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2021届中考数学压轴大题专项训练专题03:圆(含答案解析)

1、 专题 03 圆 2021 届中考数学压轴大题专项训练(解析版) 1如图,已知AB是O的直径,C,D是O上的点,/OC BD,交AD于点 E,连结BC (1)求证:AEED; (2)若6AB,30ABC,求图中阴影部分的面积 【解析】 (1)证明:AB是O的直径, ADB=90 , OCBD, AEO=ADB=90 ,即 OCAD, 又OC 为半径, AE=ED; (2)解:连接 CD,OD, OC=OB, OCB=OBC=30 , AOC=OCB+OBC=60 , OCBD, OCB=CBD=30 , COD=2CBD=60 ,ABD=60 , AOD=120 , AB=6, BD=3,AD

2、=3 3, OA=OB,AE=ED, OE 1 2 BD 3 2 , S阴影=S扇形AOD-S AOD= 2 120313 3 3 36022 = 9 3 3 4 2 如图已知 AB是O的直径,10AB, 点 C, D在O 上, DC平分ACB, 点 E在O 外,EACD (1)求证:AE 是O的切线; (2)求 AD的长 【解析】 (1)D和B是AC所对圆周角, DB ; AB 是圆的直径, 90BCA, 在Rt ABC中,90BBAC , 90DBAC , EACD, 90EACBAC, BAAE,AE 是O的切线 (2)如图: AB 是圆的直径,DC 平分ACB, 90BCA,45DCA

3、, 2DOADCA , 90DOA,DOA是直角三角形; ODOAQ, 1 5 2 OAAB, 22 555 2AD 3已知如图,MN为O的直径,ME为O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为D,且ME平 分DMN 求证: (1)DE是O的切线; (2) 2 MEMD MN 【解析】 (1)证明OMOE, OMEOEM ME平分DMN, OMEEMD, OEMEMD, /OE MD MDDE, OEDE, DE是O的切线; (2)证明:连接 NE, MN为O的直径, 90MEN MDDE, 90MDE OMEEMD, MDEMEN, MDME MEMN , 2 MEMD MN 4如图,在 R

4、t ABC中,ACB=90 ,CD是斜边 AB上的中线,以 CD为直径的O分别交 AC,BC于 点 M,N,过点 N作 NEAB,垂足为 E, (1)若O的半径为 5 2 ,AC=6,求 BN的长; (2)求证:NE 与O 相切 【解析】解: (1)连接 DN,ON O的半径为 5 2 , CD=5 ACB=90 ,CD是斜边 AB上的中线, BD=CD=AD=5, AB=10, BC= 22 ABAC =8 CD为直径 CND=90 ,且 BD=CD BN=NC=4 (2)ACB=90 ,D为斜边的中点, CD=DA=DB= 1 2 AB, BCD=B, OC=ON, BCD=ONC, ON

5、C=B, ONAB, NEAB, ONNE, NE为O的切线 5如图,AB 为O 的直径,点 C 是O 上的一点,AB=8cm,BAC=30 ,点 D 是弦 AC上的一点 (1)若 ODAC,求 OD长; (2)若 CD=2OD,判断ADO形状,并说明理由 【解析】解: (1) AB为O 的直径, 90 ,ACB AB=8cm,BAC=30 , 4,BC ODAC, 90 ,ACB /OD BC, ,OAOB 1 2. 2 ODBC (2)ADO是等腰三角形理由如下: 如图,过O作OQAC于,Q 连接,OC 8,30 ,ABBAC 3 cos3084 3, 2 ACAB 2 3,CQAQ 1

6、2, 2 OQOA 设,ODx 则22 ,CDODx 22 3,DQx 由勾股定理可得: 2 22 22 32 ,xx 2 340,x 12 4 3 , 3 xx 4 34 3 4 32, 33 ADOD ADO是等腰三角形 6已知 AB 是O 的直径,C 是O 上的一点(不与点 A,B重合) ,过点 C作 AB的垂线交O于点 D, 垂足为 E 点 (1)如图 1,当 AE=4,BE=2 时,求 CD的长度; (2)如图 2,连接 AC,BD,点 M 为 BD的中点求证:MEAC 【解析】解: (1)如图 1,连接 OC AE=4,BE=2, AB =6, CO =AO=3, OE =AE-A

7、O=1, CDAB, CE= 2222 312 2OCOE AB是O的直径,CDAB, CE=DE, CD=2CE=4 2 (2)证明:如图 2,延长 ME与 AC 交于点 N CDAB, BED=90 M为 BD 中点, EM = 1 2 BD =DM, DEM=D, CEN=DEM=D B=C,90BD 90CCEN CNE =90 , 即 MEAB 7如下图所示,在直角坐标系中,以0m,为圆心的O与x轴相交于CD、两点,与y轴相交于AB、两 点,连接ACBC、 (1)AB上有一点E,使得EAEC求证 ACAB AEAC ; (2)在(1)的结论下,延长EC到P点,连接PB,若PBPE,请

8、证明PB与O相切; (3)如果1m,O的半径为 2,求(2)中直线PB的解析式 【解析】解: (1)由题意可知,BACABC , 又因为EAEC,所以ACECAEABC , 故ABCACE, 所以 ACAB AEAC , (2)连接 OB ,则2CO BCAB , 因为=PB PE,2PBEPEBCABCO B , 故90PBOPBEEBOCO BEBO , 即PB O B ,所以PB与 O 相切 (3)1OO,2 O B ,所以30OBO, 60OO BPBO , 所以PBE,CBO均为等边三角形,它们的高分别是2,3BCOB, 故B点的坐标为(0,3);P点的横坐标为2,纵坐标为 23 3

9、3 33 , 设PB的直线为y kxb ,则 3 3 2 3 b kb , 所以 3 3 3 b k ,所以直线PB的解析式为 3 3 3 yx 8如图 1,CD是O的直径,且 CD 过弦 AB 的中点 H,连接 BC,过弧 AD上一点 E 作 EFBC,交 BA 的延长线于点 F,连接 CE,其中 CE交 AB 于点 G,且 FEFG (1)求证:EF是O的切线; (2)如图 2,连接 BE,求证:BE2BGBF; (3)如图 3,若 CD的延长线与 FE 的延长线交于点 M,tanF 3 4 ,BC5 7,求 DM的值 【解析】 (1)连接 OE,则OCEOEC, FEFG, FGEFEG

10、, H 是 AB的中点, CHAB, GCHCGH90 , FEOFEGCEO90 , EF是O的切线; (2)CHAB, AC BC CBACEB, EFBC, CBAF,故FCEB, FBEGBE, FEBEGB, BEBF BGBE 2 BEBG BF; (3)如图 2,过点 F作 FRCE 于点 R, 设CBACEBGFE,则 tan 3 4 , EFBC, FECBCG,故 BCG 为等腰三角形,则 BGBC57, 在 Rt BCH 中,BC5 7,tanCBHtan 3 4 , 则 sin 3 5 ,cos 4 5 , CHBCsin5 73 5 3 7,同理 HB47; 设圆的半

11、径为 r,则 OB2OH2BH2, 即 r2(r3 7) 2(4 7) 2,解得:r25 7 6 ; GHBGBH5 7477, tanGCH 71 33 7 GH CH ,则 cosGCH 3 10 , 则 tanCGH3tan,则 cos 1 10 , 连接 DE,则CED90 , 在 Rt CDE 中 cosGCH 3 210 CECE CDr ,解得:CE 5 70 2 , 在 FEG 中,cos 13 70 1 24 10 GE FGFG , 解得:FG15 7 2 ; FHFGGH17 7 2 , HMFHtanF17 7 2 3 4 51 7 8 ; CMHMCH 75 7 8

12、, MDCMCDCM2r 25 7 24 9 (1)如图,OABOCD、的顶点 O 重合,且180ABCD ,则 AOB+COD=_ ; (直接写出结果) (2)连接ADBC、,若AOBOCODO、分别是四边形ABCD的四个内角的平分线. 如图,如果110AOB,那么 COD的度数为_; (直接写出结果) 如图,若AODBOC,AB与CD平行吗?为什么? 【答案】 (1)180; (2)70;/ABCD,理由见解析. 【解析】 (1) 0 360ABCDAOBDOC ,可得 0 180AOBDOC; (2)结合 00 180 ,110AOBDOCAOB,可得COD 70; /ABCD, 理由是

13、:因为AOBOCODO、分别是四边形ABCD的四个内角的平分线, 所以 1111 2222 OABDABOBACBAOCDBCDODCADC,. 所以 1 2 OABOBAOCDODCDABCBABCDADC() 在四边形ABCD中,360DABCBABCDADC. 所以 1 360180 2 OABOBAOCDODC 在OAB中,180OABOBAAOB. 在OCD中,180OCDODCCOD. 所以180180180AOBCOD. 所以0180A BCOD 所以360360180180ADOBODAOBCOD (). 因为AODBOC, 所以90AODBOC 在AOD中,180180909

14、0DAOADOAOD. 因为 11 22 DAODABADOADC, 所以 11 90 22 DABADC. 所以180DABADC. 所以/ABCD 10 如图 1, 设ABC是一个锐角三角形, 且ABAC,为其外接圆,OH、 分别为其外心和垂心,CD 为圆直径,M为线段BC上一动点且满足2AHOM (1)证明:M为BC中点; (2)过O作BC的平行线交AB于点E,若F为AH的中点,证明: EFFC; (3)直线AM与圆的另一交点为N(如图 2) ,以AM为直径的圆与圆的另一交点为P证明:若 APBCOH、三线共点,则AH HN;反之也成立 【解析】解: (1)连接,AD BD,则DAAC,

15、DBBC 又H为ABC垂心 BHAC,AHBC /,/AD BH BD AH 四边形ADBH为平行四边形 2DBAHOM,又O为CD中点 M为BC中点 (2)过E作EGBC 连接GH,由(1)可知四边形EGHF为平行四边形,四边形EGFA为平行四边形 ,CHAB AB GF CHGF H为FGC垂心 ,GHGHCFEF而 EFFC (3)设AM与OF交点为I 由(1)可知四边形OMFA为平行四边形 I为直径AM中点 而圆I与圆相交弦为AP ,OFAPMH OF而 MHAP 设,MC APQ交于 则H为AMQ垂心 QHAM APBCOH、三线共点 ,O H Q三点共线 OH AN AHHN 11

16、 如图,BC是O的直径,AD是 O的弦,AD交BC于点E, 连接,AB CD, 过点E作EFAB, 垂足为F,AEFD (1)求证:ADBC; (2)点G在BC的延长线上,连接,2AGDAGD 求证:AG与O相切; 当 2 ,4 5 AF CE BF 时,直接写出CG的长 【解析】 (1)证明: ACAC BD , DAEP BAEF EFAB 90BFE 90BBEF 90AEFBEF 即90AEB ADBC (2)连接AO ACAC 2AOED AOEDAG ADBC 90AEO 90AOEOAE 90DAGOME 即90OAG AGAO AO是O的半径 AG与O相切 如图, BC为直径,

17、EFAB, BAC=BFE=90 , ACFE, 2 5 CEAF BEBF , CE=4, BE=10, BC=14, OA=OC=7, 7 43OE , 在 Rt AOE中,由勾股定理,得 22 732 10AE , AOEDAG,90AEOAEG, AEOGEA, OEAE AEGE ,即 32 10 2 10GE , 40 3 GE , 4028 4 33 CGGECE 12如图,AB是O的直径,点C是弧AF的中点 (1)如图 1,求证:AHFH; (2)如图 2,若CDAB于点D,交AF于点E,求证:AECE; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接BC交AF于T,连接OT,/CRA

18、B交AF于S、交O于点R, 已知45OTB,1TH ,求CR的长 【解析】解: (1)连接OF,点C是弧AF的中点, 弧AC 弧CFAOC FOC OAOFAHFH; (2)延长CD交O于点M,连接AC CDAB,AB是O的直径弧AC 弧AM 弧AC 弧CF弧AM 弧CF FACMCAAECE; (3)连接FB AB是O的直径90AFB 设FBC90FTB 弧AC 弧CFABC FBC 45OTB9045135FTO 18045135TOB 135FTOTOB 18013545ATOTOA ATAO 连接AC,作OKBC于点K OKBCCKBK,90OKB ATOA,OAOBOCATOB 弧A

19、C 弧CFABC FAC, AB是O的直径,90ACB OKBACTACEBKO ACBK,BKCK 1 tan 2 AC BC 由(1)知,OCAF,90ACB 90TCHACH,90CAHACH TCHCAT 1 tan 2 HT HCT CH 1TH 2CH ,24AHCH 2222 242 5ACCHAH 1 tan 2 ABC, 1 2 AC BC , 4 5BC 作RPAB于点P,连接OR 22 10ABACBC 5OAOB 1 tan 2 AD ACD CD , 2 22 2ADADAC 2AD ,5 23OD Rt CDORt RPO3OPOD, 四边形CDPR是矩形,6CRDP