD9.6m，CDEDEA90， ADC90+30120， ACB60，ACD30， CAD30ACD，ADCD9.6m， 在 RtADE 中，ADE30， AEAD4.8m， ABAE+BE4.8m+9.6m14.4m 9.（2019 贵州毕节）贵州毕节）如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交
16、 BC 边于点 D，连接 AD若 B40，C36，则DAC 的大小为 【答案】34 【解析】根据三角形的内角和得出BAC180BC104，根据等腰三角形两底角相等得出 BADADB（180B）270，进而根据角的和差得出DACBACBAD34 B40，C36， BAC180BC104 ABBD BADADB（180B）270， DACBACBAD34 11 10. （2019湖北武汉湖北武汉）如图，在ABCD 中，E.F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90， BCD63，则ADE 的大小为 【答案】21 【解析】设ADEx，由等腰三角形的性质和直角三角形得出DAEADEx，DEA
17、FAEEF， 得出 DECD，证出DCEDEC2x，由平行四边形的性质得出DCEBCDBCA63x， 得出方程，解方程即可 设ADEx， AEEF，ADF90， DAEADEx，DEAFAEEF， AEEFCD， DECD， DCEDEC2x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAEBCAx， DCEBCDBCA63x， 2x63x， 解得：x21， 即ADE21 11.(201911.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )如图,在ABC 中,ABAC,点 D 在 AC 上,且 BDBCAD,则A_度. 【答案】16 12 【解析】BDAD,设AABDx,BDC2x,BDBC,C
18、BDC2x,ABAC,ABCC 2x,x+2x+2x180,x36. 三、解答题三、解答题 12.12.（20192019 湖北孝感）湖北孝感）如图，已知CD90，BC与AD交于点E，ACBD，求证：AEBE 【答案】见解析。 【解析】由HL证明 RtACBRtBDA得出ABCBAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论 证明：CD90， ACB和BDA是直角三角形， 在 RtACB和 RtBDA中， = = ， RtACBRtBDA（HL） ， ABCBAD， AEBE 13.13.（20192019杭州）杭州）如图，在ABC中，ACABBC （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连
19、接AP，求证：APC2B （2） 以点B为圆心， 线段AB的长为半径画弧， 与BC边交于点Q， 连接AQ 若AQC3B， 求B的度数 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， PAPB，BBAP， APCB+BAP，APC2B； （2）根据题意可知BABQ，BAQBQA， AQC3B，AQCB+BAQ，BQA2B， 13 BAQ+BQA+B180， 5B180，B36 1414 （ （20192019重庆）重庆）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D （1）若C42，求BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AEFE
20、【答案】见解析。 【解析】 （1）ABAC，ADBC于点D， BADCAD，ADC90， 又C42， BADCAD904248； （2）ABAC，ADBC于点D，BADCAD， EFAC， FCAD，BADF，AEFE 1515 （ （20192019南岸区）南岸区）如图，直线ABCD，ACD的平分线CE交AB于点F，AFE的平分线交CA延长线于 点G （1）证明：ACAF； （2）若FCD30，求G的大小 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：ACD的平分线CE交AB于点F， 14 ACFDCF， ABCD， AFCDCF， ACFAFC， ACAF； （2）解：FCD30，ABCD， A
21、CDGAF60，AFC30， AFE的平分线交CA延长线于点G 75， G180GAFAFG180607545 1616 （ （20192019攀枝花）攀枝花）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BDCE求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）BEC3ABE 【答案】见解析。 【解析】 （1）连接DE， CD是AB边上的高，ADCBDC90， BE是AC边上的中线，AECE，DECE， BDCE，BDDE， 点D在BE的垂直平分线上； （2）DEAE，AADE， ADEDBE+DEB， BDDE，DBEDEB，AADE2ABE， BECA+ABE，BEC3AB
22、E 15 17.（2019湖北湖北十堰）十堰）如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线上 一点，且CDEBAC （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB3BD，CE2，求O 的半径 【答案】见解析。 【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质， 解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形 （1）如图，连接 OD，AD， AC 是直径， ADC90， ADBC， ABAC， CADBADBAC， CDEBAC CDECAD， OAOD， CADADO， ADO+ODC90， 16 O
23、DC+CDE90 ODE90 又OD 是O 的半径 DE 是O 的切线； （2）解：ABAC，ADBC， BDCD， AB3BD， AC3DC， 设 DCx，则 AC3x， AD2x， CDECAD，DECAED， CDEDAE， ，即 DE4，x， AC3x14， O 的半径为 7 18.（2019甘肃武威）甘肃武威）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 CE2，求D 的半径 17 【答案】见解析。 【解析】 连接 AD， 根据等腰三角形的性质得到BC30， BAD
24、B30， 求得ADC60， 根据三角形的内角和得到DAC180603090，于是得到 AC 是D 的切线；连接 AE，推出 ADE 是等边三角形，得到 AEDE，AED60，求得EACAEDC30，得到 AECE 2，于是得到结论 （1）证明：连接 AD， ABAC，BAC120，BC30， ADBD，BADB30，ADC60， DAC180603090，AC 是D 的切线； （2）解：连接 AE， ADDE，ADE60，ADE 是等边三角形， AEDE，AED60，EACAEDC30， EACC，AECE2，D 的半径 AD2 19. （2019湖南衡阳湖南衡阳）如图，在等边ABC 中，AB
25、6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速运 动动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同 时停止运动设运动时间为以 t（s） 过点 P 作 PEAC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D以 CQ、CE 为边作 平行四边形 CQFE （1）当 t 为何值时，BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由； （3）求 DE 的长； 18 （4） 取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BP
26、M， 连接 AB， 当 t 为何值时， AB的值最小？并求出最小值 【答案】见解析。 【解析】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等 三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题 （1）ABC 是等边三角形， B60， 当 BQ2BP 时，BPQ90， 6+t2（6t） ，t3， t3 时，BPQ 是直角三角形 （2）存在 理由：如图 1 中，连接 BF 交 AC 于 M BF 平分ABC，BABC， BFAC，AMCM3cm， EFBQ， EFMFBCABC30， EF2EM， 19 t2 （3t） ， 解得 t3 （3）如图 2 中，作 PKBC 交 AC 于 K ABC 是等边三角形，BA60， PKBC， APKB60，AAPKAKP60， APK 是等边三角形，PAPK， PEAK，AEEK， APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC， PKDQCD（AAS） ，DKDC， DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm） （4）如图 3 中，连接 AM，AB BMCM3，ABAC，AMBC， AM3， ABAMMB，AB33， AB的最小值为 33
