1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 考情研析 三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内 容.1.三角恒等变换主要考查：两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角公式、半角公 式的应用；辅助角公式的应用 2.解三角形问题主要考查：边和角的计算；三角形形 状的判断；面积的计算；有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合 起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视 核心知识回顾 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin ( ) 01sin_cos_cos_sin_； cos ( ) 02cos_cos_sin_sin_； tan ( ) 03 tan tan
2、1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 012sin_cos_； cos 2 02cos2sin2032cos210412sin2； tan2 05 2tan 1tan2； cos2 06 1cos2 2 ，sin2 07 1cos2 2 3辅助角公式 a sin b cos 01_ a2b2sin_() tan b a 4正弦定理 在ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， 则 01 a sin A b sin B c sin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径) 变形：a 022R_sin_A，b032R_sin_B，c042R_sin_C
3、sin A 05 a 2R，sin B 06 b 2R，sin C 07 c 2R abc 08sin_Asin_Bsin_C 5余弦定理 a2 01b2c22bc_cos_A，b202a2c22ac_cos_B，c203a2b22ab_cos_C 推论：cos A 04 b2c2a2 2bc ， cos B 05 a2c2b2 2ac ， cos C 06 a2b2c2 2ab 6面积公式 SABC 01 1 2bc_sin_A 02 1 2ac_sin_B 03 1 2ab_sin_C 7常用结论 (1)三角形内角和 01ABC； (2)abc 02ABC03sin_Asin_Bsin_C
4、； (3)sin (AB) 04sin_C，cos (AB)05cos_C 热点考向探究 考向 1 三角恒等变换与求值 例 1 (1)已知 (0，)，且 sin 4 2 10，则 tan 2( ) A4 3 B3 4 C24 7 D24 7 答案 C 解析 sin 4 2 2 (sin cos ) 2 10， sin cos 1 5.(0， )， 且 sin 2cos2 1， sin4 5， cos 3 5， tan 4 3，tan 2 2tan 1tan2 24 7 . (2)(2020 辽宁省沈阳市三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导 的“0.618 优选法”在生产和
5、科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618 就是黄金分割比 m 51 2 的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin18，则 m4m2 2cos2271( ) A4 B 51 C2 D 51 答案 C 解 析 由 题 意 ， 2sin18 m 51 2 ， m2 4sin218 ， 则 m4m2 2cos2271 2sin1844sin218 cos54 2sin18 2cos18 cos54 2sin36 cos54 2.故选 C. (3)(2020 山东省泰安市高三一模)已知 ， 3 4 ， ，sin()3 5，sin 4 12 13， 则 cos 4 _ 答案 56 65 解析 已知 ，
6、 3 4 ， ，sin ()3 5， sin 4 12 13， 3 2 ，2 ， 4 2， 3 4 ， cos ()4 5，cos 4 5 13， cos 4 cos （） 4 cos ()cos 4 sin ()sin 4 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. (1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同 次”“化异角为同角”，其中涉及 sin2 2，cos 2 2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂 (2)常见的“变角”技巧：()()，1 2()()， 4 2 4 ， 4 4 等， 使用“变角”技巧时， 应根据已知条件中的角， 选择恰当变角技巧 1已知
7、 tan 4 1 2，且 20，则 2sin2sin2 cos 4 等于( ) A2 5 5 B3 5 10 C3 10 10 D2 5 5 答案 A 解析 由 tan 4 tan 1 1tan 1 2，得 tan 1 3.又 20，所以 AD3. 真题押题 真题检验 1(2020 全国卷)若 为第四象限角，则( ) Acos 20 Bcos 20 Dsin 20 答案 D 解析 当 3时，cos 2cos 2 3 0，A 错误；当 6时，cos 2cos 3 0，B 错误；由 为第四象限角可得 sin 0，cos 0，则 sin 22sin cos 0，C 错误， D 正确故选 D. 2(2
8、020 全国卷)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3，则 tan B( ) A 5 B2 5 C4 5 D8 5 答案 C 解析 由余弦定理，得 AB2BC2AC22BC AC cos C9162342 39，AB 3.cos BAB 2BC2AC2 2ABBC 9916 233 1 9，sin B 1 1 9 2 4 5 9 ，tan B4 5.故选 C. 3(2020 全国卷)已知 2tan tan 4 7，则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 解析 2tan tan 4 7， 2tan tan 1 1tan 7.令 ttan ， t1， 则 2t 1t 1t7，
9、 整理，得 t24t40，解得 t2，即 tan 2.故选 D. 4(2020 全国卷)若 sin x2 3，则 cos 2x_ 答案 1 9 解析 cos 2x12sin2x12 2 3 2 18 9 1 9. 5(2020 全国卷)如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1，ABAD 3， ABAC，ABAD，CAE30，则 cosFCB_ 答案 1 4 解析 ABAC，AB 3，AC1，由勾股定理，得 BCAB2AC22，同理可得 BD 6，BFBD 6.在ACE 中，AC1，AEAD 3，CAE30，由余弦定理， 得 CE2AC2AE22AC AE cos 301321 3 3
10、2 1， CFCE1.在BCF 中， BC2，BF 6，CF1，由余弦定理，得 cos FCBCF 2BC2BF2 2CFBC 146 212 1 4. 6(2020 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B150. (1)若 a 3c，b2 7，求ABC 的面积； (2)若 sin A 3sin C 2 2 ，求 C. 解 (1)由余弦定理可得 b228a2c22ac cos 1507c2， c2，a2 3， ABC 的面积 S1 2ac sin B 3. (2)AC30， sin A 3sin Csin (30C) 3sin C 1 2cos C 3 2 si
11、n C 3sin C 1 2cos C 3 2 sin Csin (C30) 2 2 . 0C30，30C3060， C3045，C15. 7(2020 全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2CsinB sin C. (1)求 A； (2)若 BC3，求ABC 周长的最大值 解 (1)sin2Asin2Bsin2CsinB sin C， 由正弦定理，得 BC2AC2AB2AC AB， AC2AB2BC2AC AB， cos AAC 2AB2BC2 2ACAB 1 2. A(0，)，A2 3 . (2)解法一：由余弦定理，得 BC2AC2AB22AC AB cos AAC2AB2AC
12、AB9， 即(ACAB)2AC AB9. ACAB ACAB 2 2 (当且仅当 ACAB 时取等号)， 9(ACAB)2AC AB (ACAB)2 ACAB 2 2 3 4(ACAB) 2， ACAB2 3(当且仅当 ACAB 时取等号)， ABC 的周长 LACABBC32 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 解法二：由正弦定理，得 AB sin C AC sin B BC sin A 3 sin 2 3 2 3， AB2 3sin C，AC2 3sin B. A2 3 ，C 3B. ABAC2 3sin 3B 2 3sin B 2 3 3 2 cos B1 2sin B 2 3si
13、n B 3cos B 3sin B2 3sin B 3 . 当 B 6时，ABAC 取得最大值 2 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 金版押题 8在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且ABC 同时满足下列四个条件中 的三个：a2c2b22 3 3 ac；1cos 2A2sin2A 2；a 3；b2. (1)满足ABC 有解的序号组合有哪些？ (2)在(1)的组合中任选一组，求ABC 的面积 解 (1)由条件，得 cos Ba 2c2b2 2ac 2 3 3 ac 1 2ac 3 3 ， 由条件，得 12cos2A11cos A，即 2cos2Acos A10， 解得
14、 cos A1 2或 cos A1(舍去)， 因为 A(0，)，所以 A 3. 因为 cos B 3 3 1 2cos 2 3 ，B(0，)， 而 ycos x 在(0，)上单调递减，所以2 3 B 3 2 3 ，与 AB0，ycos1320，那么ABC 的形状为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 答案 A 解析 ABC，cos (2BC)cos Ccos B(A)cos (BA)cos (BA)cos (BA)cos B cos Asin B sin Acos B cos Asin B sin A2cos B cos A0， cos B cos A0，即 cos
15、B 与 cos A 异号，又 A，B(0，)，ABC 为钝角三角形故选 A. 6设函数 f(x)sin xcos x，若对于任意的 xR，都有 f(2x)f(x)，则 sin 2 3 ( ) A1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 答案 B 解析 f(x)sin xcos x 2sin x 4 ，由 f(2x)f(x)，得 x 是函数 f(x)的对称轴， 4 2k，kZ， 3 4 k，kZ.sin 2 3 sin 3 2 2k 3 sin 7 6 1 2. 故选 B. 7 (2020 福建省泉州市一模)ABC 中， BC2 5， D 为 BC 的中点， BAD 4， AD1， 则 AC(
16、) A2 5 B2 2 C6 5 D2 答案 D 解析 在ABD 中，由余弦定理可得，BD2AB2AD22AB AD cos BAD，即 5AB2 1 2AB，解得 AB2 2，由正弦定理可得， 1 sinABD 5 sin 4 ，所以 sin ABD 10 10 ，cos ABD3 10 10 ，在ABC 中，由余弦定理可得，AC2AB2BC22AB BC cos ABC(2 2)2 (2 5)222 22 53 10 10 ，解得 AC2.故选 D. 8 已知在锐角ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 2b cos Cc cos B， 则 1 tan A 1
17、 tan B 1 tan C的最小值为( ) A2 7 3 B 5 C 7 3 D2 5 答案 A 解析 因为 2b cos Cc cos B，所以 2sin B cos Csin C cos B，即 2tan Btan C，又因为 ABC，所以 tan Atan (BC)tan (BC) tan Btan C 1tan B tan C 3tan B 12tan2B，所以 1 tan A 1 tan B 1 tan C 12tan2B 3tan B 1 tan B 1 2tan B 2tan2B1 3tanB 3 2tan B 94tan2B2 6tan B 4tan2B7 6tan B 2
18、3 tan B 7 6tan B 2 2 3tan B 7 6tan B 2 7 3 当且仅当2 3tan B 7 6tan B，即tan B 7 2 时，取“” .故选 A. 二、填空题 9已知 cos 6 sin 3 5，则 cos 32 的值是_ 答案 7 25 解析 cos 6 sin cos 6 3 5， cos 32 2cos 2 6 1 7 25. 10(2020 广东省广州市一模)设当 x 时，函数 f(x)sinx 3cos x 取得最大值，则 tan 4 _ 答案 2 3 解析 f(x)sin x 3cos x2sin x 3 ，当 x 时，函数 f(x)取得最大值， 3
19、2 2k，kZ， 62k，kZ，tan 4 tan 62k 4 tan 4 6 1 3 3 1 3 3 2 3. 11(2019 浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上若 BDC45，则 BD_，cos ABD_ 答案 12 2 5 7 2 10 解析 如图，易知 sin C4 5， cos C3 5.在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BD BC sin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 由ABCABDCBD90，可得 cos ABDcos (90CBD)sin CBD sin 180(CBDC)
20、sin(CBDC)sin C cos BDCcos C sin BDC4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 12我们把到三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点，若三角形的内角均小于 120，则该三角形的费马点与三角形三边的张角均为 120.已知三角形 ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别是 a， b， c.若|ab|c26， C60， 若三角形 ABC 的费马点为 O， 则 OA OB OBOCOC OA_ 答案 6 解析 由|ab|c26，得 c2a2b22ab6. 由 C60，得 c2a2b2ab.两式相减，得 ab6. 所以 SABC1 2ab sin C 1 26 3
21、 2 3 3 2 . 所以 SABC1 2OA OBsin120 1 2OB OCsin120 1 2OA OCsin120 3 3 2 ，得 OA OB OB OCOC OA6. 三、解答题 13已知ABC 中，tan A1 4，tan B 3 5，AB 17.求： (1)角 C 的大小； (2)ABC 中最小边的边长 解 (1)tan Ctan (AB)tan (AB) tan Atan B 1tan A tan B 1 4 3 5 11 4 3 5 1，所以 C3 4 . (2)因为 tan Atan B，所以最小角为角 A， 又因为 tan A1 4，所以 sin A 17 17 ，
22、cAB 17，又 a sin A c sin C， 所以最小边 ac sin A sin C 17 17 17 2 2 2. 14(2020 山东省聊城市三模)在m(ab，ca)，n(ab，c)，且 mn，2ac 2b cos C， sin B 6 cos B1 2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中， 并给出解答 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且_ (1)求角 B； (2)若 b4，求ABC 周长的最大值 解 (1)选，m(ab，ca)，n(ab，c)，且 mn， (ab)(ab)c(ca)0. 化简，得 a2c2b2ac，由余弦定理， 得 cos Ba 2c2b
23、2 2ac ac 2ac 1 2， 又 0B，B 3. 选，根据正弦定理，由 2ac2b cos C， 得 2sin Asin C2sin B cos C， 又 sin Asin (BC)sin B cos Ccos B sin C， 2sin C cos Bsin C， 又 sin C0，cos B1 2，又 B(0，)，B 3. 选，由 sin B 6 cos B1 2， 得 3 2 sin B1 2cos Bcos B 1 2， 即 3 2 sin B1 2cos B 1 2，cos B 3 1 2， 又 B(0，)，B 3 2 3 ，B 3. (2)由余弦定理 b2a2c22ac co
24、s B，得 16(ac)23ac. 又ac 2 ac，ac（ac） 2 4 ，当且仅当 ac 时等号成立， 3ac(ac)2163（ac） 2 4 ，解得 ac8， 当且仅当 ac4 时，等号成立 abc8412. ABC 周长的最大值为 12. 15.如图，已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 a cos C 3a sin C bc0. (1)求角 A； (2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B1 7，AD 129 2 ，求ABC 的面积 解 (1)因为 a cos C 3a sin Cbc0， 由正弦定理，得 sin A cos C 3sin A sin
25、 Csin Bsin C， 即 sin A cos C 3sin A sin Csin (AC)sin C， 又 sin C0，所以化简，得 3sin Acos A1， 所以 sin (A30)1 2. 在ABC 中，因为 0A0)，则在ABD 中，AD2AB2BD22AB BD cos B，即129 4 25x21 4 49x225x1 27x 1 7，解得 x1，所以 a7，c5， 故 SABC1 2ac sin B10 3. 16(2020 山东省淄博市一模)如图，在直角ACB 中，ACB 2，ABC 6，AC2， 点 M 在线段 AB 上 (1)若 sin CMA 3 3 ，求 CM
26、的长； (2)点 N 是线段 CB 上一点，MN 7，且 SBMN1 2SACB，求 BMBN 的值 解 (1)在CAM 中， 因为CAM 3， sin CMA 3 3 ， AC2， 由正弦定理， 得 CM sin CAM AC sin CMA， 解得 CM AC sin 3 sin CMA 2 3 2 3 3 3. (2)因为 SBMN1 2SACB， 所以1 2 BM BN sin 6 1 2 1 222 3， 解得 BM BN4 3. 在BMN 中，由余弦定理，得 MN2BM2BN22BM BNcos 6(BMBN) 22BM BN 1 3 2 ， 即( 7)2(BMBN)224 3 1 3 2 ， (BMBN)2198 3(4 3)2， 故 BMBN4 3.
