1、第 1 讲 三角函数的图象与性质 考情研析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性 2. 考查三角函数式的化简、 三角函数的图象和性质、 角的求值， 重点考查分析、 处理问题的能力， 是高考的必考点 核心知识回顾 1.同角关系式与诱导公式 (1)同角三角函数的基本关系： 01sin2cos21，02 sin cos tan_ (2)诱导公式：在k 2 ，kZ 的诱导公式中“ 03奇变偶不变，符号看象限” 2三种三角函数的性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 单调性 在 01 22k， 22k (kZ)上单调递增； 在 02 22k， 3 2 2k (
2、kZ)上单调递减 在 032k， 2k(kZ)上单调递增； 在 042k，2k(kZ) 上单调递减 在 05 2k， 2k (kZ)上单调递增 续表 函数 ysin x ycos x ytan x 对称性 对称中心： 06(k， 0)(kZ)； 对称中心： 08 2k，0 (kZ)； 对称中心： 10 k 2 ，0 (kZ) 对称轴： 07x 2 k(kZ) 对称轴： 09xk(kZ) 3函数 ysin x 的图象经变换得到 yA sin (x)(A0，0)的图象的步骤 热点考向探究 考向 1 同角三角关系式、诱导公式 例 1 (1)(2020 四川省泸县四中第二次高考适应性考试)若 sin
3、x3sin x 2 ，则 cos x cos x 2 ( ) A 3 10 B 3 10 C3 4 D3 4 答案 A 解析 sin x3sin x 2 3cos x， 解得 tan x3， 所以 cos x cos x 2 sin x cos x sin x cos x sin2xcos2x tan x 1tan2x 3 10，故选 A. (2)(2020 黑龙江省哈九中二模)若 sin 21 4， 4 2，则 cos sin 的值是( ) A 3 2 B 3 2 C3 4 D3 4 答案 B 解析 sin 22sin cos 1 4， sin 2cos21， (cos sin )211 4
4、 3 4， 40，0，0 8 的部分图象如图所示，若将函数 f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到 原来的1 4，再向右平移 6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则下列命题正确的是( ) A函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin 1 2x 6 B函数 g(x)的解析式为 g(x)2sin 2x 6 C函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 x 3 D函数 g(x)在区间 ，4 3 上单调递增 答案 ABD 解析 由图可知，A2，T 4，T4 2 ，得 1 2，f(x)2sin 1 2x4 ，将(0， 1)代入得 sin 41 2，结合 00，|0)个单位长度， 得到 yg(x)的图象 若
5、 yg(x) 图象的一个对称中心为 5 12，0 ，求 的最小值 解 根据表中已知数据，解得 A5，2， 6.数据补全如下表： x 0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 A sin (x) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f(x)5sin 2x 6 . 由知 f(x)5sin 2x 6 ，得 g(x)5sin 2x2 6 . 因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ，所以 令 2x2 6k，解得 x k 2 12，kZ. 由于函数 yg(x)的图象关于点 5 12，0 成中心对称， 令k 2 12 5 12，解得 k 2 3，kZ. 由 0 可知，当 k1
6、 时， 取得最小值 6. 1解析式 yA sin (x)B(A0)的确定方法 (1)A，B 由最值确定，即 A最大值最小值 2 ， B最大值最小值 2 . (2) 由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T 2，对称轴与相邻对称 中心之间的距离为T 4. (3) 由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定 2三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的 关键点 (2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看 yA sin (x)中 的正 负和它的平移要求 (3)看移动单位：在函数 yA s
7、in (x)中，周期变换和相位变换都是沿 x 轴方向的，所 以 和 之间有一定的关系， 是初相，再经过 的压缩，最后移动的单位是 . 1设函数 f(x)sin x(0)，已知对于 0，2 3 内的任意 x1，总存在 0，2 3 内的 x2，使得 f(x1)f(x2)0，则 的( ) A最大值为 3 B最小值为 3 C最大值为9 4 D最小值为9 4 答案 D 解析 因为要满足对任意的 x1 0，2 3 ，总存在 x2 0，2 3 ，使得 f(x1)f(x2)0，对于 f(x)sin x(0)，则在 0，2 3 上的函数值有正值，即 f(x1)可以有正值， 要存在 x2使得 f(x1)f(x2)
8、0， 则 f(x2)需要有负值 又 f(x1)可以取到最大值 1， 要存在 f(x2)， 使得 f(x1)f(x2)0，则 f(x2)要可以取到最小值1，说明 f(x)在 x0 上取得第一个最小值的点 应在2 3 的左侧或者恰好落在2 3 处，所以3 4T 2 3 ，即3 4 2 2 3 ，解得 9 4.故选 D. 2. (2020 山东省潍坊市模拟)函数 f(x)sin (x) 0，| 2 的部分图象如图所示，则 _；将函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 b 0b0，| 2 的部分图象，可得1 4 2 3 8 8，2.再根 据五点法作图，2 8 2， 4.将函数 f(x)的图象沿 x 轴
9、向右平移 b 0b0) 在 2， 3 4 上是增函数，则下列结论正确的是( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)的最小正周期 T2 C 的最大值为2 3 D 没有最小值 答案 BCD 解析 f(x)4sin x sin2 x 2 4 cos 2x12sin x， 包含原点的增区间为 2， 2 ， 又 f(x)在 2， 3 4 上是增函数，所以 2 2， 3 4 2， 所以 00，A0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 2，若 将函数 yf(x)的图象向左平移 6个单位得到函数 yg(x)的图象，则 yg(x)是减函数的区间为 ( ) A 3，0 B 0， 3 C 4， 2 D 4， 3
10、答案 D 解析 f(x)sin x 3cos x2sin x 3 ， 因为函数 f(x)的图象与 x 轴的两个相邻交点 的距离等于T 2 2，所以 T，2，所以 f(x)2sin 2x 3 .所以 g(x)2sin 2 x 6 3 2sin 2x.由 22k2x 3 2 2k(kZ)，得 4kx 3 4 k，所以 yg(x)是减函数的区间为 4k， 3 4 k (kZ).分析选项只有 D 符合故选 D. 2 若将函数 ysin 2 x 6 的图象向右平移 m(m0)个单位长度后所得的图象关于直线 x 4对称，则 m 的最小值为( ) A 12 B 6 C 4 D 3 答案 B 解析 平移后所得
11、的函数图象对应的解析式是 ysin 2 xm 6 ， 如果该函数的图象关 于直线 x 4对称，则 2 4m 6 k 2(kZ)，所以 m k 2 6(kZ)，又 m0，故当 k 0 时，m 最小，此时 m 6. 3若关于 x 的方程(sin xcos x)2cos 2xm 在区间0，)上有两个根 x1，x2，且|x1x2| 4，则实数 m 的取值范围是( ) A0，2) B0，2 C1， 21 D1， 21) 答案 B 解析 关于 x 的方程(sin xcos x)2cos 2xm 在区间0，)上有两个根 x1，x2，方程即 sin 2xcos 2xm1，即 sin 2x 4 m1 2 ，si
12、n 2x 4 m1 2 在区间0，)上有两个根 x1， x2，且|x1x2| 4.x0，)，2x 4 3 4 ，5 4 7 4 ，9 4 4 ， 2 2 m1 2 2 2 ，求 得 0m2.故选 B. 真题押题 对应学生用书 P030 真题检验 1(2020 全国卷)已知 (0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin ( ) A 5 3 B2 3 C1 3 D 5 9 答案 A 解析 由 3cos 28cos 5，得 6cos28cos80，解得 cos 2 3或 cos 2(舍 去).(0，)，sin 1cos2 5 3 .故选 A. 2(2020 天津高考)已知函数 f(x)sin
13、x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案 B 解析 因为 f(x)sin x 3 ，所以最小正周期 T2 1 2，故正确；f 2 sin 2 3 sin 5 6 1 21，故不正确；将函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，得到 y sin x 3 的图象，故正确故选 B. 3(2020 新高考卷)下图是函数 ysin (x)的部分图象，则 sin (x)( ) A.sin x 3 Bsi
14、n 32x Ccos 2x 6 Dcos 5 6 2x 答案 BC 解析 由函数图象可知T 2 2 3 6 2， 则 2 T 2 2， 所以 A 不正确 当 x 2 3 6 2 5 12 时，y1，所以 25 12 3 2 2k(kZ)，解得 2k2 3 (kZ)，即函数的解析式为 y sin 2x2 3 2k sin 2x 6 2 cos 2x 6 sin 32x .而 cos 2x 6 cos 5 6 2x ，故选 BC. 4(2020 全国卷)关于函数 f(x)sin x 1 sin x有如下四个命题： f(x)的图象关于 y 轴对称； f(x)的图象关于原点对称； f(x)的图象关于直
15、线 x 2对称； f(x)的最小值为 2. 其中所有真命题的序号是_ 答案 解析 函数 f(x)的定义域为x|xk，kZ，定义域关于原点对称，f(x)sin (x) 1 sin （x）sin x 1 sin x sin x 1 sin x f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，其图象关于原 点对称，命题错误，命题正确；对于命题，因为 f 2x sin 2x 1 sin 2x cos x 1 cos x，f 2x sin 2x 1 sin 2x cos x 1 cos x，则 f 2x f 2x ，所以函数 f(x)的 图象关于直线 x 2对称，命题正确；对于命题，当x0 时，sin x0，则
16、f(x)sin x 1 sin x02，命题错误 5 (2020 江苏高考)将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度， 则平移后的图象 中与 y 轴最近的对称轴的方程是_ 答案 x5 24 解析 将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度，所得图象对应解析式为 y 3sin 2 x 6 4 3sin 2x 12 ，令 2x 12 2k(kZ)，得 x 7 24 k 2 (kZ).当 k1 时，x5 24，故与 y 轴最近的对称轴方程为 x 5 24. 金版押题 6如图，函数 f(x) 15sin (x)(0)的图象与它在原点 O 右侧的第二条对称轴 CD 交于
17、点 C，A 是 f(x)图象在原点左侧与 x 轴的第一个交点，点 B 在图象上，AB 5 9AD ，ABBC. 则 ( ) A 9 B2 9 C 3 D2 3 答案 B 解析 由题，对于函数 f(x) 15sin (x)(0)，A ，0 ，C 3 2 ， 15 ，设 D 3 2 ，yD，B(xB，yB)，AB xB ，yB ，AD 3 2 ，yD ，AB 5 9AD ，xB 5 9 3 2 ， 即 xB 5 6 ， 点 B在图象上， yB 15sin 5 6 15 2 .CB xB 3 2 ， yB 15 2 3 ，3 15 2 ，AB 5 6 ， 15 2 又 ABBC.即AB CB 0，
18、2 3 5 6 15 2 3 15 2 0， 解得 2 9 .故选 B. 专题作业 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间是( ) A k 2 12， k 2 5 12 (kZ) B k 2 12， k 2 5 12 (kZ) C k 12，k 5 12 (kZ) D k 6，k 5 12 (kZ) 答案 B 解析 当 k 22x 3k 2(kZ)时，函数 ytan 2x 3 单调递增，解得k 2 12x k 2 5 12(kZ)，所以函数 ytan 2x 3 的单调递增区间是 k 2 12， k 2 5 12 (kZ)
19、，故选 B. 2函数 f(x)2xtan x 在 2， 2 上的图象大致为( ) 答案 C 解析 因为函数 f(x)2xtan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除 A，B，又 当 x 2时，f(x)0，|0， 2； 图象过 3，0 ，cos 2 3 0，根据题中图象可得 2 32m 2(mZ)，即 2m 6(mZ).|0，0，|)是奇函数，将 yf(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x).若 g(x) 的最小正周期为 2，且 g 4 2，则 f 3 8 ( ) A2 B 2 C 2 D2 答案 C 解析 因为 f(x)是奇函数(
20、显然定义域为 R)， 所以 f(0)A sin 0， 所以 sin 0.又|0，0，0)的部分 图象如图所示，则 A 的可能取值为( ) A 2 B C3 2 D2 答案 B 解析 f(x)的图象关于 y 轴对称，f(x)为偶函数，k 2，kZ，0， 2， f(x)A cos xe|x|，f(0)A2，f(1)f(3)0，cos 1 ecos 3 1 e30，cos cos 30，取 2，则 A.故选 B. 7将函数 f(x)2sin 2x 6 的图象向左平移 12个单位长度，再向上平移 1 个单位长度， 得到 g(x)的图象，若 g(x1)g(x2)9，且 x1，x22，2，则 2x1x2的
21、最大值为( ) A25 6 B49 12 C35 6 D17 4 答案 B 解析 由题意可得，g(x)2sin 2x 3 1，所以 g(x)max3，又 g(x1)g(x2)9，所以 g(x1) g(x2)3，由 g(x)2sin 2x 3 13，得 2x 3 22k(kZ)，即 x 12k(kZ)，因 为 x1，x22，2，所以(2x1x2)max2 12 122 49 12 ，故选 B. 8 (2020 天津二模)若函数 f(x)cos (2x)(0)在区间 6， 6 上单调递减，且在区间 0， 6 上存在零点，则 的取值范围是( ) A 6， 2 B 2 3 ，5 6 C 2， 2 3
22、D 3， 2 答案 D 解析 由 2k2x2k，kZ，得 k 2xk 2 2，kZ，即函数的单调递 减区间为 k 2，k 2 2 ，kZ，f(x)在区间 6， 6 上单调递减，k 2 6且 k 2 2 6，kZ，即 k 6 2k 3，kZ，即 2k 32k 2 3 ，kZ，0， 当 k0 时， 3 2 3 ，由 2xk 2，kZ，得 x k 2 2 4，kZ，f(x)在区间 0， 6 有零点，满足 0k 2 2 4 6，当 k0 时，0 2 4 6，得 6 2.综上， 30，| 2 的部分图象如图所示， 则下列结论正确的是( ) A. B 3 C直线 x3 4是函数 f(x)图象的一条对称轴
23、D点 k1 4，0 (kZ)是函数 f(x)图象的对称中心 答案 ACD 解析 由函数的图象知T 21，其中 T 为 f(x)的最小正周期，则 T2，即 T 2 2，得 ，所以 A 正确；由图象可得，f 1 4 cos 4 0，所以 42k 2，kZ，即 2k 4，kZ，又| 2，所以 4，故 f(x)cos x 4 ，所以 B 不正确；令 x 4k，kZ， 得 xk1 4，kZ，当 k1 时，x 3 4，故直线 x 3 4是函数 f(x)图象的一条对称轴，所以 C 正 确； 令 x 4k 2， kZ， 得 xk 1 4， kZ， 所以函数 f(x)图象的对称中心为点 k1 4，0 ， kZ，
24、所以 D 正确故选 ACD. 10(2020 武汉模拟)已知函数 f(x)sin (sin x)cos (cos x)，则下列关于该函数的结论正确 的是( ) Af(x)的图象关于直线 x 2对称 Bf(x)的一个周期是 2 Cf(x)的最大值为 2 Df(x)在区间 0， 2 上是增函数 答案 ABD 解析 对于 A， 因为 f(x)sin (sin x)cos (cos x)， 所以 f(x)sin (sin (x)cos (cos ( x)sin (sin x)cos (cos x)f(x)，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)的图象关于直线 x 2对称，所 以 A 正确； 对于 B，
25、 因为 f(x)sin (sin x)cos (cos x)， 所以 f(x2)sin (sin (x2)cos (cos (x2)sin (sin x)cos (cos x)f(x)，所以 B 正确；对于 C，因为 sin x1，cos x1，sin(sin x)0，则 f(x)在0，)上单调递增.显然 f(0)0， 令 f(x)0，得 sin x1 x，分别作出 ysin x，y 1 x在区间2，2)上的图象，由图可知， 这两个函数的图象在区间2，2)上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切， 故 f(x)在区间2，2)上的极值点的个数为 4，且 f(x)只有 2 个极大值点故
26、选 BD. 12(2020 山东枣庄模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明， 也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 A(3 3， 3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒经过 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设 P 的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 yf(t)R sin (t) t0，0，| 2 .则下列叙述 正确的是( ) AR6， 30， 6 B当 t35，55时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C当 t10，25时，函数 yf(t)单调递减 D当 t20 时，|PA|6 3 答案 ABD 解析 由题意
27、得，R2796，T602 ， 30.由一个水斗从点 A(3 3，3)出 发， 可知 f(0)3， 36sin .| 2， 6， A 正确； 由上可知， f(t)6sin 30t 6 ， 当 t35，55时， 30t 6 ，5 3 ，故点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6，B 正确；当 t10， 25时， 30t 6 6， 2 3 ，此时函数 yf(t)不单调，C 不正确；当 t20 时， 30t 6 2，点 P 的纵坐标为 6，此时 P(0，6)，|PA|27816 3，D 正确故选 ABD. 三、填空题 13已知sin 3cos 3cos sin 5，则 sin 2sincos _ 答案
28、2 5 解析 由已知可得 sin 3cos 5(3cos sin )，即 sin 2cos ，所以 tan sin cos 2，从而 sin2sincos sin 2sincos sin2cos2 tan 2tan tan21 2 22 221 2 5. 14已知函数 f(x) 3sin xcos x 在m，m上是单调递增函数，则 f(2m)的取值范围为 _ 答案 1，2 解析 函数 f(x) 3sin xcos x2sin x 6 ， 由 2k 2x 62k 2，kZ 2k 2 3 x2k 3，kZ，故 f(x)在区间 2k2 3 ，2k 3 (kZ)上单调递增，当 k0，f(x)在区间 2
29、 3 ， 3 上是单调递增函数，则 m，m 2 3 ， 3 ，即 m 3， m2 3 ，0m 3， m0 f(2m)2sin 2m 6 ，而 60，0，| 2 的部分图象如图所示，将函数 yf(x) 的图象向左平移4 3 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，则 g()_，函数 yg(x)在 区间 2， 5 2 上的最大值为_ 答案 0 3 2 2 解析 由题图可知函数 yf(x)的周期为 4， 1 2. 又点 3，0 ， 0，3 2 在函数 yf(x)的图象上， A sin 6 0， A sin 3 2， 且| 2， 6，A3， 则 f(x)3sin x 2 6 . g(x)3sin 1 2 x4 3 6 3cos x 2，g()0. 由 x 2， 5 2 ，可得x 2 4， 5 4 ， 则 3cos x 2 3，3 2 2 ，即 g(x)的最大值为3 2 2 .
