1、 专题 05 面积的最值问题 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1如图三角形 ABC，BC12，AD是 BC边上的高 AD10P，N分别是 AB，AC 边上的点，Q，M 是 BC 上的点，连接 PQ，MN，PN交 AD于 E求 （1）若四边形 PQMN 是矩形，且 PQ：PN1：2求 PQ、PN 的长； （2）若四边形 PQMN 是矩形，求当矩形 PQMN面积最大时，求最大面积和 PQ、PN的长 【解析】解： （1）设 PQy，则 PN2y， 四边形 PQMN 是矩形， PNBC， APNABC， ADBC， ADPN， PN BC AE AD ，即 2 12 y 10 10 y
2、 ， 解得 y 15 4 ， PQ 15 4 ，PN 15 2 （2）设 AEx 四边形 PQMN 是矩形， PNBC， APNABC， ADBC， ADPN， PN BC AE AD ， PN 6 5 x，PQDE10 x， S矩形PQMN 6 5 x（10 x） 6 5 （x5）2+30， 当 x5时，S的最大值为 30， 当 AE5时，矩形 PQMN的面积最大，最大面积是 30， 此时 PQ5，PN6 2如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直， 10ACBD+=，当AC、BD的长是多少时， 四边形ABCD的面积最大？ 【解析】解：设 AC=x，四边形 ABCD 面积为 S，则
3、 BD=10-x， 则： 2 11125 (10)(5) 2222 SAC BDxxx ， 当 x=5 时，S最大= 25 2 ， 所以当 AC=BD=5时，四边形 ABCD的面积最大 3已知，如图，矩形 ABCD中，AD6，DC7，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD的 边 AB，CD，AD 上，AH2，连接 CF （1）当四边形 EFGH为正方形时，求 DG的长； （2）当 DG6 时，求 FCG 的面积； （3）求 FCG的面积的最小值 【解析】解： （1）四边形 EFGH 为正方形， HG=HE，EAH=D=90 ， DHG+AHE=90 ， DHG+DGH=9
4、0 ， DGH=AHE， AHEDGH（AAS） ， DG=AH=2； （2）过 F作 FMDC，交 DC延长线于 M，连接 GE， ABCD， AEG=MGE， HEGF， HEG=FGE， AEH=MGF， 在 AHE 和 MFG 中，A=M=90 ，HE=FG， AHEMFG（AAS） ， FM=HA=2， 即无论菱形 EFGH 如何变化，点 F到直线 CD 的距离始终为定值 2， 因此 S FCG= 1 2 FM GC= 1 2 2 （7-6）=1； （3）设 DG=x，则由（2）得，S FCG=7-x， 在 AHE 中，AEAB=7， HE253， x2+1653， x 37， S
5、FCG的最小值为 7- 37，此时 DG=37， 当 DG= 37时， FCG的面积最小为（7-37） 4如图，已知点 P 是AOB 内一点，过点 P 的直线 MN 分别交射线 OA，OB 于点 M，N，将直线 MN绕点 P 旋转， MON 的形状与面积都随之变化 （1）请在图 1 中用尺规作出 MON，使得 MON是以 OM 为斜边的直角三角形； （2）如图 2，在 OP的延长线上截取 PCOP，过点 C 作 CMOB交射线 OA 于点 M，连接 MP 并延长交 OB 于点 N求证：OP平分 MON 的面积； （3） 小亮发现： 在直线 MN旋转过程中， （2） 中所作的 MON 的面积最小
6、 请利用图 2帮助小亮说明理由 【解析】 （1）在 OB 下方取一点 K， 以 P为圆心，PK 长为半径画弧，与 OB交于 C、D两点， 分别以 C、D为圆心，大于 1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于 E 点， 作直线 PE，分别与 OA、OB交于点 M、N， 故 OMN 就是所求作的三角形； （2）CMOB， CPON， 在 PCM 和 PON中， CPON PCPO CPHOPN ， PCMPON（ASA） ， PMPN， OP平分 MON 的面积； （3）过点 P作另一条直线 EF交 OA、OB于点 E、F，设 PFPE，与 MC 交于于 G， CMOB， GMPFNP， 在 PGM
7、和 PFM中， PMGPNF PMPN MPGNPF ， PGMPFN（ASA） ， S PGMS PFN S四边形MOFGS MON S四边形MOFGS EOF， S MONS EOF， 当点 P 是 MN的中点时 S MON最小 5如图，现有一张矩形纸片ABCD，2AB ，6BC ，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将 矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于 点Q，连接CM （1）求证：PMPN； （2）当P，A重合时，求MN的值； （3）若PQM的面积为S，求S的取值范围 【解析】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD是矩形
8、， PMCN， PMN=MNC， MNC=PNM， PMN=PNM， PM=PN （2）解：点 P 与点 A 重合时，如图 2 中， 设 BN=x，则 AN=NC=6-x， 在 Rt ABN中，AB2+BN2=AN2， 即 22+x2=（6-x）2， 解得 x= 8 3 ， CN=6- 8 3 = 10 3 ， 2222 262 10ACABBC ， 1 10 2 CQAC， 2222 10 ()( 10) 3 10 3 QNCNCQ， 102 2 3 MNQN （3）解：当 MN过点 D时，如图 3 所示， 此时，CN最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S最小为 1 4 SS 菱形CMP
9、N= 1 2 21 4 ， 当P点与A点重合时， CN最长， 四边形CMPN的面积最大， 则 S最大为 112 1015 2 10 22323 S ， 5 1 3 S 6某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方 形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 m，直角三角形较短边长 n，且 n2m4，大正方形的面积为 S （1）求 S 关于 m的函数关系式 （2）若小正方形边长不大于 3，当大正方形面积最大时，求 m的值 【解析】解： （1）小正方形的边长 m，直角三角形较短边长 n， 直角三角形较长边长为 m+n， 由勾股定理得：S（m+n）2+n2，
10、 n2m4， S（m+2m4）2+（2m4）2， 13m240m+32， n2m40， m2， S关于 m的函数关系式为 S13m240m+32（m2） ； （2）S13m240m+32（2m3） ， S13(m- 20 13 )2+ 16 13 m 20 13 时，S随 x 的增大而增大， m3 时，S取最大 m3 7如图：已知矩形 ABCD中，AB= 3cm，BC=3cm，点 O 在边 AD上，且 AO=1cm.将矩形 ABCD 绕点 O 逆时针旋转角(0180)，得到矩形 ABCD (1)求证：ACOB； (2)如图 1, 当 B落在 AC上时，求 AA； (3)如图 2，求旋转过程中
11、CCD的面积的最大值. 【解析】解：(1)Rt OAB中，tan3 AB AOB OA AOB60 Rt ACD中， 3 tan 3 CD CAD AD CAD30 OMA180 60 30 90 即 ACOB (2)Rt OAM 中， 1 sin1 sin30 2 OMOACAD Rt OAB中，OBOB 60 OA COS 2， Rt O BM 中，BM 22 15 2 OBOM， BMOBOM 3 2 ， Rt BBM 中， 2222 153 ()( )6 22 BBB MBM , OAOB AOBA OBAOABOB OAOB 1 , 26 AAOA AA BBOB ， 6 2 AA
12、(3)如图，过 C点作 CH于 CD点 H，连结 OC，则 CHOCOD 只有当 D在 CO 的延长线上时，CH才最大. 又 CD长一定，故此时 CCD的面积的最大. 而 22 2 2OCCDOD CCD的最大面积为 1 (2 22)363 2 8问题提出 （1）如图，在ABC中，6,BCD为BC上一点，4,AD 则ABC面积的最大值是 （2）如图，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值 实际应用 （3）如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量60.80,70,ABcm BCcm CDcm且 60 ,BC 木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N在边BC上且面积最大的矩形
13、,PQMN求该矩 形的面积 【解析】解： （1）过点 A作 AEBC，如图所示： 1 2 ABC SBC AE V ， D 为 BC上一点， ADAE， 要使 ABC的面积最大，则需满足 AD=AE， BC=6，AD=4， ABC的面积最大为： 1 6 412 2 ； 故答案为 12； （2）四边形 ABCD是矩形， AB=DC，AD=BC， 矩形 ABCD 的周长是 12， 设 AB=x，则有 AD=6-x，矩形 ABCD 的面积为 S，则有： 2 2 6639Sxxxxx ， 此函数为二次函数，由10a ，二次函数的开口向下， 当 x=3 时，矩形 ABCD的面积有最大值为：S9； （3）
14、如图所示： 四边形 PQMN是矩形， QM=PN，PQ=MN，QMN=PNM=90 ， B=C=60 ，QMB=PNC=90 ， BMQCNP， BM=NC， 设 BM=NC=x，则有 MN=PQ=80-2x， 603QMBM tanx ， 2 38022 320800 3 PQMN SPQ QMxxx 矩形 ， 此函数关系为二次函数，由2 30a 可得开口向下， 当 x=20 时，矩形 PQMN的面积有最大，即800 3 PQMN S 矩形 9如图，已知A，B是线段MN上的两点，4MN ，1MA ，1MB ，以A为中心顺时针旋转点M， 以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成
15、ABC，设ABx （1）求x的取值范围； （2）求ABC面积的最大值 【解析】解： （1）4MN ，1MA，ABx， 4 13BNxx 由旋转的性质，得1MAAC，3BNBCx ， 由三角形的三边关系，得 31, 31, xx xx 解不等式得1x ， 解不等式得2x， x的取值范围是12x （2）如图，过点C作CDAB于点D， 设CDh，由勾股定理，得 222 1ADACCDh= ， 2222 (3)BDBCCDxh ， BDABAD， 222 (3)1xhxh ，两边平方并整理，得 2 134xhx ，两边平方整理，得 2 2 2 832 = xx h x ABC的面积为 11 22 AB
16、 CDxh， 22 22 1131 8322 2422 Sxhxxx ， 当 3 2 x 时，ABC面积最大值的平方为 1 2 ， ABC面积的最大值为 2 2 10 如图， 已知 AB为半圆 O的直径， P 为半圆上的一个动点 （不含端点） ， 以 OP、 OB 为一组邻边作 POBQ， 连接 OQ、AP，设 OQ、AP 的中点分别为 M、N，连接 PM、ON （1）试判断四边形 OMPN的形状，并说明理由 （2）若点 P从点 B出发，以每秒 15 的速度，绕点 O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为 ts 试求：当 t为何值时，四边形 OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线 PQ 与半圆
17、 O的位置关系（需 说明理由） ； 是否存在这样的 t， 使得点 Q 落在半圆 O内？若存在， 请直接写出 t的取值范围； 若不存在， 请说明理由 【解析】 （1）四边形 OMPN为矩形，理由如下： 四边形 POBQ为平行四边形， PQOB，PQ=OB 又OB=OA， PQ=AO 又PQOA， 四边形 PQOA为平行四边形， PAQO，PA=QO 又M、N 分别为 OQ、AP 的中点， OM= 1 2 OQ，PN= 1 2 AP， OM=PN， 四边形 OMPN 为平行四边形 OP=OA，N是 AP 的中点， ONAP，即ONP=90 ， 四边形 OMPN 为矩形； （2）四边形 OMPN为矩
18、形， S矩形OMPN=ON NP=ON 1 2 AP，即 S矩形OMPN=S AOP AOP的底 AO为定值， 当 P旋转运动 90 （运动至最高点）时， AOP 的 AO 边上的高取得最大值，此时 AOP 的面积取得最大 值， t=90 15=6秒， 当 t=6秒时，四边形 OMPN 面积最大 此时，PQ与半圆 O相切理由如下： 此时POB=90 ，PQ/OB， OPQ=90 ， PQ与半圆 O相切； 当点 Q 在半圆 O上时， 四边形 POBQ为平行四边形，且 OB=OP， 四边形 POBQ为菱形， OB=BQ=OQ=OP=PQ， POQ=BOQ=60 ，即：BOP=120 ， 此时，t=
19、120 15 =8 秒， 当点 P 与点 A重合时，t=180 15 =12 秒， 综上所述：当 8t12 时，点 Q在半圆 O内 11如图，在 ABC中，C90 ，AB10，BC8点 D，E 分别是边 AC，BC上的动点，连接 DE设 CDx（x0） ，BEy，y与 x之间的函数关系如图所示 （1）求出图中线段 PQ所在直线的函数表达式； （2）将 DCE 沿 DE翻折，得 DME 点 M 是否可以落在 ABC 的某条角平分线上？如果可以，求出相应 x 的值；如果不可以，说明理由； 直接写出 DME 与 ABC 重叠部分面积的最大值及相应 x的值 【解析】解： （1）设线段 PQ所在直线的函
20、数表达式为 ykx+b， 将 P（3，4）和 Q（6，0）代入得， 03 06 kb kb ，解得 4 3 8 k b ， 线段 PQ所在直线的函数表达式为 4 8 3 yx ； （2）如图 1， 连接 CM并延长 CM交 AB于点 F， C90 ，AB10，BC8， AC 22 ABBC 6， 由（1）得 BE 2 2 21624248 DEKP Sxxx 四边形 ， CE 4 3 x， 3 4 DCAC CEBC ， DCEACB， DCEACB， DECABC， DE/AB， 点 C和点 M 关于直线 DE对称， CMDE， CFAB， 11 22 ABC SAC BCAB CF ， 6
21、 810 CF， CF 24 5 , C90 ，CDx，CE 4 3 x， DE 22 5 3 CECDx， CM 8 5 x，MF 248 55 x， 过点 M 作 MGAC 于点 M，过点 M作 MHBC于点 H， 则四边形 GCHM 为矩形， GCM+BCFBCF+ABC90 ， GCMABC， MGCACB90 ， CGMBCA， MGCGCM ACBCAB ， 即 8 5 6810 x MGCG ， MG 24 25 x，CG 32 25 x， MH 32 25 x， （）若点 M 落在ACB的平分线上，则有 MGMH，即 2432 2525 xx，解得 x0（不合题意舍去） ， （
22、）若点 M落在BAC的平分线上，则有 MGMF，即 24248 2555 xx，解得 x 15 8 ， （）若点 M 落在ABC的平分线上，则有 MHMF，即 32248 2555 xx，解得 x 5 3 综合以上可得，当 x 15 8 或 x 5 3 时，点 M 落在 ABC 的某条角平分线上 当 0 x3 时，点 M 不在三角形外， DME与 ABC重叠部分面积为 DME的面积， 2 142 233 Sxxx， 当 x3 时，S 的最大值为 2 2 36 3 当 3x6时，点 M在三角形外，如图 2， 由知 CM2CQ 8 5 x， MTCMCF 824 55 x， PK/DE， MPKM
23、DE， 2 22 2 824 26 55 4 5 MPK MDE x xSMF SMQx x ， 2 2 26 MPKMDE x SS x ， DEKPMDEMPK SSS 四边形 ， 22 2 22 26262 11 3 DEKPMDE xx SSx xx 四边形 ， 即： 2 2 21624248 DEKP Sxxx 四边形 ， 当 x4时， DME 与 ABC重叠部分面积的最大值为 8 综合可得，当 x4时， DME 与 ABC重叠部分面积的最大值为 8 12问题提出 （1）如图，已知线段 AB，请以 AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图，已知点 A是直线 l外一点，点 B
24、、C 均在直线 l上，ADl且 AD=3，BAC=60 ，求 ABC 面积的最小值； 问题解决 （3） 如图， 某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草， 在四边形 ABCD中， A=45 ， B=D=90 ，CB=CD=6m，点 E、F分别为 AB、AD上的点，若保持 CECF，那么四边形 AECF的面积 是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由 【解析】解： （1）如图，Rt ACB 即为所求 （2）如图，作 ABC的外接圆O，连接 OA，OB，OC，过点 O作 OEBC于点 E， 则BOC=2BAC，OA=OB=OC，BE=CE= 1 2 BC， B
25、AC=60 ， BOC=120 ，OBC=OCB=30 ， 设 OA=OB=OC=r， 则 OE= 1 2 r，BC=2BE= 3r， AO+OEAD，AD=3， r+ 1 2 r3， 解得 r2， BC= 3r2 3， S ABC= 1 2 BCAD 1 2 2 3 3=3 3， ABC面积的最小值为3 3 （3）存在；如图，分别延长 AB、DC交于点 M， 则 ADM、 CBM 均为等腰直角三角形， CB=CD=6m， BM=6m，CM=6 2m，AD=DM=（6+6 2）m， S四边形ABCD =S ADM-S CBM = 1 2 DM2- 1 2 BC2 = 1 2 （6+6 2）2-
26、 1 2 62 =（36+36 2）m2 将 CBE绕点 C顺时针旋转 135 得到 CDE， 则 A、D、E三点共线 S四边形AECF=S四边形ABCD（S CBE+S CDF）=S四边形ABCDS CEF S四边形ABCD为定值， 当 S CEF取得最小值时，S四边形AECF取得最大值 ECF=135-90 =45 ， 以 EF为斜边作等腰 Rt OEF， 则 CEF的外接圆是以点 O为圆心，OF长为半径的圆， 设 CEF的外接圆半径为 rm， EF= 2rm， 又OC+ODCD， 2 2 r+r6， r12-6 2， 当点 O在 CD 上时，EF最短，此时 EF= 2r=（12 2-12）m， S CEF最小= 1 2 （12 2-12） 6=（36 2-36）m 2， S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S CEF最小=36+36 2-（36 2-36）=72m2
