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备战2021高考 专题18 解析几何综合(教师版含解析)

1、专题专题 18 解析几何综合解析几何综合 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)若抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F,O是坐标原点,M 为抛物线上的一点,向量FM与x轴正方向的夹角为 60 ,且OFM的面积为 3. (1)求抛物线C的方程; (2)若抛物线C的准线与x轴交于点A,点N在抛物线C上,求当 | | NA NF 取得最大值时,直线AN的方程. 【答案】(1) 2 4yx;(2) 1yx 或1yx 【解析】 (1)设M的坐标为 ,M x y,(如图) 因为向量FM与x轴正方向的夹角为 60 ,0 2 p F , 所以2 2 p MFx , 根据抛物线定义得: 2 p

2、MFx, 即2 22 pp xx ,解得: 3 2 p x 即2MFp, 则 2 11 sin2sin12 22 3 2 03 4 OMF p SOF MFOFMpp , 解得:2p 即抛物线C的方程为: 2 4yx; (2) 设N的坐标为 ,N a b,1,0A ,则 22 22 1,1NAabNFab , 因为点N在抛物线C: 2 4yx上,即有: 2 4ba, 所以 22 22 11461NAabaaaa , 2 22 121NFabaa , 因此 22 2 2 6161 21 2 | 1 | | aaaaNA NFaa aa 2 444 1112 1 2122 2 a a a a a

3、当且仅当 1 a a 即1a 时等号成立, 此时1, 2N,1,0A , 所以直线AN的方程为: 1yx 或1yx 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)如图,椭圆 22 22 10 xy ab ab 的长轴长为4,点A、B、C为椭 圆上的三个点,A为椭圆的右端点,BC过中心O,且2BCAB,3 ABC S (1)求椭圆的标准方程; (2)设P、Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C ), 且满足 PBCQBA , 试讨论直线BP 与直线BQ斜率之间的关系,并求证直线PQ的斜率为定值. 【答案】(1) 22 1 43 xy ;(2)详见解析. 【解析】 (1)利用题中条件先得出a的值

4、, 然后利用条件2BCAB, 3 ABC S结合椭圆的对称性得到点B的坐标, 然后将点B的坐标代入椭圆方程求出b的值,从而确定椭圆的方程;(2)将条件PBC QBA 得到直线BP与BQ的斜率直线的关系(互为相反数),然后设直线BP的方程为 3 1 2 yk x, 将此直线的方程与椭圆方程联立, 求出点P的坐标, 注意到直线BP与BQ的斜率之间的关系得到点Q的坐 标,最后再用斜率公式证明直线PQ的斜率为定值. (1)2BCAB, 13 22 OABABC SS , 又AOB是等腰三角形,所以 3 1, 2 B , 把B点代入椭圆方程 22 2 1 4 xy b ,求得 2 3b , 所以椭圆方程

5、为 22 1 43 xy ; (2)由题易得直线BP、BQ斜率均存在, 又PBCQBA ,所以 BPBQ kk , 设直线 3 :1 2 BP yk x代入椭圆方程 22 1 43 xy , 化简得 222 3 34841230 2 kxk kxkk , 其一解为1,另一解为 2 2 4123 34 P kk x k , 可求 2 2 1263 342 P kk y k , 用k代入得 2 2 4123 34 Q kk x k , 2 2 1263 342 Q kk y k , 1 2 PQ PQ PQ yy k xx 为定值. 3 (2020 届四川省泸州市高三二诊)抛物线 C: y22px

6、(p0)的焦点为 F, 点 P 在 C 上, 若 PFx 轴, 且POF(O 为坐标原点)的面积为 1. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 C 上的两动点 A,B(A,B 在 x 轴异侧)满足 32OA OB ,且|FA|+|FB|AB|+2,求|AB|的值. 【答案】(1) 2 4yx.(2)480 【解析】 (1)由题知 P 点的横坐标为 2 p ,代入抛物线方程得,y22p 2 p ,解得 yp 或p, 所以 P( 2 p ,p)或( 2 p ,p),POF 面积为 1 22 p p1,解得 p2, 所以抛物线 C 方程为 y24x,SOFP 2 1 224 pp p. (2)设直

7、线 AB 方程为 xmy+n,A(x1,y1),B(x2,y2) 联立抛物线方程得 y22my2n0,y1+y22m,y1y22n, |AB| 2222 1212 1()4148myyy ymmn 因为|FA|+|FB|AB|+2,所以 x1+1+x2+1|AB|+2,即 x1+x2|AB|, my1+n+my2+n|AB|,m(y1+y2)+2n|AB|,2m2+2n|AB| 由得 2m2+2n 22 148mmn ,化简得 m2n22n, 因为OAOB 32,所以 x1x2+y1y232,所以 22 12 44 yy y1y232, (y1y2)2+16y1y216 320,(2n)2+1

8、6(2n)16 320,n28n1280, 解得 n8(舍)或 16, 所以|AB|2m2+2n2(n22n)+2n2n22n480. 4 (2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 1, 2 , 且其离心率为 1 2 , 过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M,N两点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) 22 1 43 xy (2)存在;定圆 22 12 7 xy 【解析】 (1)椭圆C经过点 3 1, 2 , 22

9、19 1 4ab ,又 1 2 c a ,解之得 2 4a , 2 3b . 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy ; (2)当直线MN的斜率不存在时,由对称性,设 00 ,M x x, 00 ,N xx. M,N在椭圆C上, 22 00 1 43 xx , 2 0 12 7 x . O到直线MN的距离为 0 2 21 7 dx ,所以 22 12 7 xy. 当直线MN的斜率存在时,设MN的方程为y kxm , 由 22 1 43 ykxm xy 得 222 3484120kxkmxm. 设 11 ,M x y, 22 ,N x y,则 12 2 8 34 km xx k , 2 12

10、2 412 34 m x x k . OMON, 1212 0 x xy y, 22 12121212 10 x xkxmkxmkx xkm xxm. 222 22 22 4128 10 3434 mk m km kk ,即 22 7121mk. O到直线MN的距离为 2 |122 21 77 1 m d k , 故存在定圆 22 12 7 xy与直线MN总相切. 5(2020 届山西省太原市高三模拟)椭圆E的焦点为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F,过 2 F的直线 1 l交E于,A B两点, 过A作与y轴垂直的直线 2 l,又知点(2,0)H,直线BH记为 3 l, 2 l与 3

11、l交于点C设 22 AFF B ,已知 当2时, 1 |ABBF ()求椭圆E的方程; ()求证:无论如何变化,点C的横坐标是定值,并求出这个定值 【答案】() 22 1 32 xy ;()定值为 3 【解析】 ()设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab ,其中 22 1ba,由已知,当2时,不妨设 2 |BFm, 则 2 | 2AFm,又 1 |ABBF,所以 1 3BFm,由椭圆的定义得24am, 从而 12 | | 2AFAFm,此时点 A 在 y 轴上,不妨设(0, )Ab, 从而由已知条件 22 2AFF B可得(1 0,0)2(1,) BB bxy,解得 3 , 22 BB b

12、 xy, 故 3 (,) 2 2 b B,代入椭圆方程,解得 2 3a ,所以 22 12ba , 故所求椭圆方程为 22 1 32 xy . ()设直线 AB 的方程为 1xmy, 1122 ( ,), (,)A x yB xy,将1xmy代入椭圆 22 236xy中,得 22 2(1)36myy,即 22 23440mymy , 1212 22 44 , 2323 m yyy y mm ,所以 12 12 yy m y y , 由已知,(2,0)H,直线 BH 的斜率 222 1 12 22 1 21 1 BH yyy ky yy xmy y , 所以直线 BH 的方程为 1( 2)yy

13、x,而直线 2 l的方程为 1 yy,代入 1( 2)yy x, 解得3x ,故点C的横坐标是定值 3. 6(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)过点 (1,0)A 的动直线 l 与 y 轴交于点(0, )Tt,过点 T 且垂直于 l 的直线 l 与直线2yt相交于点 M. (1)求 M 的轨迹方程; (2)设 M 位于第一象限,以 AM 为直径的圆 O 与 y 轴相交于点 N,且30NMA,求AM的值. 【答案】(1) 2 4yx(2)4 【解析】 (1) (1,0)A ,(0, )Tt,当0t 时,M 的坐标为(0,0) 当0t 时, 0 1 0 l t kt , 11 l l k k

14、t , l 的方程为 1 yxt t 由2yt得 2 xt, 2,2 M tt 验证当0t 时,也满足 2,2 M tt M 的坐标满足方程 2 4yx,即 M 的轨迹方程为 2 4yx (2)作 1 O Oy轴于 1 O, 1 MMy轴于 1 M,则 11 1 2 O OMMOA 又 A 为抛物线 2 4yx的焦点, 1 1 2 O OMA,故圆 O 与 y 轴相切于点 N 30NMA,60NOA,3 AM k,直线 AM 的方程为3(1)yx 联立 2 3(1) 4 yx yx ,消去 y 整理得 2 31030 xx ,解得3x 或 1 3 x (舍),即 0 3x A 为抛物线 2 4

15、yx的焦点, 0 14AMx 7(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ,左右焦点分别为 1 F、 2 F,A为椭圆上一点, 1 AF与y轴交于点B, 2 |ABF B, 2 | 4 OB . (1)求椭圆C的方程; (2)设直线 1: 1lxmy与椭圆C相交于M、N两点,过M作与y轴垂直的直线 2 l,点K坐标为 3 ,0 2 , 试问直线NK与直线 2 l交点的横坐标是否为定值,请说明理由. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y(2)横坐标为定值 2,详见解析 【解析】 (1)连接 2 AF,由题意得 21 |ABF

16、BFB, 所以BO为 12 F AF的中位线,又因为 12 BOFF, 所以 212 AFFF,且 2 2 2 2| 2 b AFOB a , 又 2 2 c e a , 222 abc,得 2 2a , 2 1b , 故所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y. (2)设 11 ,M x y, 22 ,N x y由 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 2210mymy 1212 22 21 , 22 m yyy y mm 直线NK的方程: 2 2 3 3 2 2 y yx x , 令 1 yy,则有 12122 1222 222 313 1 2 3222 22 2 m yxymyy

17、yyy m x yyy 2 22 2 2 22 2 mm y mm y NK与 2 l交点的横坐标为定值 2. 8 (2020 届湖南省常德市高三模拟)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab , 1( 1,0) F 为其左焦点, 3 1, 2 P 在 椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)若AB、是椭圆C上不同的两点,以AB为直径的圆过原点O,求| |AB的最大值. 【答案】(1) 22 1 43 xy ;(2)7 【解析】 (1)设椭圆的右焦点为 2(1,0) F,根据椭圆的定义: 12 24PFPFa, 2a又1c, 3b ,椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2

18、)当直线AB的斜率不存在时,由对称性可知 45AOxBOx, 不妨设 00 ,A x y,则 22 00 1 43 xy , 0 2 21 7 x ,此时 4 |21 7 AB . 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y kxm , 11 ,A x y, 22 ,B x y, 联立 22 1 43 xy ykxm ,得 222 4384120kxkmxm , 由 2222 644 434120k mkm ,得 22 430km, * 由韦达定理得 12 2 8 43 km xx k , 2 12 2 412 43 m x x k , 因为以AB为直径的圆过原点O, 所以 0OA OB ,

19、 即 22 22 12121212 2 71212 10 34 mk x xy ykx xkm xxm k , 即 2 2 1212 7 k m ,满足 *式. 设AB的中点是 00 ,P x y,则 12 0 2 4 234 xxkm x k , 0 22 43 3434 kmm ykm kk , 2222 22 222 2 21692169 1212 43 | 2| 2 3434347 34 kmkk kmm ABOP kkkk , 22 2 1691212 2 2 7 347 kk k ,当且仅当 22 1691212kk时等号成立,即 3 2 k , 又因为 4 217 7 ,所以|A

20、B的最大值为 7. 9(2020 届湖北省宜昌市高三调研)已知抛物线 2 :8C xy和直线:2l ykx,直线l恒过圆 P 的圆心,且 圆 P 上的点到直线l的最大距离为 2. (1)求圆 P 的方程; (2)直线l与抛物线 C 和圆 P 都相交,且四个交点自左向右顺次记为 A、B、C、D如果 16CDAB,求 直线l的方程. 【答案】(1) 22 (2)4xy (2)3480 xy 【解析】 (1)直线 2ykx 过定点0,2,圆心0,2P. 因为圆 P 上的点到直线的最大距离为 2,所以2r =, 所以圆 P 的方程为 22 (2)4xy. (2)由 2 8xy知0,2P为抛物线焦点 由

21、图和16CDAB,知0k . 2 22 8 8440 2 xy yky ykx , 设 11 ,A x y, 22 ,D xy,则 2 12 84yyk, 12 4y y =. 由拋物线的定义得 2 2CDDPy, 1 2ABAPy 所以 21 1616CDAByy,所以 1 1 2 y , 2 8y ,从而有 2 1 848 2 k 所以 2 93 164 kk.所以直线l的方程为3480 xy. 10(2020 届湖北省高三模拟)已知椭圆: 22 22 1 xy ab (ab0)过点 E( 2,1),其左、右顶点分别为 A,B, 左、右焦点为 F1,F2,其中 F1( 2 ,0) (1)求

22、椭圆 C 的方程: (2)设 M(x0,y0)为椭圆 C 上异于 A,B 两点的任意一点,MNAB 于点 N,直线 l:x0 x+2y0y40,设过点 A 与 x 轴垂直的直线与直线 l 交于点 P,证明:直线 BP 经过线段 MN 的中点 【答案】(1) 22 1 42 xy ;(2)证明详见解析 【解析】 (1)由题意知,2a|EF1|+|EF2| 22 ( 22)1( 22)1 4, 则 a2,c 2 ,b 2 , 故椭圆的方程为 22 1 42 xy , (2)由(1)知 A(2,0),B(2,0), 过点 A 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x2, 结合方程 x0 x+2y0y40,

23、得点 P(2, 0 0 2x y ), 直线 PB 的斜率为 0 2 00 0 0 2 224 x yx k y , 直线 PB 的方程为 0 0 2 2 4 x yx y , 因为 MNAB 于点 N,所以 N(x0,0),线段 MN 的中点坐标( 0 0 2 y x ,), 令 xx0,得 2 00 0 00 24 2 44 xx yx yy , 因为 22 00 24xy,所以 22 000 00 42 442 xyy y yy , 即直线 BP 经过线段 MN 的中点 11(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为2

24、2,离 心率为 3 2 (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l平行于直线 b yx a ,且与椭圆C交于,A B两个不同的点,若AOB为钝角,求直线l在x轴上 的截距m的取值范围 【答案】(1) 22 1 82 xy ;(2)( 2 2,0)(0,2 2) 【解析】 (1)由题意可得2 2 2b ,所以 2b , 2 2 3 1 2 cb e aa ,解得 2 2a , 所以椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy (2)由于直线l平行于直线 b yx a ,即 1 2 yx,设直线l在y轴上的截距为n, 所以l的方程为 1 (0) 2 yxn n 联立 22 1 , 2 1 82 yxn

25、xy ,得 22 2240 xnxn, 因为直线l与椭圆C交于,A B两个不同的点, 所以 22 (2 )4 240nn ,解得22n 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 2xxn , 2 12 24x xn 因为AOB为钝角等价于 0OA OB ,且0n , 所以 12121212 11 22 OA OBx xy yx xxnxn 222 1212 55 24( 2 )0 4242 nn x xxxnnnn,即 2 2n ,且 0n , 所以直线l在y轴上的截距n的取值范围:(2,0)(0, 2) 因为直线l在x轴上的截距2mn, 所以m的取值范围是:( 2 2,0)(0

26、,2 2) 12(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)已知圆E: 2 2 19 24 xy 经过椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点 12 ,F F,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且 1, , F E A三点共线,直 线l交椭圆C于M, N两点,且MNOA(0). (1)求椭圆C的方程; (2)当三角形AMN的面积取得最大值时,求直线l的方程. 【答案】(1) 22 1 42 xy ;(2) 26 20 24 xy 【解析】 (1) 如图,圆经过椭圆的左、右焦点,所以,解得,因为 1 F, E,三 点共线,所以为圆E的直径, 所以,因为,所以 .所以,由,得所以椭圆

27、的方程为. (2)由(1)得,点的坐标为,因为,所以直线 的斜率为,设直线l的方程为 ,联立,得,设,由 ,得因为 所以, 又点到直线l的距离为, .当且仅当 ,即时,等号成立,所以直线l的方程为或. 13(2020 届广东省湛江市模拟)已知 1 F, 2 F是椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点,椭圆与y轴 正半轴交于点B,直线 1 BF的斜率为 3 3 ,且 2 F到直线 1 BF的距离为 3 (1)求椭圆C的方程; (2)P为椭圆C上任意一点, 过 1 F, 2 F分别作直线 1 l,2l, 且 1 l与 2 l相交于x轴上方一点M, 当 12 3 FMF 时

28、,求P,M两点间距离的最大值 【答案】(1) 2 2 1 4 x y(2) 4 3 2 3 【解析】 (1)由题意,可知 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c,(0, )Bb 3 3 b c 直线 1 BF的方程为1 xy cb ,即0bxcybc 由题意有 2 3 bc a 又 222 abc 由得2a,1b,3c 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y (2)由(1)可知: 1( 3,0)F , 2( 3,0) F 设 00 ,P x y,( , )M x y且0y 则当 1 l, 2 l都不垂直于x轴时, 1 3 MF y k x , 2 3 MF y k x 12 3 FMF ,

29、12 3 MF xMFx 12 21 tan3 31 MFMF MFMF k kk k 化简,得 22 (1)4(3,0)xyxy 当 1 l或 2 l垂直于x轴时,得 (3,2)M ,也满足上式 M点的轨迹方程为 22 (1)4(0)xyy 当P与圆心(0,1)距离最大时,P,M两点间距离取得最大值 2 0 222 0000 14421xyyyy 2 00 325yy 2 0 1 3 33 16 y 又 0 11y , 2 2 00 4 3 01 3 xy P,M两点间距离的最大值为 4 3 2 3 14 (2020 届广东省东莞市高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 2 2 :

30、11Nxy, 圆心1,0N, 点 E 在直线1x上,点 P 满足 / /PEON,NP NEEP EN ,点 P 的轨迹为曲线 M (1)求曲线 M 的方程 (2)过点 N 的直线 l 分别交 M 于点 A、B,交圆 N 于点 C、D(自上而下),若AC、CD、DB成等差数列, 求直线 l 的方程 【答案】(1) 2 4yx;(2)2(1)yx 【解析】 (1)设,P x y,由/ /PEON,得 1,Ey, 则(1, )NPxy,( 2, )NEy ,(1,0)EPx,(2,)ENy, 由NP NE EP EN ,得 1,2,1,02,xyyxy,即 2 2222xyx, 化简得: 2 4y

31、x,所以点 P 的轨迹曲线 M 的方程为: 2 4yx; (2)由AC、CD、DB成等差数列,得 24ACDBCD, 所以弦长6ABACCDDB, 当斜率不存在时,直线 l 的方程为:1x , 交点1,2A,1, 2B,此时46AB ,不符合题意; 当斜率存在时,设直线 l 的方程为:1yk x, 11 ,A x y, 22 ,B x y, 联立方程 2 (1) 4 yk x yx ,消去 y 得: 2222 240k xkxk , 12 2 4 2xx k , 12 1x x, 显然 2 1610k 恒成立, 由抛物线的定义可知, 12 26ABxx, 2 4 46 k ,解得: 2k ,直

32、线 l 的方程为2(1)yx 15(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知点 F 为椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的一个焦点,点 A 为椭圆的右顶 点,点 B 为椭圆的下顶点,椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上,且直线 AM直线 BN,直线 AN、BM 的斜率分别为 k1和 k2,求证: k1k2e21(e 为椭圆的离心率). 【答案】(1) 22 1 43 xy (2)证明见解析 【解析】 (1)由题意可知, 3 1 ac ac ,解得 2 1 a c , b2a2c23, 椭圆的标准方

33、程为: 22 1 43 xy ; (2)由(1)可知,A(2,0),B(0,3), 设直线 AM 的斜率为 k,则直线 BN 的斜率也为 k, 故直线 AM 的方程为 yk(x2),直线 BN 的方程为 ykx 3 , 由 22 3412 2 xy yk x 得:(3+4k2)x216k2x+16k2120, 2 2 1612 2 34 M k x k , 2 2 86 34 M k x k , 2 12 34 M k y k , 2 22 8612 3434 k M kk , 由 22 3412 3 xy ykx 得: 22 348 30kxkx , 2 8 3 34 N k x k , 2

34、 2 4 33 3 34 N k y k , 2 22 8 34 33 3 3434 kk N kk , , 2 2 2 1 2 2 4 33 3 3 43 34 8 32 44 33 2 34 k k k k kkk k , 2 2 2 2 2 2 12 3 3 44 33 34 862 43 34 k kk k k kk k , k1k2 2 2 3 43 2 44 33 k kk 2 2 3 44 33 3 42 43 kk k , 又 1 2 c e a , k1k2e21. 16(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知点 1 F, 2 F是椭圆 22 22 :10 xy Ca

35、b ab 的左,右焦 点,椭圆上一点P满足 1 PFx轴, 21 5PFPF, 12 2 2FF . (1)求椭圆C的标准方程; (2)过 2 F的直线l交椭圆C于,A B两点,当 1 ABF的内切圆面积最大时,求直线l的方程. 【答案】(1) 2 2 1 3 x y;(2)2yx或2yx . 【解析】 (1)因为 1 PFx轴,所以 12 2 PFF ,则 222 1122 PFFFPF, 由 21 5PFPF, 12 2 2FF ,解得 2 5 3 3 PF , 1 3 3 PF , 12 2 2 FF c , 由椭圆的定义知 5 33 22 3 33 a , 3a ,即 222 1bac

36、, 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y. (2)要使 1 AFB的内切圆的面积最大,需且仅需其 1 AFB的内切圆的半径r最大. 因为 1 2,0F , 2 2,0F,设 11 ,A x y, 22 ,B x y,易知,直线 l 的斜率不为 0, 设直线:2l xty,联立 2 2 2 1 3 xty x y ,整理得 22 32 210tyty , 故 12 2 2 2 3 t yy t , 12 2 1 3 y y t ; 所以 11 21 2 2 12121212 1 24 2 AF BF F AF F B SSSFFyyyyy y 2 2 222 2 242 61 2 333

37、tt ttt , 又 1 11 111 44 32 3 222 AF B SAFFBABra rrr, 故 2 2 2 61 2 3 3 t r t ,即, 2 2 2 2 2121 2 32 1 1 t r t t t ; 当且仅当 2 2 2 1 1 t t ,即1t 时等号成立,此时内切圆半径取最大值为 1 2 , 直线 l 的方程为 2yx或2yx . 17(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)已知圆 22 (4)(4)25xy经过抛物线 2 :2(0)E ypx p 的焦点F,且与抛物线E的准线l相切. (1)求抛物线E的标准方程; (2)设经过点F的直线m交抛物线E于 ,A B

38、两点,点B关于x轴的对称点为点C,若 ACF的面积为 6, 求直线m的方程. 【答案】(1)y24x(2)2x 3y20 【解析】 (1)由已知可得:圆心(4,4)到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相等,即点(4,4)在抛物线 E 上, 168p,解得 p2 抛物线 E 的标准方程为 y24x (2)由已知可得,直线 m 斜率存在,否则点 C 与点 A 重合 设直线 m 的斜率为 k(k0),则直线 AB 的方程为 yk(x1) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 2 4 1 yx yk x 消去 y 得 k2x22(k2+2)x+k20 12 2 4 2xx k ,x1x21 由对称性可知,C(x2,y2),|AF|x1+1,|CF|x2+1 设直线 m(AB)的倾斜角为 ,则 tank, 2222 222 222 11 sin costank sin AFCsinsinsin cos sincostank , 121212 2 14 1121 21 AFC k Sxxsinx xxx kk 由已知可得 4 6 k ,解得 2 3 k 直线 m 的方程为 2 1 3 yx ,即 2x 3y20