1、专题三专题三 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第二编 讲专题 第第2 2讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 考情研析 三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题 是高考的必考内容.1.三角恒等变换主要考查：两角和与差的正弦、余弦、 正切公式；二倍角公式、半角公式的应用；辅助角公式的应用 2.解 三角形问题主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计 算；有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来 进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真
2、题VS押题押题 专题作业专题作业 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin ( ) ； cos ( ) ； tan ( ) 01sincoscossin 02coscossinsin 03 tan tan 1tan tan 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 ； cos 2 ； tan2 ； cos2 ，sin2 3辅助角公式 a sin b cos 012sincos 02cos2sin2 032cos21 0412sin2 05 2tan 1tan2 06 1cos2 2 07 1cos
3、2 2 01 a2b2sin() tan b a 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4正弦定理 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 则 变形：a ，b ，c sin A ，sin B ，sin C abc 01 a sin A b sin B c sin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径) 022RsinA 032RsinB 042RsinC 05 a 2R 06 b 2R 07 c 2R 08sinAsinBsinC 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业
4、5余弦定理 a2 ，b2 ，c2 推论： cos A ， cos B ， cos C 6面积公式 SABC 01b2c22bccosA 02a2c22accosB 03a2b22abcosC 04 b2c2a2 2bc 05 a2c2b2 2ac 06 a2b2c2 2ab 01 1 2bcsinA 02 1 2acsinB 03 1 2absinC 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7常用结论 (1)三角形内角和 ； (2)abc ； (3)sin (AB) ， cos (AB) 01ABC 02ABC 03sinAsinBsinC
5、04sinC 05cosC 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 1 三角恒等变换与求值 例 1 (1)已知 (0，)，且 sin 4 2 10 ，则 tan 2( ) A4 3 B3 4 C24 7 D24 7 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 sin 4 2 2 (sin cos ) 2 10 ，sin cos 1 5.(0， )，且 sin2cos21， sin4 5， cos 3 5， tan 4 3，ta
6、n 2 2tan 1tan2 24 7 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)(2020 辽宁省沈阳市三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学 家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛 的应用， 0.618 就是黄金分割比 m 51 2 的近似值， 黄金分割比还可以表示 成 2sin18，则 m 4m2 2cos2271( ) A4 B 51 C2 D 51 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由题意， 2sin18m 51
7、2 ， m24sin218， 则 m 4m2 2cos2271 2sin18 44sin 218 cos54 2sin18 2cos18 cos54 2sin36 cos54 2.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (3)(2020 山东省泰安市高三一模)已知 ， 3 4 ， ，sin()3 5， sin 4 12 13，则 cos 4 _ 答案 56 65 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 已知 ， 3 4 ， ，sin ()3 5， sin 4 12 13，
8、3 2 ，2 ， 4 2， 3 4 ， cos ()4 5，cos 4 5 13， cos 4 cos （） 4 cos ()cos 4 sin ()sin 4 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”， 即“化异名为同名”“化 异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及 sin2 2，cos 2 2时，常逆用二倍角 的余弦公式降幂 (2)常见的“变角”技巧：()()，1 2()( )， 4 2 4 ， 4 4 等，使用“变角”技巧时，应根据已 知条件中
9、的角，选择恰当变角技巧 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1已知 tan 4 1 2，且 20，则 2sin2sin2 cos 4 等于( ) A2 5 5 B3 5 10 C3 10 10 D2 5 5 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由 tan 4 tan 1 1tan 1 2， 得 tan 1 3.又 20，所以 AD3. 3 真题真题VSVS押题押题 PART THREE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业
10、专题作业 真题检验 1(2020 全国卷)若 为第四象限角，则( ) Acos 20 Bcos 20 Dsin 20 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 当 3时，cos 2cos 2 3 0，A 错误；当 6时，cos 2cos 3 0，B 错误；由 为第四象限角可得 sin 0，cos 0，则 sin 22sin cos 0，C 错误，D 正确故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2(2020 全国卷)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3，则
11、tan B ( ) A 5 B2 5 C4 5 D8 5 答案 C 解析 由余弦定理，得 AB2BC2AC22BC AC cos C916 2342 39，AB3.cos B AB2BC2AC2 2ABBC 9916 233 1 9，sin B 1 1 9 24 5 9 ，tan B4 5.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3(2020 全国卷)已知 2tan tan 4 7，则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析
12、 2tan tan 4 7， 2tan tan 1 1tan 7.令 ttan ， t1， 则 2t1t 1t7，整理，得 t 24t40，解得 t2，即 tan 2.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4(2020 全国卷)若 sin x2 3，则 cos 2x_ 答案 1 9 解析 cos 2x12sin2x12 2 3 218 9 1 9. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 5(2020 全国卷)如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1， ABAD 3，
13、ABAC， ABAD， CAE30， 则 cosFCB_ 答案 1 4 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 ABAC，AB 3，AC1，由勾股定理，得 BC AB2AC2 2，同理可得 BD 6，BFBD 6.在ACE 中，AC1，AEAD 3，CAE30，由余弦定理，得 CE2AC2AE22AC AE cos 301 321 3 3 2 1，CFCE1.在BCF 中，BC2，BF 6，CF 1，由余弦定理，得 cos FCBCF 2BC2BF2 2CFBC 146 212 1 4. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探
14、究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 6(2020 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B150. (1)若 a 3c，b2 7，求ABC 的面积； 解 (1)由余弦定理可得 b228a2c22ac cos 1507c2， c2，a2 3， ABC 的面积 S1 2ac sin B 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 sin A 3sin C 2 2 ，求 C. 解 (2)AC30， sin A 3sin Csin (30C) 3sin C 1 2cos C 3 2 sin C 3si
15、n C 1 2cos C 3 2 sin Csin (C30) 2 2 . 0C30，30C3060， C3045，C15. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7(2020 全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2CsinB sin C. (1)求 A； 解 (1)sin2Asin2Bsin2CsinB sin C， 由正弦定理，得 BC2AC2AB2AC AB， AC2AB2BC2AC AB， cos AAC 2AB2BC2 2ACAB 1 2. A(0，)，A2 3 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真
16、题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 BC3，求ABC 周长的最大值 解 (2)解法一：由余弦定理，得 BC2AC2AB22AC AB cos AAC2 AB2AC AB9， 即(ACAB)2AC AB9. ACAB ACAB 2 2(当且仅当 ACAB 时取等号)， 9(ACAB)2AC AB (ACAB)2 ACAB 2 23 4(ACAB) 2， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 ACAB2 3(当且仅当 ACAB 时取等号)， ABC 的周长 LACABBC32 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 解法二：由正弦
17、定理，得 AB sin C AC sin B BC sin A 3 sin 2 3 2 3， AB2 3sin C，AC2 3sin B. A2 3 ，C 3B. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 ABAC2 3sin 3B 2 3sin B 2 3 3 2 cos B1 2sin B 2 3sin B 3cos B 3sin B2 3sin B 3 . 当 B 6时，ABAC 取得最大值 2 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 金版押题
18、8在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且ABC 同时满 足下列四个条件中的三个： a2c2b22 3 3 ac； 1cos 2A2sin2A 2； a 3；b2. (1)满足ABC 有解的序号组合有哪些？ 解 (1)由条件，得 cos Ba 2c2b2 2ac 2 3 3 ac 1 2ac 3 3 ， 由条件，得 12cos2A11cos A，即 2cos2Acos A10， 解得 cos A1 2或 cos A1(舍去)， 因为 A(0，)，所以 A 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因为 cos B 3 3
19、 1 2cos 2 3 ，B(0，)， 而 ycos x 在(0，)上单调递减，所以2 3 B 3 2 3 ，与 AB0，y cos1320，那么ABC 的形状为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 答案 A 解析 ABC，cos (2BC)cos Ccos B(A)cos (BA)cos (BA)cos (BA)cos B cos Asin B sin Acos B cos Asin B sin A2cos B cos A0，cos B cos A0，即 cos B 与 cos A 异 号，又 A，B(0，)，ABC 为钝角三角形故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾
20、 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 6设函数 f(x)sin xcos x，若对于任意的 xR，都有 f(2x)f(x)， 则 sin 2 3 ( ) A1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 f(x)sin xcos x 2sin x 4 ，由 f(2x)f(x)，得 x 是函 数 f(x)的对称轴， 4 2k， kZ， 3 4 k， kZ.sin 2 3 sin 3 2 2k 3 sin 7 6 1 2.故选 B. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向
21、探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7(2020 福建省泉州市一模)ABC 中，BC2 5，D 为 BC 的中点， BAD 4，AD1，则 AC( ) A2 5 B2 2 C6 5 D2 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 在ABD 中， 由余弦定理可得， BD2AB2AD22AB AD cos BAD，即 5AB21 2AB，解得 AB2 2，由正弦定理可得， 1 sinABD 5 sin 4 ，所以 sin ABD 10 10 ，cos ABD3 10 10 ，在ABC 中，由余弦定 理可得，AC
22、2AB2BC22AB BC cos ABC(2 2)2(2 5)222 2 2 53 10 10 ，解得 AC2.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 8已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2b cos Cc cos B，则 1 tan A 1 tan B 1 tan C的最小值为( ) A2 7 3 B 5 C 7 3 D2 5 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 因为 2b cos Cc cos B， 所以 2sin B
23、cos Csin C cos B， 即 2tan B tan C，又因为 ABC，所以 tan Atan (BC)tan (BC) tan Btan C 1tan B tan C 3tan B 12tan2B，所以 1 tan A 1 tan B 1 tan C 12tan2B 3tan B 1 tan B 1 2tan B 2tan2B1 3tanB 3 2tan B 94tan2B2 6tan B 4tan 2B7 6tan B 2 3tan B 7 6tan B 2 2 3tan B 7 6tan B 2 7 3 当且仅当2 3tan B 7 6tan B，即tan B 7 2 时，取“
24、” .故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 二、填空题 9已知 cos 6 sin 3 5，则 cos 32 的值是_ 答案 7 25 解析 cos 6 sin cos 6 3 5， cos 32 2cos 2 6 1 7 25. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 10(2020 广东省广州市一模)设当 x 时，函数 f(x)sinx 3cos x 取得最大值，则 tan 4 _ 答案 2 3 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题
25、作业专题作业 解析 f(x)sin x 3cos x2sin x 3 ， 当 x 时， 函数 f(x)取得最 大值， 3 22k，kZ， 62k，kZ，tan 4 tan 62k 4 tan 4 6 1 3 3 1 3 3 2 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 11(2019 浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D在线段AC上 若BDC45， 则BD_， cos ABD_ 12 2 5 7 2 10 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 如图，易知 s
26、in C4 5， cos C3 5.在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BD BC sin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 由ABCABDCBD90，可得 cos ABDcos (90 CBD)sin CBDsin 180(CBDC)sin(CBDC)sin C cos BDCcos C sin BDC4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1
27、2我们把到三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点，若三角形 的内角均小于 120，则该三角形的费马点与三角形三边的张角均为 120. 已知三角形 ABC 中内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若|ab|c26， C60，若三角形 ABC 的费马点为 O，则 OA OBOBOCOC OA _ 答案 6 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由|ab|c26，得 c2a2b22ab6. 由 C60，得 c2a2b2ab.两式相减，得 ab6. 所以 SABC1 2ab sin C 1 26 3 2 3 3 2 . 所以
28、 SABC1 2OA OBsin120 1 2OB OCsin120 1 2OA OCsin120 3 3 2 ，得 OA OBOB OCOC OA6. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 三、解答题 13已知ABC 中，tan A1 4，tan B 3 5，AB 17.求： (1)角 C 的大小； 解 (1)tan Ctan (AB)tan (AB) tan Atan B 1tan A tan B 1 4 3 5 11 4 3 5 1，所以 C3 4 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业
29、专题作业 (2)ABC 中最小边的边长 解 (2)因为 tan Atan B，所以最小角为角 A， 又因为 tan A1 4，所以 sin A 17 17 ， cAB 17，又 a sin A c sin C， 所以最小边 ac sin A sin C 17 17 17 2 2 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 14(2020 山东省聊城市三模)在m(ab，ca)，n(ab，c)，且 mn，2ac2b cos C，sin B 6 cos B1 2这三个条件中任选一个 补充在下面的问题中，并给出解答 在ABC 中，角 A，B，C 的
30、对边分别为 a，b，c，且_ (1)求角 B； 解 (1)选，m(ab，ca)，n(ab，c)，且 mn， (ab)(ab)c(ca)0. 化简，得 a2c2b2ac，由余弦定理， 得 cos Ba 2c2b2 2ac ac 2ac 1 2， 又 0B，B 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 选，根据正弦定理，由 2ac2b cos C， 得 2sin Asin C2sin B cos C， 又 sin Asin (BC)sin B cos Ccos B sin C， 2sin C cos Bsin C， 又 sin C0，cos
31、B1 2，又 B(0，)，B 3. 选，由 sin B 6 cos B1 2， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 得 3 2 sin B1 2cos Bcos B 1 2， 即 3 2 sin B1 2cos B 1 2，cos B 3 1 2， 又 B(0，)，B 3 2 3 ，B 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 b4，求ABC 周长的最大值 解 (2)由余弦定理 b2a2c22ac cos B，得 16(ac)23ac. 又ac 2 ac，ac（ac） 2
32、4 ，当且仅当 ac 时等号成立， 3ac(ac)2163（ac） 2 4 ，解得 ac8， 当且仅当 ac4 时，等号成立 abc8412. ABC 周长的最大值为 12. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 15.如图， 已知 a， b， c 分别为ABC 三个内角 A， B， C 的对边， 且 a cos C 3a sin Cbc0. (1)求角 A； 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 (1)因为 a cos C 3a sin Cbc0， 由正弦定理，得 sin A co
33、s C 3sin A sin Csin Bsin C， 即 sin A cos C 3sin A sin Csin (AC)sin C， 又 sin C0，所以化简，得 3sin Acos A1， 所以 sin (A30)1 2. 在ABC 中，因为 0A0)，则在ABD 中，AD2AB2BD22AB BD cos B， 即129 4 25x21 449x 225x1 27x 1 7，解得 x1，所以 a7，c5， 故 SABC1 2ac sin B10 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 16(2020 山东省淄博市一模)如图，在
34、直角ACB 中，ACB 2， ABC 6，AC2，点 M 在线段 AB 上 (1)若 sin CMA 3 3 ，求 CM 的长； 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 (1)在CAM 中，因为CAM 3，sin CMA 3 3 ，AC2，由正 弦定理，得 CM sin CAM AC sin CMA， 解得 CM AC sin 3 sin CMA 2 3 2 3 3 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)点 N 是线段 CB 上一点，MN 7，且 SBMN1 2SACB，求 BMBN 的值 解 (2)因为 SBMN1 2SACB， 所以1 2 BM BN sin 6 1 2 1 222 3， 解得 BM BN4 3. 在BMN 中，由余弦定理，得 MN2BM2BN22BM BNcos 6(BMBN) 22BM BN 1 3 2 ， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 即( 7)2(BMBN)224 3 1 3 2 ， (BMBN)2198 3(4 3)2， 故 BMBN4 3. 本课结束本课结束
