1、 专题 03 圆 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，/OC BD，交AD于点 E，连结BC （1）求证：AEED； （2）若6AB，30ABC，求图中阴影部分的面积 【解析】 （1）证明：AB是O的直径， ADB=90 ， OCBD， AEO=ADB=90 ，即 OCAD， 又OC 为半径， AE=ED； （2）解：连接 CD，OD， OC=OB， OCB=OBC=30 ， AOC=OCB+OBC=60 ， OCBD， OCB=CBD=30 ， COD=2CBD=60 ，ABD=60 ， AOD=120 ， AB=6， BD=3，AD
2、=3 3， OA=OB，AE=ED， OE 1 2 BD 3 2 ， S阴影=S扇形AOD-S AOD= 2 120313 3 3 36022 = 9 3 3 4 2 如图已知 AB是O的直径，10AB， 点 C， D在O 上， DC平分ACB， 点 E在O 外，EACD (1)求证：AE 是O的切线； (2)求 AD的长 【解析】 （1）D和B是AC所对圆周角， DB ； AB 是圆的直径， 90BCA， 在Rt ABC中，90BBAC ， 90DBAC ， EACD， 90EACBAC， BAAE，AE 是O的切线 （2）如图： AB 是圆的直径，DC 平分ACB， 90BCA，45DCA
3、， 2DOADCA ， 90DOA，DOA是直角三角形； ODOAQ， 1 5 2 OAAB， 22 555 2AD 3已知如图，MN为O的直径，ME为O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为D，且ME平 分DMN 求证： （1）DE是O的切线； （2） 2 MEMD MN 【解析】 （1）证明OMOE， OMEOEM ME平分DMN， OMEEMD， OEMEMD， /OE MD MDDE， OEDE， DE是O的切线； （2）证明：连接 NE， MN为O的直径， 90MEN MDDE， 90MDE OMEEMD， MDEMEN， MDME MEMN ， 2 MEMD MN 4如图，在 R
4、t ABC中，ACB=90 ，CD是斜边 AB上的中线，以 CD为直径的O分别交 AC，BC于 点 M，N，过点 N作 NEAB，垂足为 E， （1）若O的半径为 5 2 ，AC=6，求 BN的长； （2）求证：NE 与O 相切 【解析】解： （1）连接 DN，ON O的半径为 5 2 ， CD=5 ACB=90 ，CD是斜边 AB上的中线， BD=CD=AD=5， AB=10， BC= 22 ABAC =8 CD为直径 CND=90 ，且 BD=CD BN=NC=4 （2）ACB=90 ，D为斜边的中点， CD=DA=DB= 1 2 AB， BCD=B， OC=ON， BCD=ONC， ON
5、C=B， ONAB， NEAB， ONNE， NE为O的切线 5如图，AB 为O 的直径，点 C 是O 上的一点，AB=8cm，BAC=30 ，点 D 是弦 AC上的一点 （1）若 ODAC，求 OD长； （2）若 CD=2OD，判断ADO形状，并说明理由 【解析】解： （1） AB为O 的直径， 90 ,ACB AB=8cm，BAC=30 ， 4,BC ODAC， 90 ,ACB /OD BC， ,OAOB 1 2. 2 ODBC （2）ADO是等腰三角形理由如下： 如图，过O作OQAC于,Q 连接,OC 8,30 ,ABBAC 3 cos3084 3, 2 ACAB 2 3,CQAQ 1
6、2, 2 OQOA 设,ODx 则22 ,CDODx 22 3,DQx 由勾股定理可得： 2 22 22 32 ,xx 2 340,x 12 4 3 , 3 xx 4 34 3 4 32, 33 ADOD ADO是等腰三角形 6已知 AB 是O 的直径，C 是O 上的一点（不与点 A，B重合） ，过点 C作 AB的垂线交O于点 D， 垂足为 E 点 （1）如图 1，当 AE=4，BE=2 时，求 CD的长度； （2）如图 2，连接 AC，BD，点 M 为 BD的中点求证：MEAC 【解析】解： （1）如图 1，连接 OC AE=4，BE=2， AB =6， CO =AO=3， OE =AE-A
7、O=1， CDAB， CE= 2222 312 2OCOE AB是O的直径，CDAB， CE=DE， CD=2CE=4 2 （2）证明：如图 2，延长 ME与 AC 交于点 N CDAB， BED=90 M为 BD 中点， EM = 1 2 BD =DM， DEM=D， CEN=DEM=D B=C，90BD 90CCEN CNE =90 ， 即 MEAB 7如下图所示，在直角坐标系中，以0m,为圆心的O与x轴相交于CD、两点，与y轴相交于AB、两 点，连接ACBC、 （1）AB上有一点E，使得EAEC求证 ACAB AEAC ； （2）在（1）的结论下，延长EC到P点，连接PB，若PBPE，请
8、证明PB与O相切； （3）如果1m，O的半径为 2，求（2）中直线PB的解析式 【解析】解： （1）由题意可知，BACABC ， 又因为EAEC，所以ACECAEABC ， 故ABCACE， 所以 ACAB AEAC ， （2）连接 OB ，则2CO BCAB ， 因为=PB PE，2PBEPEBCABCO B ， 故90PBOPBEEBOCO BEBO ， 即PB O B ，所以PB与 O 相切 （3）1OO，2 O B ，所以30OBO， 60OO BPBO ， 所以PBE，CBO均为等边三角形，它们的高分别是2,3BCOB， 故B点的坐标为(0,3)；P点的横坐标为2，纵坐标为 23 3
9、3 33 ， 设PB的直线为y kxb ，则 3 3 2 3 b kb ， 所以 3 3 3 b k ，所以直线PB的解析式为 3 3 3 yx 8如图 1，CD是O的直径，且 CD 过弦 AB 的中点 H，连接 BC，过弧 AD上一点 E 作 EFBC，交 BA 的延长线于点 F，连接 CE，其中 CE交 AB 于点 G，且 FEFG （1）求证：EF是O的切线； （2）如图 2，连接 BE，求证：BE2BGBF； （3）如图 3，若 CD的延长线与 FE 的延长线交于点 M，tanF 3 4 ，BC5 7，求 DM的值 【解析】 （1）连接 OE，则OCEOEC， FEFG， FGEFEG
10、， H 是 AB的中点， CHAB， GCHCGH90 ， FEOFEGCEO90 ， EF是O的切线； （2）CHAB， AC BC CBACEB， EFBC， CBAF，故FCEB， FBEGBE， FEBEGB， BEBF BGBE 2 BEBG BF； （3）如图 2，过点 F作 FRCE 于点 R， 设CBACEBGFE，则 tan 3 4 ， EFBC， FECBCG，故 BCG 为等腰三角形，则 BGBC57， 在 Rt BCH 中，BC5 7，tanCBHtan 3 4 ， 则 sin 3 5 ，cos 4 5 ， CHBCsin5 73 5 3 7，同理 HB47； 设圆的半
11、径为 r，则 OB2OH2BH2， 即 r2（r3 7） 2（4 7） 2，解得：r25 7 6 ； GHBGBH5 7477， tanGCH 71 33 7 GH CH ，则 cosGCH 3 10 ， 则 tanCGH3tan，则 cos 1 10 ， 连接 DE，则CED90 ， 在 Rt CDE 中 cosGCH 3 210 CECE CDr ，解得：CE 5 70 2 ， 在 FEG 中，cos 13 70 1 24 10 GE FGFG ， 解得：FG15 7 2 ； FHFGGH17 7 2 ， HMFHtanF17 7 2 3 4 51 7 8 ； CMHMCH 75 7 8
12、， MDCMCDCM2r 25 7 24 9 （1）如图，OABOCD、的顶点 O 重合，且180ABCD ，则 AOB+COD=_ ； （直接写出结果） （2）连接ADBC、，若AOBOCODO、分别是四边形ABCD的四个内角的平分线. 如图，如果110AOB，那么 COD的度数为_； （直接写出结果） 如图，若AODBOC，AB与CD平行吗？为什么？ 【答案】 （1）180； （2）70；/ABCD，理由见解析. 【解析】 （1） 0 360ABCDAOBDOC ,可得 0 180AOBDOC； （2）结合 00 180 ,110AOBDOCAOB,可得COD 70； /ABCD， 理由是
13、：因为AOBOCODO、分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， 所以 1111 2222 OABDABOBACBAOCDBCDODCADC，. 所以 1 2 OABOBAOCDODCDABCBABCDADC（） 在四边形ABCD中，360DABCBABCDADC. 所以 1 360180 2 OABOBAOCDODC 在OAB中，180OABOBAAOB. 在OCD中，180OCDODCCOD. 所以180180180AOBCOD. 所以0180A BCOD 所以360360180180ADOBODAOBCOD （）. 因为AODBOC， 所以90AODBOC 在AOD中，180180909
14、0DAOADOAOD. 因为 11 22 DAODABADOADC， 所以 11 90 22 DABADC. 所以180DABADC. 所以/ABCD 10 如图 1， 设ABC是一个锐角三角形， 且ABAC，为其外接圆，OH、 分别为其外心和垂心，CD 为圆直径，M为线段BC上一动点且满足2AHOM （1）证明：M为BC中点； （2）过O作BC的平行线交AB于点E，若F为AH的中点，证明： EFFC； （3）直线AM与圆的另一交点为N（如图 2） ，以AM为直径的圆与圆的另一交点为P证明：若 APBCOH、三线共点，则AH HN；反之也成立 【解析】解： （1）连接,AD BD，则DAAC，
15、DBBC 又H为ABC垂心 BHAC，AHBC /,/AD BH BD AH 四边形ADBH为平行四边形 2DBAHOM，又O为CD中点 M为BC中点 （2）过E作EGBC 连接GH，由（1）可知四边形EGHF为平行四边形，四边形EGFA为平行四边形 ,CHAB AB GF CHGF H为FGC垂心 ,GHGHCFEF而 EFFC （3）设AM与OF交点为I 由（1）可知四边形OMFA为平行四边形 I为直径AM中点 而圆I与圆相交弦为AP ,OFAPMH OF而 MHAP 设,MC APQ交于 则H为AMQ垂心 QHAM APBCOH、三线共点 ,O H Q三点共线 OH AN AHHN 11
16、 如图，BC是O的直径，AD是 O的弦，AD交BC于点E， 连接,AB CD， 过点E作EFAB， 垂足为F，AEFD （1）求证：ADBC； （2）点G在BC的延长线上，连接,2AGDAGD 求证：AG与O相切； 当 2 ,4 5 AF CE BF 时，直接写出CG的长 【解析】 （1）证明： ACAC BD ， DAEP BAEF EFAB 90BFE 90BBEF 90AEFBEF 即90AEB ADBC （2）连接AO ACAC 2AOED AOEDAG ADBC 90AEO 90AOEOAE 90DAGOME 即90OAG AGAO AO是O的半径 AG与O相切 如图， BC为直径，
17、EFAB， BAC=BFE=90 ， ACFE， 2 5 CEAF BEBF ， CE=4， BE=10， BC=14， OA=OC=7， 7 43OE ， 在 Rt AOE中，由勾股定理，得 22 732 10AE ， AOEDAG，90AEOAEG， AEOGEA， OEAE AEGE ，即 32 10 2 10GE ， 40 3 GE ， 4028 4 33 CGGECE 12如图，AB是O的直径，点C是弧AF的中点 （1）如图 1，求证：AHFH； （2）如图 2，若CDAB于点D，交AF于点E，求证：AECE； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接BC交AF于T，连接OT，/CRA
18、B交AF于S、交O于点R， 已知45OTB，1TH ，求CR的长 【解析】解： （1）连接OF，点C是弧AF的中点， 弧AC 弧CFAOC FOC OAOFAHFH； （2）延长CD交O于点M，连接AC CDAB，AB是O的直径弧AC 弧AM 弧AC 弧CF弧AM 弧CF FACMCAAECE； （3）连接FB AB是O的直径90AFB 设FBC90FTB 弧AC 弧CFABC FBC 45OTB9045135FTO 18045135TOB 135FTOTOB 18013545ATOTOA ATAO 连接AC，作OKBC于点K OKBCCKBK，90OKB ATOA，OAOBOCATOB 弧A
19、C 弧CFABC FAC， AB是O的直径，90ACB OKBACTACEBKO ACBK，BKCK 1 tan 2 AC BC 由（1）知，OCAF，90ACB 90TCHACH，90CAHACH TCHCAT 1 tan 2 HT HCT CH 1TH 2CH ，24AHCH 2222 242 5ACCHAH 1 tan 2 ABC， 1 2 AC BC ， 4 5BC 作RPAB于点P，连接OR 22 10ABACBC 5OAOB 1 tan 2 AD ACD CD ， 2 22 2ADADAC 2AD ，5 23OD Rt CDORt RPO3OPOD， 四边形CDPR是矩形，6CRDP
