1、 专题 06 规律问题 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1 某种球形病毒的直径约是0.01纳米， 一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒， 假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到 1 分米时，人体就会感到不 适 （1 米 9 =10 纳米） （1）从感染到第一个病毒开始，经过 5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？ （2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？ 【答案】 （1）从感染到第一个病毒开始，经过 5分钟，人体内改种病毒的总长度是 1000纳米； （2）从感染 到第一个病毒开始，经过 10 分钟，人体
2、会感到不适 【解析】解： （1）由题意可知：经过 5分钟，人体内改种病毒的总长度是 0.01 1 105=1000（纳米） 答：从感染到第一个病毒开始，经过 5分钟，人体内改种病毒的总长度是 1000 纳米； （2）1 分米= 1 10 米 8 =10纳米 而 8 10 （0.01 1）= 10 10 从感染到第一个病毒开始，经过 10分钟，人体会感到不适 答：从感染到第一个病毒开始，经过 10 分钟，人体会感到不适 2你会求 2018201720162 1? 1aaaaaa的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑 简单的情况，通过计算，探索规律： 2 111aaa 23 111aaaa
3、324 111aaaaa （1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到 2019201820172 11aaaaaa_； （2）利用上面的结论求 2019201820172 22222 1L 的值 （3）求 2019201820172 55554的值 【答案】 （1） 2020 1a； （2） 2020 21 ； （3） 2020 1 59 4 【解析】 （1）由题可以得到 122 11 nnn aaaaaa 1 1 n a 201920182 11aaaaa 2020 1a （2）由结论得： 2019201820172 22222 1 201920182 2 12222 1 2020 21 （3
4、） 2019201820172 55554 2019201820172 5 1 5555 +5+1-2 4 2020 1 512 4 2020 1 59 4 3计算|1 1 2 |+| 1 2 1 3 |+| 1 3 1 4 |+| 1 99 1 100 | 【答案】 99 100 【解析】解： 1111111 1 2233499100 111111 =1 223499100 1 =1 100 99 = 100 4观察下列等式： 第 1个等式： 1 111 1 212 a ；第 2个等式： 2 111 2 323 a ； 第 3个等式： 3 111 3 434 a ；第 4个等式： 4 111
5、 4 545 a ； 解答下列问题： （1）按以上规律写出第 5个等式： 5 a = （2）求 1232020 aaaaL的值 （3）求 1111 4 88 1212 1620162020 的值 【答案】 （1） 1 56 ， 11 56 ； （2） 2020 2021 ； （3） 63 1010 【解析】解： （1）第 1个等式： 1 111 1 212 a ； 第 2个等式： 2 111 2 323 a ； 第 3个等式： 3 111 3 434 a ； 第 4个等式： 4 111 4 545 a ； 第 5个等式： 5 111 5 656 a ； 故答案为： 1 56 ； 11 56 ；
6、 （2） 1232020 11111111 12233420202021 aaaa 1 1 2021 2020 2021 ； （3） 1111 4 88 1212 1620162020 812 1111111 44820162020 111 442020 1504 42020 63 1010 5阅读材料：求 2342015 122222的值 解：设 23420142015 1222222S ，将等式的两边同乘以 2，得 23420152016 2222222S 将下式减去上式得， 2016 221SS 即 2016 21S 即 23420152016 12222221 请你仿照此法计算： （1
7、）填空： 23 1 222 （2）求 23410 1 2222 +2 的值 （3）求 234 11111 1( )( )( )( ) 33333 n 的值 （其中 n为正整数） 【答案】 （1）15； （2）2047； （3） 311 ( ) 223 n 【解析】解： （1）由题意可得， 1+2+22+23=24-1=16-1=15， 故答案为：15； （2）由题意可得， 23410 1 2222 +2 11 21 2048 1 2047； （3）设 234 11111 1( )( )( )( ) 33333 n S ， 则 2341 1111111 ( )( )( )( )( ) 33333
8、33 nn S ， 1 11 1 ( ) 33 n SS ， 1 21 1 ( ) 33 n S ， 解得， 311 ( ) 223 n S ， 即 234 11111 1( )( )( )( ) 33333 n 的值是 311 ( ) 223 n 6在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是2020年1月份的日历，我们用如图所示的四 边形框出五个数 2020年1月： （1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如： (108)(162)16，(21 19)(27 13)16不难发现，结果都是16若设中间位置的数为n，请 用含n的式子表示发现的规律，
9、并写出验证过程 （2）用同样的四边形框再框出5个数，若其中最小数的2倍与最大数的和为56，求出这5个数中的最大数 的值 （3）小明说：我用同样的四边形框也框出了5个数，其中最小数与最大数的积是120请判断他的说法是 否正确，并说明理由 【答案】 （1）(1)(1)(7)(7)16nnnn，见解析； （2）28； （3）正确，见解析 【解析】 （1）设中间位置的数为n，左边数为1n，右边数1n，上面数7n，下面数为7n， 则(1)(1)(7)(7)16nnnn （2）2(7)(7)56nn，21n， 21 728 （3）正确 (7)(7)120nn， 13n (舍去)或者13n ，可以存在 7材
10、料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数例如：正整数 22 是两位对称数；正整数 797是三位对称数；正整数 4664是四位对称数；正整数 12321 是五位对称数 根据材料，完成下列问题： （1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为_ （2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这 两个两位数的差一定能被 9 整除吗？请说明理由 （3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于 10，并且这个四位对称数能被 7整除，请求出满 足条件的四位对称数 【答案】 （1）200； （2）一定可以，理由见解析； （
11、3）3773 【解析】解： （1）最大的两位对称数是 99， 最小的三位对称数是 101， 99 101200， 故答案是：200； （2）设个位和千位上的数字是 a，十位和百位上的数字是 b， 则这两位数分别是10a b、10ba， 101099abbaab， 它们的差是99ab， 这个数是 9 的倍数，所以这个数一定可以被 9 整除； （3）设这个四位数的个位数是 x，则十位数是10 x， 这个数可以表示为10 10100 101000 xxxx，化简得8911100 x， 令1x ，则这个数是 1991， 令2x，则这个数是 2882， 令3x ，则这个数是 3773， 令9x，则这个数
12、是 9119， 其中只有 3773 能够被 7 整除， 满足条件的四位数是 3773 8用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体 图中每个几何体自上而下分 别叫第一层、第二层，第n层（n为正整数) （1）搭建第个几何体的小立方体的个数为 （2）分别求出第、个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积 （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面） ，已知喷涂 2 1cm需要油漆0.2克，求喷涂 第20个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】 （1）30； （2）第个几何体露出部分（不含底面）面积为 2 64cm，第个几何体露出部分（不含 底面）面积为 2 132
13、cm； （3）992克 【解析】 （1）搭建第个几何体的小立方体的个数为 1， 搭建第个几何体的小立方体的个数为 2 1 41 2 ， 搭建第个几何体的小立方体的个数为 22 149123 ， 归纳类推得：搭建第个几何体的小立方体的个数为 222 1234149 1630 ， 故答案为：30； （2）第个几何体的三视图如下： 由题意，每个小正方形的面积为 2 2 24()cm， 则第个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 2 3 2 3 24464()cm ； 第个几何体的三视图如下： 则第个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 2 6 26 2 94132()cm ； （3）第 20 个
14、几何体从第 1 层到第 20层小立方体的个数依次为 22 1,2 ,20， 则第 20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为 22 21220212202044960()cm ， 因此，共需要油漆的克数为4960 0.2992（克） ， 答：共需要 992 克油漆 9 阅读下列解题过程： 22 11 ( 54)54 54 54( 54)( 54)( 5)( 4) ， 22 11 ( 65)65 65 65( 65)( 65)( 6)( 5) ， 请回答下列回题： （1）观察上面的解答过程，请写出 1 10099 ； （2）请你用含 n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）
15、利用上面的解法，请化简： 11111 . 122334989999100 【答案】 （1）10 3 11 ； （2） 1 1 1 nn nn ； （3）9 【解析】 （1） 1 10099 110099 10099)( 10099) () ( 22 10099 10099 ( 100)( 99) 10 3 11 ； 故答案为：10 3 11 （2）观察前面例子的过程和结果得： 1 1 1 nn nn ； （3）反复运用 1 1 1 nn nn 得 11111 . 122334989999100 = 213243.10099 = 1223344.99100 =1100 =-1+10=9 10先化
16、简，再求值：(2 + )2 (2 )(2 + ) 5，其中 = 2019， = 1. 【答案】2021. 【解析】原式=42+ 4 + 2（42 2） 5 = 42+ 4 + 2 42+ 2 5， = 22 ， 当 = 2019， = 1时， 原式= 2 （ 1）2 2019 （ 1）= 2021 11观察下列三行数，回答问题： -1、+3、-5、 +7、-9、 +11、 -3、 +1、-7、 +5、-11、+9、 +3、-9、 +15、-21、+27、-33、 （1）第行第 9个数是_ 第行第 9 个数是_ 第行第 9 个数是_ （2）在第行中，是否存在连续的三个数，使其和为 83？若存在，
17、求这三个数；若不存在，说明理由 （3）是否存在第 m列数（每行取第 m个数） ，这三个数的和正好为-99？若存在，求 m；若不存在，说明理 由 【答案】 （1）-17；-19；51 （2）存在，85，-91，89； （3）第m列数不存在，理由见解析 【解析】 （1）观察到第行的规律是 121 n n，第行的规律是将第行的数-2，第行的规律是 1 163 n n ， 因此当 n=9时，第行的数为-17 第行的数为-17-2=-19，第行的数为17351 ； （2）设第行存在连续的三个数和为 83，且第一个数为x， 若0 x，即x在第行中的偶数次列，满足第n列的数为23n（其中n为正偶数） ， 则
18、 6483xxx ， 得85x ， 即2385,44nn，符合题意，x在第行第 44 列， 此时，连续的三个数依次为 85，-91，89 若0 x，即x在第行中的奇数次列，满足第n列的数为21n（其中n为正奇数） ， 则 2483xxx ， 得89x ， 即21 89n ，45n，不符合题意，故舍去， 综上所述，存在这样连续的三个数使和为 83，依次为 85，-91，89 （3）设存在第m列数使三个数的和为-99，且此列第行的数为y， 则第m列第行的数为2y ，第行的数为3y-， 2399yyy ， 得97y =， 又第行中奇数次列为负，偶数次列为正， 97 1249，即 97在第行第 49
19、列，应为负，故假设不成立， 所以，这样的第m列数不存在 12回答下列问题： （1）填空： abab_； 22 abaabb_； 3223 abaa babb_ （2）猜想： 1221nnnn abaababb L_ （其中n为正整数，且 2n） ； （3）利用（2）猜想的结论计算： 1098732 2222222L ； 1098732 2222222L 【答案】 （1） 22 ab； 33 ab； 44 ab； （2） nn ab ； （3）2046；682 【解析】解： 22 ababab； 22 abaabb 322223 aa baba babb 33 ab； 3223 abaa bab
20、b 4322332234 aa ba baba ba babb 44 ab； 故答案为： 22 ab； 33 ab； 44 ab； （2）根据（1）中的规律，可得猜想： 1221 nnnnnb abaababbabL （其中n为正整数，且2n） ， 故答案为： nn ab ； （3） 1098732 2222222L 1098732 2222222 1 1 L 10982733728910 (2 1)(221 212121212 11 ) 1 L 11 21 1 2048 1 1 2046； 1098732 2222222L 1098732 2222222 1 1 L 10982733728910 1 2( 1)22( 1)2( 1)2( 1)2( 1)2( 1)2 ( 1)( 1) 1 3 L 1111 1 2( 1) 1 3 1 2049 1 3 683 1 682
