1、专题专题 18 解析几何综合解析几何综合 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)若抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，O是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量FM与x轴正方向的夹角为 60 ，且OFM的面积为 3. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C的准线与x轴交于点A，点N在抛物线C上，求当 | | NA NF 取得最大值时，直线AN的方程. 【答案】(1) 2 4yx；(2) 1yx 或1yx 【解析】 (1)设M的坐标为 ,M x y，(如图) 因为向量FM与x轴正方向的夹角为 60 ,0 2 p F ， 所以2 2 p MFx ， 根据抛物线定义得： 2 p
2、MFx， 即2 22 pp xx ，解得： 3 2 p x 即2MFp， 则 2 11 sin2sin12 22 3 2 03 4 OMF p SOF MFOFMpp ， 解得：2p 即抛物线C的方程为： 2 4yx； (2) 设N的坐标为 ,N a b，1,0A ，则 22 22 1,1NAabNFab ， 因为点N在抛物线C： 2 4yx上，即有： 2 4ba， 所以 22 22 11461NAabaaaa ， 2 22 121NFabaa ， 因此 22 2 2 6161 21 2 | 1 | | aaaaNA NFaa aa 2 444 1112 1 2122 2 a a a a a
3、当且仅当 1 a a 即1a 时等号成立， 此时1, 2N，1,0A ， 所以直线AN的方程为： 1yx 或1yx 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)如图，椭圆 22 22 10 xy ab ab 的长轴长为4，点A、B、C为椭 圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且2BCAB，3 ABC S (1)求椭圆的标准方程； (2)设P、Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C )， 且满足 PBCQBA ， 试讨论直线BP 与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值. 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2)详见解析. 【解析】 (1)利用题中条件先得出a的值
4、， 然后利用条件2BCAB， 3 ABC S结合椭圆的对称性得到点B的坐标， 然后将点B的坐标代入椭圆方程求出b的值，从而确定椭圆的方程；(2)将条件PBC QBA 得到直线BP与BQ的斜率直线的关系(互为相反数)，然后设直线BP的方程为 3 1 2 yk x， 将此直线的方程与椭圆方程联立， 求出点P的坐标， 注意到直线BP与BQ的斜率之间的关系得到点Q的坐 标，最后再用斜率公式证明直线PQ的斜率为定值. (1)2BCAB， 13 22 OABABC SS ， 又AOB是等腰三角形，所以 3 1, 2 B ， 把B点代入椭圆方程 22 2 1 4 xy b ，求得 2 3b ， 所以椭圆方程
5、为 22 1 43 xy ； (2)由题易得直线BP、BQ斜率均存在， 又PBCQBA ，所以 BPBQ kk ， 设直线 3 :1 2 BP yk x代入椭圆方程 22 1 43 xy ， 化简得 222 3 34841230 2 kxk kxkk ， 其一解为1，另一解为 2 2 4123 34 P kk x k ， 可求 2 2 1263 342 P kk y k ， 用k代入得 2 2 4123 34 Q kk x k ， 2 2 1263 342 Q kk y k ， 1 2 PQ PQ PQ yy k xx 为定值. 3 (2020 届四川省泸州市高三二诊)抛物线 C： y22px
6、(p0)的焦点为 F， 点 P 在 C 上， 若 PFx 轴， 且POF(O 为坐标原点)的面积为 1. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若 C 上的两动点 A，B(A，B 在 x 轴异侧)满足 32OA OB ，且|FA|+|FB|AB|+2，求|AB|的值. 【答案】(1) 2 4yx.(2)480 【解析】 (1)由题知 P 点的横坐标为 2 p ，代入抛物线方程得，y22p 2 p ，解得 yp 或p， 所以 P( 2 p ，p)或( 2 p ，p)，POF 面积为 1 22 p p1，解得 p2， 所以抛物线 C 方程为 y24x，SOFP 2 1 224 pp p. (2)设直
7、线 AB 方程为 xmy+n，A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立抛物线方程得 y22my2n0，y1+y22m，y1y22n， |AB| 2222 1212 1()4148myyy ymmn 因为|FA|+|FB|AB|+2，所以 x1+1+x2+1|AB|+2，即 x1+x2|AB|， my1+n+my2+n|AB|，m(y1+y2)+2n|AB|，2m2+2n|AB| 由得 2m2+2n 22 148mmn ，化简得 m2n22n， 因为OAOB 32，所以 x1x2+y1y232，所以 22 12 44 yy y1y232， (y1y2)2+16y1y216 320，(2n)2+1
8、6(2n)16 320，n28n1280， 解得 n8(舍)或 16， 所以|AB|2m2+2n2(n22n)+2n2n22n480. 4 (2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 1, 2 ， 且其离心率为 1 2 ， 过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M，N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 22 1 43 xy (2)存在；定圆 22 12 7 xy 【解析】 (1)椭圆C经过点 3 1, 2 ， 22
9、19 1 4ab ，又 1 2 c a ，解之得 2 4a ， 2 3b . 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； (2)当直线MN的斜率不存在时，由对称性，设 00 ,M x x， 00 ,N xx. M，N在椭圆C上， 22 00 1 43 xx ， 2 0 12 7 x . O到直线MN的距离为 0 2 21 7 dx ，所以 22 12 7 xy. 当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为y kxm ， 由 22 1 43 ykxm xy 得 222 3484120kxkmxm. 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 8 34 km xx k ， 2 12
10、2 412 34 m x x k . OMON， 1212 0 x xy y， 22 12121212 10 x xkxmkxmkx xkm xxm. 222 22 22 4128 10 3434 mk m km kk ，即 22 7121mk. O到直线MN的距离为 2 |122 21 77 1 m d k ， 故存在定圆 22 12 7 xy与直线MN总相切. 5(2020 届山西省太原市高三模拟)椭圆E的焦点为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F，过 2 F的直线 1 l交E于,A B两点， 过A作与y轴垂直的直线 2 l，又知点(2,0)H，直线BH记为 3 l， 2 l与 3
11、l交于点C设 22 AFF B ，已知 当2时， 1 |ABBF ()求椭圆E的方程； ()求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值 【答案】() 22 1 32 xy ；()定值为 3 【解析】 ()设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab ，其中 22 1ba，由已知，当2时，不妨设 2 |BFm， 则 2 | 2AFm，又 1 |ABBF，所以 1 3BFm，由椭圆的定义得24am， 从而 12 | | 2AFAFm，此时点 A 在 y 轴上，不妨设(0, )Ab， 从而由已知条件 22 2AFF B可得(1 0,0)2(1,) BB bxy，解得 3 , 22 BB b
12、 xy， 故 3 (,) 2 2 b B，代入椭圆方程，解得 2 3a ，所以 22 12ba ， 故所求椭圆方程为 22 1 32 xy . ()设直线 AB 的方程为 1xmy， 1122 ( ,), (,)A x yB xy，将1xmy代入椭圆 22 236xy中，得 22 2(1)36myy，即 22 23440mymy ， 1212 22 44 , 2323 m yyy y mm ，所以 12 12 yy m y y ， 由已知，(2,0)H，直线 BH 的斜率 222 1 12 22 1 21 1 BH yyy ky yy xmy y ， 所以直线 BH 的方程为 1( 2)yy
13、x，而直线 2 l的方程为 1 yy，代入 1( 2)yy x， 解得3x ，故点C的横坐标是定值 3. 6(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)过点 (1,0)A 的动直线 l 与 y 轴交于点(0, )Tt，过点 T 且垂直于 l 的直线 l 与直线2yt相交于点 M. (1)求 M 的轨迹方程； (2)设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆 O 与 y 轴相交于点 N，且30NMA，求AM的值. 【答案】(1) 2 4yx(2)4 【解析】 (1) (1,0)A ，(0, )Tt，当0t 时，M 的坐标为(0,0) 当0t 时， 0 1 0 l t kt ， 11 l l k k
14、t ， l 的方程为 1 yxt t 由2yt得 2 xt， 2,2 M tt 验证当0t 时，也满足 2,2 M tt M 的坐标满足方程 2 4yx，即 M 的轨迹方程为 2 4yx (2)作 1 O Oy轴于 1 O， 1 MMy轴于 1 M，则 11 1 2 O OMMOA 又 A 为抛物线 2 4yx的焦点， 1 1 2 O OMA，故圆 O 与 y 轴相切于点 N 30NMA，60NOA，3 AM k，直线 AM 的方程为3(1)yx 联立 2 3(1) 4 yx yx ，消去 y 整理得 2 31030 xx ，解得3x 或 1 3 x (舍)，即 0 3x A 为抛物线 2 4
15、yx的焦点， 0 14AMx 7(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，左右焦点分别为 1 F、 2 F，A为椭圆上一点， 1 AF与y轴交于点B， 2 |ABF B， 2 | 4 OB . (1)求椭圆C的方程； (2)设直线 1: 1lxmy与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线 2 l，点K坐标为 3 ,0 2 ， 试问直线NK与直线 2 l交点的横坐标是否为定值，请说明理由. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y(2)横坐标为定值 2，详见解析 【解析】 (1)连接 2 AF，由题意得 21 |ABF
16、BFB， 所以BO为 12 F AF的中位线，又因为 12 BOFF， 所以 212 AFFF，且 2 2 2 2| 2 b AFOB a ， 又 2 2 c e a ， 222 abc，得 2 2a ， 2 1b ， 故所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y. (2)设 11 ,M x y， 22 ,N x y由 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 2210mymy 1212 22 21 , 22 m yyy y mm 直线NK的方程： 2 2 3 3 2 2 y yx x ， 令 1 yy，则有 12122 1222 222 313 1 2 3222 22 2 m yxymyy
17、yyy m x yyy 2 22 2 2 22 2 mm y mm y NK与 2 l交点的横坐标为定值 2. 8 (2020 届湖南省常德市高三模拟)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1( 1,0) F 为其左焦点， 3 1, 2 P 在 椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若AB、是椭圆C上不同的两点，以AB为直径的圆过原点O，求| |AB的最大值. 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2)7 【解析】 (1)设椭圆的右焦点为 2(1,0) F，根据椭圆的定义： 12 24PFPFa， 2a又1c， 3b ，椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2
18、)当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知 45AOxBOx， 不妨设 00 ,A x y，则 22 00 1 43 xy ， 0 2 21 7 x ，此时 4 |21 7 AB . 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y kxm ， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立 22 1 43 xy ykxm ，得 222 4384120kxkmxm ， 由 2222 644 434120k mkm ，得 22 430km， * 由韦达定理得 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 因为以AB为直径的圆过原点O， 所以 0OA OB ，
19、 即 22 22 12121212 2 71212 10 34 mk x xy ykx xkm xxm k ， 即 2 2 1212 7 k m ，满足 *式. 设AB的中点是 00 ,P x y，则 12 0 2 4 234 xxkm x k ， 0 22 43 3434 kmm ykm kk ， 2222 22 222 2 21692169 1212 43 | 2| 2 3434347 34 kmkk kmm ABOP kkkk ， 22 2 1691212 2 2 7 347 kk k ，当且仅当 22 1691212kk时等号成立，即 3 2 k ， 又因为 4 217 7 ，所以|A
20、B的最大值为 7. 9(2020 届湖北省宜昌市高三调研)已知抛物线 2 :8C xy和直线:2l ykx，直线l恒过圆 P 的圆心，且 圆 P 上的点到直线l的最大距离为 2. (1)求圆 P 的方程； (2)直线l与抛物线 C 和圆 P 都相交，且四个交点自左向右顺次记为 A、B、C、D如果 16CDAB，求 直线l的方程. 【答案】(1) 22 (2)4xy (2)3480 xy 【解析】 (1)直线 2ykx 过定点0,2，圆心0,2P. 因为圆 P 上的点到直线的最大距离为 2，所以2r =， 所以圆 P 的方程为 22 (2)4xy. (2)由 2 8xy知0,2P为抛物线焦点 由
21、图和16CDAB，知0k . 2 22 8 8440 2 xy yky ykx ， 设 11 ,A x y， 22 ,D xy，则 2 12 84yyk， 12 4y y =. 由拋物线的定义得 2 2CDDPy， 1 2ABAPy 所以 21 1616CDAByy，所以 1 1 2 y ， 2 8y ，从而有 2 1 848 2 k 所以 2 93 164 kk.所以直线l的方程为3480 xy. 10(2020 届湖北省高三模拟)已知椭圆： 22 22 1 xy ab (ab0)过点 E( 2，1)，其左、右顶点分别为 A，B， 左、右焦点为 F1，F2，其中 F1( 2 ，0) (1)求
22、椭圆 C 的方程： (2)设 M(x0，y0)为椭圆 C 上异于 A，B 两点的任意一点，MNAB 于点 N，直线 l：x0 x+2y0y40，设过点 A 与 x 轴垂直的直线与直线 l 交于点 P，证明：直线 BP 经过线段 MN 的中点 【答案】(1) 22 1 42 xy ；(2)证明详见解析 【解析】 (1)由题意知，2a|EF1|+|EF2| 22 ( 22)1( 22)1 4， 则 a2，c 2 ，b 2 ， 故椭圆的方程为 22 1 42 xy ， (2)由(1)知 A(2,0)，B(2,0)， 过点 A 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x2， 结合方程 x0 x+2y0y40，
23、得点 P(2, 0 0 2x y )， 直线 PB 的斜率为 0 2 00 0 0 2 224 x yx k y ， 直线 PB 的方程为 0 0 2 2 4 x yx y ， 因为 MNAB 于点 N，所以 N(x0,0)，线段 MN 的中点坐标( 0 0 2 y x ，)， 令 xx0，得 2 00 0 00 24 2 44 xx yx yy ， 因为 22 00 24xy，所以 22 000 00 42 442 xyy y yy ， 即直线 BP 经过线段 MN 的中点 11(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为2
24、2，离 心率为 3 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l平行于直线 b yx a ，且与椭圆C交于,A B两个不同的点，若AOB为钝角，求直线l在x轴上 的截距m的取值范围 【答案】(1) 22 1 82 xy ；(2)( 2 2,0)(0,2 2) 【解析】 (1)由题意可得2 2 2b ，所以 2b ， 2 2 3 1 2 cb e aa ，解得 2 2a ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy (2)由于直线l平行于直线 b yx a ，即 1 2 yx，设直线l在y轴上的截距为n， 所以l的方程为 1 (0) 2 yxn n 联立 22 1 , 2 1 82 yxn
25、xy ，得 22 2240 xnxn， 因为直线l与椭圆C交于,A B两个不同的点， 所以 22 (2 )4 240nn ，解得22n 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2xxn ， 2 12 24x xn 因为AOB为钝角等价于 0OA OB ，且0n ， 所以 12121212 11 22 OA OBx xy yx xxnxn 222 1212 55 24( 2 )0 4242 nn x xxxnnnn，即 2 2n ，且 0n ， 所以直线l在y轴上的截距n的取值范围：(2,0)(0, 2) 因为直线l在x轴上的截距2mn， 所以m的取值范围是：( 2 2,0)(0
26、,2 2) 12(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)已知圆E： 2 2 19 24 xy 经过椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点 12 ,F F，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且 1, , F E A三点共线，直 线l交椭圆C于M， N两点，且MNOA(0). (1)求椭圆C的方程； (2)当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程. 【答案】(1) 22 1 42 xy ；(2) 26 20 24 xy 【解析】 (1) 如图，圆经过椭圆的左、右焦点，所以，解得,因为 1 F， E，三 点共线，所以为圆E的直径， 所以,因为，所以 .所以,由，得所以椭圆
27、的方程为. (2)由(1)得，点的坐标为，因为,所以直线 的斜率为，设直线l的方程为 ,联立，得,设，由 ，得因为 所以, 又点到直线l的距离为， .当且仅当 ，即时，等号成立,所以直线l的方程为或. 13(2020 届广东省湛江市模拟)已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点，椭圆与y轴 正半轴交于点B，直线 1 BF的斜率为 3 3 ，且 2 F到直线 1 BF的距离为 3 (1)求椭圆C的方程； (2)P为椭圆C上任意一点， 过 1 F， 2 F分别作直线 1 l，2l， 且 1 l与 2 l相交于x轴上方一点M， 当 12 3 FMF 时
28、，求P，M两点间距离的最大值 【答案】(1) 2 2 1 4 x y(2) 4 3 2 3 【解析】 (1)由题意，可知 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，(0, )Bb 3 3 b c 直线 1 BF的方程为1 xy cb ，即0bxcybc 由题意有 2 3 bc a 又 222 abc 由得2a，1b，3c 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y (2)由(1)可知： 1( 3,0)F ， 2( 3,0) F 设 00 ,P x y，( , )M x y且0y 则当 1 l， 2 l都不垂直于x轴时， 1 3 MF y k x ， 2 3 MF y k x 12 3 FMF ，
29、12 3 MF xMFx 12 21 tan3 31 MFMF MFMF k kk k 化简，得 22 (1)4(3,0)xyxy 当 1 l或 2 l垂直于x轴时，得 (3,2)M ，也满足上式 M点的轨迹方程为 22 (1)4(0)xyy 当P与圆心(0,1)距离最大时，P，M两点间距离取得最大值 2 0 222 0000 14421xyyyy 2 00 325yy 2 0 1 3 33 16 y 又 0 11y ， 2 2 00 4 3 01 3 xy P，M两点间距离的最大值为 4 3 2 3 14 (2020 届广东省东莞市高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 2 2 :
30、11Nxy， 圆心1,0N， 点 E 在直线1x上，点 P 满足 / /PEON，NP NEEP EN ，点 P 的轨迹为曲线 M (1)求曲线 M 的方程 (2)过点 N 的直线 l 分别交 M 于点 A、B，交圆 N 于点 C、D(自上而下)，若AC、CD、DB成等差数列， 求直线 l 的方程 【答案】(1) 2 4yx；(2)2(1)yx 【解析】 (1)设,P x y，由/ /PEON，得 1,Ey， 则(1, )NPxy，( 2, )NEy ，(1,0)EPx，(2,)ENy， 由NP NE EP EN ，得 1,2,1,02,xyyxy，即 2 2222xyx， 化简得： 2 4y
31、x，所以点 P 的轨迹曲线 M 的方程为： 2 4yx； (2)由AC、CD、DB成等差数列，得 24ACDBCD， 所以弦长6ABACCDDB， 当斜率不存在时，直线 l 的方程为：1x ， 交点1,2A，1, 2B，此时46AB ，不符合题意； 当斜率存在时，设直线 l 的方程为：1yk x， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立方程 2 (1) 4 yk x yx ，消去 y 得： 2222 240k xkxk ， 12 2 4 2xx k ， 12 1x x， 显然 2 1610k 恒成立， 由抛物线的定义可知， 12 26ABxx， 2 4 46 k ，解得： 2k ，直
32、线 l 的方程为2(1)yx 15(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知点 F 为椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的一个焦点，点 A 为椭圆的右顶 点，点 B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1. (1)求椭圆的标准方程； (2)若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM直线 BN，直线 AN、BM 的斜率分别为 k1和 k2，求证： k1k2e21(e 为椭圆的离心率). 【答案】(1) 22 1 43 xy (2)证明见解析 【解析】 (1)由题意可知， 3 1 ac ac ，解得 2 1 a c ， b2a2c23， 椭圆的标准方
33、程为： 22 1 43 xy ； (2)由(1)可知，A(2，0)，B(0，3)， 设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN 的斜率也为 k， 故直线 AM 的方程为 yk(x2)，直线 BN 的方程为 ykx 3 ， 由 22 3412 2 xy yk x 得：(3+4k2)x216k2x+16k2120， 2 2 1612 2 34 M k x k ， 2 2 86 34 M k x k ， 2 12 34 M k y k ， 2 22 8612 3434 k M kk ， 由 22 3412 3 xy ykx 得： 22 348 30kxkx ， 2 8 3 34 N k x k ， 2
34、 2 4 33 3 34 N k y k ， 2 22 8 34 33 3 3434 kk N kk ， ， 2 2 2 1 2 2 4 33 3 3 43 34 8 32 44 33 2 34 k k k k kkk k ， 2 2 2 2 2 2 12 3 3 44 33 34 862 43 34 k kk k k kk k ， k1k2 2 2 3 43 2 44 33 k kk 2 2 3 44 33 3 42 43 kk k ， 又 1 2 c e a ， k1k2e21. 16(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知点 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :10 xy Ca
35、b ab 的左，右焦 点，椭圆上一点P满足 1 PFx轴， 21 5PFPF， 12 2 2FF . (1)求椭圆C的标准方程； (2)过 2 F的直线l交椭圆C于,A B两点，当 1 ABF的内切圆面积最大时，求直线l的方程. 【答案】(1) 2 2 1 3 x y；(2)2yx或2yx . 【解析】 (1)因为 1 PFx轴，所以 12 2 PFF ，则 222 1122 PFFFPF， 由 21 5PFPF， 12 2 2FF ，解得 2 5 3 3 PF ， 1 3 3 PF ， 12 2 2 FF c ， 由椭圆的定义知 5 33 22 3 33 a ， 3a ，即 222 1bac
36、， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y. (2)要使 1 AFB的内切圆的面积最大，需且仅需其 1 AFB的内切圆的半径r最大. 因为 1 2,0F ， 2 2,0F，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，易知，直线 l 的斜率不为 0， 设直线:2l xty，联立 2 2 2 1 3 xty x y ，整理得 22 32 210tyty ， 故 12 2 2 2 3 t yy t ， 12 2 1 3 y y t ； 所以 11 21 2 2 12121212 1 24 2 AF BF F AF F B SSSFFyyyyy y 2 2 222 2 242 61 2 333
37、tt ttt ， 又 1 11 111 44 32 3 222 AF B SAFFBABra rrr， 故 2 2 2 61 2 3 3 t r t ，即， 2 2 2 2 2121 2 32 1 1 t r t t t ； 当且仅当 2 2 2 1 1 t t ，即1t 时等号成立，此时内切圆半径取最大值为 1 2 ， 直线 l 的方程为 2yx或2yx . 17(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)已知圆 22 (4)(4)25xy经过抛物线 2 :2(0)E ypx p 的焦点F，且与抛物线E的准线l相切. (1)求抛物线E的标准方程； (2)设经过点F的直线m交抛物线E于 ,A B
38、两点，点B关于x轴的对称点为点C，若 ACF的面积为 6， 求直线m的方程. 【答案】(1)y24x(2)2x 3y20 【解析】 (1)由已知可得：圆心(4，4)到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相等，即点(4，4)在抛物线 E 上， 168p，解得 p2 抛物线 E 的标准方程为 y24x (2)由已知可得，直线 m 斜率存在，否则点 C 与点 A 重合 设直线 m 的斜率为 k(k0)，则直线 AB 的方程为 yk(x1) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 2 4 1 yx yk x 消去 y 得 k2x22(k2+2)x+k20 12 2 4 2xx k ，x1x21 由对称性可知，C(x2，y2)，|AF|x1+1，|CF|x2+1 设直线 m(AB)的倾斜角为 ，则 tank， 2222 222 222 11 sin costank sin AFCsinsinsin cos sincostank ， 121212 2 14 1121 21 AFC k Sxxsinx xxx kk 由已知可得 4 6 k ，解得 2 3 k 直线 m 的方程为 2 1 3 yx ，即 2x 3y20
