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2021年高考数学大二轮专题复习:三角函数与解三角形之三角恒等变换与解三角形

1、专题三专题三 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第二编 讲专题 第第2 2讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 考情研析 三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题 是高考的必考内容.1.三角恒等变换主要考查:两角和与差的正弦、余弦、 正切公式;二倍角公式、半角公式的应用;辅助角公式的应用 2.解 三角形问题主要考查:边和角的计算;三角形形状的判断;面积的计 算;有关参数的范围问题由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来 进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真

2、题VS押题押题 专题作业专题作业 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin ( ) ; cos ( ) ; tan ( ) 01sincoscossin 02coscossinsin 03 tan tan 1tan tan 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 ; cos 2 ; tan2 ; cos2 ,sin2 3辅助角公式 a sin b cos 012sincos 02cos2sin2 032cos21 0412sin2 05 2tan 1tan2 06 1cos2 2 07 1cos

3、2 2 01 a2b2sin() tan b a 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4正弦定理 在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 则 变形:a ,b ,c sin A ,sin B ,sin C abc 01 a sin A b sin B c sin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径) 022RsinA 032RsinB 042RsinC 05 a 2R 06 b 2R 07 c 2R 08sinAsinBsinC 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业

4、5余弦定理 a2 ,b2 ,c2 推论: cos A , cos B , cos C 6面积公式 SABC 01b2c22bccosA 02a2c22accosB 03a2b22abcosC 04 b2c2a2 2bc 05 a2c2b2 2ac 06 a2b2c2 2ab 01 1 2bcsinA 02 1 2acsinB 03 1 2absinC 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7常用结论 (1)三角形内角和 ; (2)abc ; (3)sin (AB) , cos (AB) 01ABC 02ABC 03sinAsinBsinC

5、04sinC 05cosC 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 1 三角恒等变换与求值 例 1 (1)已知 (0,),且 sin 4 2 10 ,则 tan 2( ) A4 3 B3 4 C24 7 D24 7 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 sin 4 2 2 (sin cos ) 2 10 ,sin cos 1 5.(0, ),且 sin2cos21, sin4 5, cos 3 5, tan 4 3,ta

6、n 2 2tan 1tan2 24 7 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)(2020 辽宁省沈阳市三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学 家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛 的应用, 0.618 就是黄金分割比 m 51 2 的近似值, 黄金分割比还可以表示 成 2sin18,则 m 4m2 2cos2271( ) A4 B 51 C2 D 51 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由题意, 2sin18m 51

7、2 , m24sin218, 则 m 4m2 2cos2271 2sin18 44sin 218 cos54 2sin18 2cos18 cos54 2sin36 cos54 2.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (3)(2020 山东省泰安市高三一模)已知 , 3 4 , ,sin()3 5, sin 4 12 13,则 cos 4 _ 答案 56 65 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 已知 , 3 4 , ,sin ()3 5, sin 4 12 13,

8、3 2 ,2 , 4 2, 3 4 , cos ()4 5,cos 4 5 13, cos 4 cos () 4 cos ()cos 4 sin ()sin 4 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”, 即“化异名为同名”“化 异次为同次”“化异角为同角”,其中涉及 sin2 2,cos 2 2时,常逆用二倍角 的余弦公式降幂 (2)常见的“变角”技巧:()(),1 2()( ), 4 2 4 , 4 4 等,使用“变角”技巧时,应根据已 知条件中

9、的角,选择恰当变角技巧 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1已知 tan 4 1 2,且 20,则 2sin2sin2 cos 4 等于( ) A2 5 5 B3 5 10 C3 10 10 D2 5 5 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由 tan 4 tan 1 1tan 1 2, 得 tan 1 3.又 20,所以 AD3. 3 真题真题VSVS押题押题 PART THREE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业

10、专题作业 真题检验 1(2020 全国卷)若 为第四象限角,则( ) Acos 20 Bcos 20 Dsin 20 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 当 3时,cos 2cos 2 3 0,A 错误;当 6时,cos 2cos 3 0,B 错误;由 为第四象限角可得 sin 0,cos 0,则 sin 22sin cos 0,C 错误,D 正确故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2(2020 全国卷)在ABC 中,cos C2 3,AC4,BC3,则

11、tan B ( ) A 5 B2 5 C4 5 D8 5 答案 C 解析 由余弦定理,得 AB2BC2AC22BC AC cos C916 2342 39,AB3.cos B AB2BC2AC2 2ABBC 9916 233 1 9,sin B 1 1 9 24 5 9 ,tan B4 5.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3(2020 全国卷)已知 2tan tan 4 7,则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析

12、 2tan tan 4 7, 2tan tan 1 1tan 7.令 ttan , t1, 则 2t1t 1t7,整理,得 t 24t40,解得 t2,即 tan 2.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4(2020 全国卷)若 sin x2 3,则 cos 2x_ 答案 1 9 解析 cos 2x12sin2x12 2 3 218 9 1 9. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 5(2020 全国卷)如图,在三棱锥 PABC 的平面展开图中,AC1, ABAD 3,

13、ABAC, ABAD, CAE30, 则 cosFCB_ 答案 1 4 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 ABAC,AB 3,AC1,由勾股定理,得 BC AB2AC2 2,同理可得 BD 6,BFBD 6.在ACE 中,AC1,AEAD 3,CAE30,由余弦定理,得 CE2AC2AE22AC AE cos 301 321 3 3 2 1,CFCE1.在BCF 中,BC2,BF 6,CF 1,由余弦定理,得 cos FCBCF 2BC2BF2 2CFBC 146 212 1 4. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探

14、究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 6(2020 全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B150. (1)若 a 3c,b2 7,求ABC 的面积; 解 (1)由余弦定理可得 b228a2c22ac cos 1507c2, c2,a2 3, ABC 的面积 S1 2ac sin B 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 sin A 3sin C 2 2 ,求 C. 解 (2)AC30, sin A 3sin Csin (30C) 3sin C 1 2cos C 3 2 sin C 3si

15、n C 1 2cos C 3 2 sin Csin (C30) 2 2 . 0C30,30C3060, C3045,C15. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7(2020 全国卷)ABC 中,sin2Asin2Bsin2CsinB sin C. (1)求 A; 解 (1)sin2Asin2Bsin2CsinB sin C, 由正弦定理,得 BC2AC2AB2AC AB, AC2AB2BC2AC AB, cos AAC 2AB2BC2 2ACAB 1 2. A(0,),A2 3 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真

16、题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 BC3,求ABC 周长的最大值 解 (2)解法一:由余弦定理,得 BC2AC2AB22AC AB cos AAC2 AB2AC AB9, 即(ACAB)2AC AB9. ACAB ACAB 2 2(当且仅当 ACAB 时取等号), 9(ACAB)2AC AB (ACAB)2 ACAB 2 23 4(ACAB) 2, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 ACAB2 3(当且仅当 ACAB 时取等号), ABC 的周长 LACABBC32 3, ABC 周长的最大值为 32 3. 解法二:由正弦

17、定理,得 AB sin C AC sin B BC sin A 3 sin 2 3 2 3, AB2 3sin C,AC2 3sin B. A2 3 ,C 3B. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 ABAC2 3sin 3B 2 3sin B 2 3 3 2 cos B1 2sin B 2 3sin B 3cos B 3sin B2 3sin B 3 . 当 B 6时,ABAC 取得最大值 2 3, ABC 周长的最大值为 32 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 金版押题

18、8在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且ABC 同时满 足下列四个条件中的三个: a2c2b22 3 3 ac; 1cos 2A2sin2A 2; a 3;b2. (1)满足ABC 有解的序号组合有哪些? 解 (1)由条件,得 cos Ba 2c2b2 2ac 2 3 3 ac 1 2ac 3 3 , 由条件,得 12cos2A11cos A,即 2cos2Acos A10, 解得 cos A1 2或 cos A1(舍去), 因为 A(0,),所以 A 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因为 cos B 3 3

19、 1 2cos 2 3 ,B(0,), 而 ycos x 在(0,)上单调递减,所以2 3 B 3 2 3 ,与 AB0,y cos1320,那么ABC 的形状为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 答案 A 解析 ABC,cos (2BC)cos Ccos B(A)cos (BA)cos (BA)cos (BA)cos B cos Asin B sin Acos B cos Asin B sin A2cos B cos A0,cos B cos A0,即 cos B 与 cos A 异 号,又 A,B(0,),ABC 为钝角三角形故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾

20、 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 6设函数 f(x)sin xcos x,若对于任意的 xR,都有 f(2x)f(x), 则 sin 2 3 ( ) A1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 f(x)sin xcos x 2sin x 4 ,由 f(2x)f(x),得 x 是函 数 f(x)的对称轴, 4 2k, kZ, 3 4 k, kZ.sin 2 3 sin 3 2 2k 3 sin 7 6 1 2.故选 B. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向

21、探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7(2020 福建省泉州市一模)ABC 中,BC2 5,D 为 BC 的中点, BAD 4,AD1,则 AC( ) A2 5 B2 2 C6 5 D2 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 在ABD 中, 由余弦定理可得, BD2AB2AD22AB AD cos BAD,即 5AB21 2AB,解得 AB2 2,由正弦定理可得, 1 sinABD 5 sin 4 ,所以 sin ABD 10 10 ,cos ABD3 10 10 ,在ABC 中,由余弦定 理可得,AC

22、2AB2BC22AB BC cos ABC(2 2)2(2 5)222 2 2 53 10 10 ,解得 AC2.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 8已知在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2b cos Cc cos B,则 1 tan A 1 tan B 1 tan C的最小值为( ) A2 7 3 B 5 C 7 3 D2 5 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 因为 2b cos Cc cos B, 所以 2sin B

23、cos Csin C cos B, 即 2tan B tan C,又因为 ABC,所以 tan Atan (BC)tan (BC) tan Btan C 1tan B tan C 3tan B 12tan2B,所以 1 tan A 1 tan B 1 tan C 12tan2B 3tan B 1 tan B 1 2tan B 2tan2B1 3tanB 3 2tan B 94tan2B2 6tan B 4tan 2B7 6tan B 2 3tan B 7 6tan B 2 2 3tan B 7 6tan B 2 7 3 当且仅当2 3tan B 7 6tan B,即tan B 7 2 时,取“

24、” .故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 二、填空题 9已知 cos 6 sin 3 5,则 cos 32 的值是_ 答案 7 25 解析 cos 6 sin cos 6 3 5, cos 32 2cos 2 6 1 7 25. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 10(2020 广东省广州市一模)设当 x 时,函数 f(x)sinx 3cos x 取得最大值,则 tan 4 _ 答案 2 3 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题

25、作业专题作业 解析 f(x)sin x 3cos x2sin x 3 , 当 x 时, 函数 f(x)取得最 大值, 3 22k,kZ, 62k,kZ,tan 4 tan 62k 4 tan 4 6 1 3 3 1 3 3 2 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 11(2019 浙江高考)在ABC 中,ABC90,AB4,BC3,点 D在线段AC上 若BDC45, 则BD_, cos ABD_ 12 2 5 7 2 10 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 如图,易知 s

26、in C4 5, cos C3 5.在BDC 中,由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC, BD BC sin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 由ABCABDCBD90,可得 cos ABDcos (90 CBD)sin CBDsin 180(CBDC)sin(CBDC)sin C cos BDCcos C sin BDC4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1

27、2我们把到三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点,若三角形 的内角均小于 120,则该三角形的费马点与三角形三边的张角均为 120. 已知三角形 ABC 中内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.若|ab|c26, C60,若三角形 ABC 的费马点为 O,则 OA OBOBOCOC OA _ 答案 6 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由|ab|c26,得 c2a2b22ab6. 由 C60,得 c2a2b2ab.两式相减,得 ab6. 所以 SABC1 2ab sin C 1 26 3 2 3 3 2 . 所以

28、 SABC1 2OA OBsin120 1 2OB OCsin120 1 2OA OCsin120 3 3 2 ,得 OA OBOB OCOC OA6. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 三、解答题 13已知ABC 中,tan A1 4,tan B 3 5,AB 17.求: (1)角 C 的大小; 解 (1)tan Ctan (AB)tan (AB) tan Atan B 1tan A tan B 1 4 3 5 11 4 3 5 1,所以 C3 4 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业

29、专题作业 (2)ABC 中最小边的边长 解 (2)因为 tan Atan B,所以最小角为角 A, 又因为 tan A1 4,所以 sin A 17 17 , cAB 17,又 a sin A c sin C, 所以最小边 ac sin A sin C 17 17 17 2 2 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 14(2020 山东省聊城市三模)在m(ab,ca),n(ab,c),且 mn,2ac2b cos C,sin B 6 cos B1 2这三个条件中任选一个 补充在下面的问题中,并给出解答 在ABC 中,角 A,B,C 的

30、对边分别为 a,b,c,且_ (1)求角 B; 解 (1)选,m(ab,ca),n(ab,c),且 mn, (ab)(ab)c(ca)0. 化简,得 a2c2b2ac,由余弦定理, 得 cos Ba 2c2b2 2ac ac 2ac 1 2, 又 0B,B 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 选,根据正弦定理,由 2ac2b cos C, 得 2sin Asin C2sin B cos C, 又 sin Asin (BC)sin B cos Ccos B sin C, 2sin C cos Bsin C, 又 sin C0,cos

31、B1 2,又 B(0,),B 3. 选,由 sin B 6 cos B1 2, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 得 3 2 sin B1 2cos Bcos B 1 2, 即 3 2 sin B1 2cos B 1 2,cos B 3 1 2, 又 B(0,),B 3 2 3 ,B 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 b4,求ABC 周长的最大值 解 (2)由余弦定理 b2a2c22ac cos B,得 16(ac)23ac. 又ac 2 ac,ac(ac) 2

32、4 ,当且仅当 ac 时等号成立, 3ac(ac)2163(ac) 2 4 ,解得 ac8, 当且仅当 ac4 时,等号成立 abc8412. ABC 周长的最大值为 12. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 15.如图, 已知 a, b, c 分别为ABC 三个内角 A, B, C 的对边, 且 a cos C 3a sin Cbc0. (1)求角 A; 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 (1)因为 a cos C 3a sin Cbc0, 由正弦定理,得 sin A co

33、s C 3sin A sin Csin Bsin C, 即 sin A cos C 3sin A sin Csin (AC)sin C, 又 sin C0,所以化简,得 3sin Acos A1, 所以 sin (A30)1 2. 在ABC 中,因为 0A0),则在ABD 中,AD2AB2BD22AB BD cos B, 即129 4 25x21 449x 225x1 27x 1 7,解得 x1,所以 a7,c5, 故 SABC1 2ac sin B10 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 16(2020 山东省淄博市一模)如图,在

34、直角ACB 中,ACB 2, ABC 6,AC2,点 M 在线段 AB 上 (1)若 sin CMA 3 3 ,求 CM 的长; 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 (1)在CAM 中,因为CAM 3,sin CMA 3 3 ,AC2,由正 弦定理,得 CM sin CAM AC sin CMA, 解得 CM AC sin 3 sin CMA 2 3 2 3 3 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)点 N 是线段 CB 上一点,MN 7,且 SBMN1 2SACB,求 BMBN 的值 解 (2)因为 SBMN1 2SACB, 所以1 2 BM BN sin 6 1 2 1 222 3, 解得 BM BN4 3. 在BMN 中,由余弦定理,得 MN2BM2BN22BM BNcos 6(BMBN) 22BM BN 1 3 2 , 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 即( 7)2(BMBN)224 3 1 3 2 , (BMBN)2198 3(4 3)2, 故 BMBN4 3. 本课结束本课结束