1、 专题 02 四边形 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1如图，在正方形 ABCD中，E、F是对角线 BD 上两点，且EAF45 ，将 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到 ABQ，连接 EQ （1）求证：EA是QED的平分线； （2）已知 BE1，DF3，求 EF 的长 【详解】 证明： （1）将 ADF绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到 ABQ， QBDF，AQAF，BAQDAF， EAF45 ， DAF+BAE45 ， QAE45 ， QAEFAE， 在 AQE和 AFE中， AQAF QAEFAE AEAE ， AQEAFE（SAS） ， AEQAEF， EA
2、是QED的平分线； （2）由（1）得 AQEAFE， QEEF，ADFABQ， 四边形 ABCD是正方形， ADBABD45 ， ABQ45 ， QBEABQ+ABD90 ， 在 Rt QBE 中，QB2+BE2QE2， 又QBDF， EF2BE2+DF21+910， EF10 2四边形 ABCD为正方形，点 E为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EFDE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 35 时，求EFC 的度数 【详解】 解： （1）
3、证明：如图，作 EPCD于 P，EQBC于 Q， 四边形 ABCD 为正方形， DCABCA45 ， EQEP， 矩形 DEFG， PED+PEF90 ， QEF+PEF90 ， QEFPED， 在 Rt EQF和 Rt EPD中， QEFPED EQEP EQFEPD ， RtEQFRtEPD（ASA） ， EFED， 矩形 DEFG 是正方形； （2）当 DE与 AD 的夹角为 35 时， 如图 2， ADE35 ，ADC90 ， EDC55 ， 360909055125 ,EFC 当 DE与 DC的夹角为 35 时， 如图 3，即,DC EF交于H， 90 ,DEHDCFDHEFHC E
4、DCEFC35 ， 综上所述：EFC35 或 125 3 如图所示， 四边形ACED中，CEAD， 以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交AF 于B，求证：ABFB. 【详解】 证明：如图，延长 FC 交 AD于点 G， 四边形 CDEF为平行四边形， CFDE，CF=DE， 又CEAD， 四边形 CEDG为平行四边形， CG=DE， CF=CG，且 BCAG， BC是 FAG的中位线， B为 AF 的中点， 即 AB=FB 4如图 1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，点 ,F C B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相 交于点M （1）求证：BEFD （2）如图 2，
5、N是BC边上的一点，连接AN交BE于点H，且 BNGM BCGE 求证：BNEC ； 若2CEDE，直接写出 BN AB 的值 【详解】 解： （1）四边形 ABCD和四边形 CEGF是正方形， BC=CD=AB，CE=CF，BCE=DCF=90 BCEDCF（SAS） ， BE=FD； （2）四边形 ABCD和四边形 CEGF是正方形， CD/GE，GF=EC DEMFGM， GMGFEC EMDEDE GMEC EGDC BNGM BCGE BNEC BCDC BC=CD BNEC 2CEDE 2 3 CEDC BNEC 2 3 BN DC AB=CD 2 3 BN AB 5 如图 1，
6、已知正方形 ABCD， AB4， 以顶点 B为直角顶点的等腰 Rt BEF 绕点 B 旋转， BEBF10， 连结 AE，CF （1）求证： ABECBF （2）如图 2，连结 DE，当 DEBE 时，求 S BCF的值 （3）如图 3，当 Rt BEF旋转到正方形 ABCD外部，且线段 AE 与线段 CF 存在交点 G 时，若 M是 CD的 中点，P是线段 DG上的一个动点，当满足 MP+ 2 2 PG的值最小时，求 MP 的值 【详解】 解： （1）四边形 ABCD是正方形， ABBC，ABC90 ， EBF90 ABC， ABECBF， 又BEBF，ABBC， ABECBF（SAS） ；
7、 （2）如图 2，过点 E作 EHAB 于 H， ABECBF， S ABES CBF， ADAB，AEAE，DEBE， ADEABE（SSS） ， DAEBAE45 ， EHAB， EABAEH45 ， AHEH， BE2BH2+EH2， 10BE2+（4BE）2， BE1 或 3， 当 BE1 时 S ABES CBF 1 2 AB EH 1 2 4 11， 当 BE3 时 S ABES CBF 1 2 AB EH 1 2 4 36， （3）如图 3，过点 P作 PKAE 于 K， 由（1）同理可得 ABECBF， EABBCF， BAE+CAE+ACB90 ， BCF+CAE+ACB90
8、 ， AGC90 ， AGCADC90 ， 点 A，点 G，点 C，点 D四点共圆， ACDAGD45 ， PKAG， PGKGPK45 ， PKGK 2 2 PG， MP+ 2 2 PGMP+PK， 当点 M，点 P，点 K三点共线时，且点 E，点 G重合时，MP+ 2 2 PG值最小， 如图 4，过点 B作 BQCF于 Q， BEBF10，EBF90 ，BQEF， EF2 5，BQEQFQ5， CQ 22 BCBQ16511， CECQEQ 115， MKAE，CEAE， MKCE， DMMP DCCE ， 又M 是 CD 的中点， DC2DM， MP 1 2 CE 115 2 6如图，在
9、正方形ABCD中，点E、F均为中点，连接AF、DE交于点P，连接PC，证明： 2PEPFPC 【详解】 证明：如图，延长DE至N，使得ENPF，连接CN， 在正方形ABCD中， E、F分别是BC、CD的中点， CEDF， 在ADF和DCE中， , 90 , , ADCD ADFDCE DFCE ADFDCE SAS ， AFDDEC， CFPCEN， 在CEN和CFP中， , , , CECF CENCFP ENPF CENCFP SAS ， CNCP，ECNPCF， 90PCFBCP， 90ECNBCPNCP， NCP 是等腰直角三角形， 2PNPENEPC 即 2PEPFPC 7如图，正方
10、形 ABCD 中，E为 BC 上一点，过点 B 作BGAE于 G，延长 BG 至点 F 使45CFB （1）求证：BAGCBF； （2）求证：AGFG； （3）若2,2GFBG CF，求 AB的长 【详解】 （1）证明：因为 ABCD 是正方形 所以90ABGCBF 在三角形 BGA中， 因为,BGAEBAGCBF （2）过点 C作CHBF， ,AGBF CHBF 90AGBBHC 因为 ABCD是正方形， 所以 AB=BC， 由（1）BAGCBF 所以AGBBHC ,AGBH BGCH 在三角形 CHF 中，45 ,CBFFHCH GFGHFHGHCHGHBGBHAG， 所以AGFG （3）
11、在三角形 CHF 中， 45 ,2CFBCF 1CHHF BGCH 2CFBG 2FG AGFG 222 215ABAGBG 8已知正方形 ABCD，点 E 在 AB上，点 G在 AD，点 F在射线 BC上，点 H 在 CD 上 （1）如图 1，DEFG，求证：BFAE+AG； （2）如图 2，DEDF，P 为 EF中点，求证：BE 2PC； （3）如图 3，EH交 FG 于 O，GOH45 ，若 CD4，BFDG1，则线段 EH的长为 【详解】 解： （1）如图 1，过点 G作 GMBC 于 M， 则GMBGMF90 ， 四边形 ABCD是正方形， ADAB，AB90 ， 四边形 ABMG
12、是矩形， AGBM， DEGF， ADE+DGFADE+AED90 ， AEDDGF， 又DGFMFG， AEDMFG， DAEGMF（AAS） ， AEMF， 则 BFBM+MFAG+AE； （2）如图 2，过点 E作 EQPC，交 BC于点 Q， P 是 EF的中点， PC 是 EQF的中位线， 则 EQ2PC，QCCF， ADCEDF90 ， ADECDF， 又ADCF90 ，ADCD， ADECDF（ASA） ， AECFQC， ABBC， BEBQ， 则BEQ45 ， EQ 2BE， 则 2PC 2BE， BE 2PC； （3）如图 3所示，作 BMGF交 AD 于 M，作 BNEH
13、 交 CD 于 N， 则四边形 BFGM 和四边形 BEHN 是平行四边形， BMGF，BFMG1，BNEH， DG1，CDAD4， AM2， 延长 DC到 P，使 CPAM2， BABC，ABCP90 ， BAMBCP（SAS） ， ABMCBP，BMBP， GOH45 ，BNEH，BMGF， MBN45 ， ABM+CBN45 ， CBP+CBN45 ，即PBN45 ， MBNPBN（SAS） ， MNPN， 设 CNx，则 MNPNCN+PCx+2，DN4x， 在 Rt DMN中，由 DM2+DN2MN2可得 22+（4x）2（x+2）2， 解得 x 4 3 ， 则 EHBN 22 BC
14、CN 22 4 4( ) 3 4 10 3 ， 故答案为： 4 10 3 9已知：四边形ABCD为正方形，AMN是等腰Rt，90AMN （1）如图：当Rt AMN绕点A旋转时，若边AM、AN分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF， 试证明：EFDFBE （2）如图，当Rt AMN绕点A旋转时，若边AM、AN分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连 接EF 试写出此时三线段EF、DF、BE的数量关系并加以证明 若6CE ，2DF ，求：正方形ABCD的边长以及AEF中AE边上的高 【详解】 （1）证明：如图 1，延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG， 四边形 ABCD是正方形， D
15、=ABC=DAB=ABG=90 ，AD=AB， 在 ADF和 ABG中， ADAB DABG DFBG ， ADFABG（SAS） ， AG=AF，DAF=BAG， EAF=45 ， EAG=EAB+BAG=EAB+DAF=45 ， EAF=EAG， AE=AE， EAFEAG， EF=EG=EB+BG=EB+DF （2）三线段EF、DF、BE的数量关系是：EFBEDF，理由如下: 如图 2，在BC上取一点G，使BGDF 连接AG，同(1)可证ABGADF， AG=AF，DAF=BAG， AMN是等腰直角三角形， 45MNAN， 45FADDAE， 45DAEBAG， 90DAB， 90454
16、5GAEFAE， 在FAE和GAE中， AFAG FAEGAF AEAE FAEGAE SAS， EFEGBEBG， BGDF， EFBEDF 如图 2，过 F作 FHAE于 H， 设正方形 ABCD的边长是 x，则 BC=CD=x， CE=6，DF=BG=2， EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4， 在 Rt FCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2， （x+4）2=（x+2）2+62 ， 解得：x=6， AG=AF= 22 622 10 ， FAM=45 ，FH= 2 2 AF= 2 2 10 2 =2 5， ， 即 AEF中 AE 边上的高为2 5 10如图
17、，在边长为a的正方形 ABCD中，作ACD的平分线交 AD于 F，过 F 作直线 AC的垂线交 AC于 P，交 CD的延长线于 Q，又过 P作 AD的平行线与直线 CF 交于点 E，连接 DE，AE，PD，PB （1）求 AC，DQ的长； （2）四边形 DFPE 是菱形吗？为什么？ （3）探究线段 DQ，DP，EF 之间的数量关系，并证明探究结论； （4）探究线段 PB 与 AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论 【详解】 解： （1）AC= 22 aa2a ， CF平分BCD，FDCD，FPAC， FD=FP，又FDQ=FPA，DFQ=PFA， FDQFPA（ASA） ， QD=AP，
18、 点 P 在正方形 ABCD对角线 AC上， CD=CP=a， QD=AP=AC-PC=21 a； （2）FD=FP，CD=CP， CF垂直平分 DP，即 DPCF， ED=EP，则EDP=EPD， FD=FP， FDP=FPD， 而 EPDF， EPD=FDP， FPD=EPD， EDP=FPD， DEPF，而 EPDF， 四边形 DFPE 是平行四边形， EFDP， 四边形 DFPE 是菱形； （3）DP2+ EF2=4QD2，理由是： 四边形 DFPE 是菱形，设 DP 与 EF交于点 G， 2DG=DP，2GF=EF， ACD=45 ，FPAC， PCQ为等腰直角三角形， Q=45 ，
19、 可得 QDF为等腰直角三角形， QD=DF， 在 DGF中，DG2+FG2=DF2， 有（ 1 2 DP）2+（ 1 2 EF）2=QD2 ， 整理得：DP2+ EF2=4QD2； （4）DFQ=45 ，DEFP， EDF=45 ， 又DE=DF=DQ=AP=21 a，AD=AB， ADEBAP（SAS） ， AE=BP，EAD=ABP， 延长 BP，与 AE 交于点 H， HPA=PAB+PBA=PAB+DAE， PAB+DAE+HAP=90 ， HPA+HAP=90 ， PHA=90 ，即 BPAE， 综上：BP 与 AE的关系是：垂直且相等. 11 如图 1， 在一个平面直角三角形中的
20、两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。 在 ABC中， C=90 ， 则 AC2+BC2AB2我们定义为“商高定理”。 （1）如图 1，在 ABC 中，C=90 中，BC4，AB5，试求 AC_； （2）如图 2，四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2； （3） 如图 3， 分别以 Rt ACB 的直角边 BC和斜边 AB为边向外作正方形 BCFG 和正方形 ABED， 连结 CE、 AG、GE已知 BC4，AB5，求 GE2的值 【详解】 解： （1） ：在 ABC中，C=90 中，BC=4，AB=5， AC= 22 ABBC =3， 故
21、答案为：3； （2）证明：在 Rt DOA中，DOA=90 ， OD2+OA2=AD2， 同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2， AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2， AB2+CD2=AD2+BC2 ； （3）解：连接 CG、AE，设 AG 交 CE于 I，AB 交 CE 于 J，如图 3 所示： 四边形 BCFG 和四边形 ABED 都是正方形， GBC=EBA=90 ，AB=BE=5，BG=BC=4， GBC+CBA=EBA+CBA， ABG=EBC， 在 ABG和 EBC 中， = ABB
22、E ABGEBC BGBC ， ABGEBC（SAS） ， BAG=BEC， AJI=EJB， EBJ=AIJ=90 ， AGCE， 由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2， 在 Rt CBG 中，CG2=BC2+BG2， 即 CG2=42+42=32， 在 Rt ABE 中，AE2=BE2+AB2， 即 AE2=52+52=50， 在 Rt ABC 中，AB2=AC2+BC2， 即 52=AC2+42， AC2=9， AC2+GE2=CG2+AE2 ， 即 9+GE2=32+50， GE2=73 12已知：在正方形 ABCD中，AB3，E是边 BC上一个动点（点 E 不与点 B，点 C
23、重合） ，连接 AE，点 H 是 BC 延长线上一点过点 B作 BFAE，交 AE于点 G，交 DC 于点 F （1）求证：AEBF； （2）过点 E作 EMAE，交DCH的平分线于点 M，连接 FM，判断四边形 BFME 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，EMC的正弦值为 2 10 ，求四边形 AGFD 的面积 【详解】 解：证明： （1）在正方形 ABCD 中， ABEBCF90 ，ABBC， BAE+ABF90 ，CBF+ABF90 ， BAECBF，且ABEBCF90 ，ABBC， ABEBCF（ASA） AEBF， （2）四边形 BFME 是平行四边形 理由如下：如图 1
24、：在 AB上截取 BNBE， ABEBCF BAEFBC ABBC，BNBE， ANEC，BNE45 ANE135 CM 平分DCH DCMMCH45 ECM135 ANE AEEM AEB+MEC90 ，AEB+BAE90 BAEMEC，且 ANEC，ANEDCM ANEECM（SAS） AEEM，BAEMEC BAEFBCMEC BFEM，且 BFAEEM 四边形 BFME 是平行四边形 （3）如图 2，连接 BD，过点 F作 FNBD于点 N， 四边形 ABCD是正方形， ABBCCD3，DBCBDC45 ， BD3 2，DBF+FBC45 MCHMEC+EMC45 ，FBCMEC EM
25、CDBF sinEMCsinDBF NF BF 2 10 设 NF 2a，BF10a， BDC45 ，FNBD DNNF 2a，DF2NF2a BN3 22a BF2NF2BN2， 98a2（3 22a） 2， a 3 8 DF23 8 3 4 FC 9 4 ABEBCF BECF 9 4 ， EC 3 4 ，BF 22 BCCF 15 4 FBCFBC，BGEBCF BGEBCF BGGEBE BCFCBF 9 4 915 3 44 BGGE BG 9 5 ，GE 27 20 S四边形ADFGS四边形ADECS四边形ECFG， S四边形ADFG 13191927693 3+3 24242520200 （3）-(-)=
