1、第 9 章 中心对称图形平行四边形重难点题型训练（一） 1如图，在正方形ABCD中，ABBCCDAD，BADBCD90，点E、F分别在正方形ABCD 的边DC、BC上，AGEF且AGAB，垂足为G，则： （1）ABF与AGF全等吗？说明理由； （2）求EAF的度数； （3）若AG7，AEF的面积是 21，求CEF的面积 2如图，在正方形ABCD中，ABBCCDAD10cm，ABCD90，点E在边AB上，且AE 4cm，如果点P在线段BC上以 2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动设运动时间为t秒 （1）若点Q与点P的运动速度相等，经过 2 秒后，BPE与CQ
2、P是否全等？请说明理由； （2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，BPE与CQP全等？此时点Q的运动速度为 多少？ 3已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点 （1）如果动点E、F满足BEOF（如图），且AEBF时，问点E在什么位置？并证明你的结论； （2） 如果动点E、F满足BECF（如图） ， 写出所有以点E或F为顶点的全等三角形 （不得添加辅助线） 4如图，正方形ABCD，点F在BC上，试在图中画出一条线段，构出另一个三角形，使得这个三角形全等 于DFC （1）你能在图中画出几种不同位置的线段得到这个三角形？试写出能够画出的种数共有
3、种 （2）画出其中的 1 种位置的线段，并证明你构出的三角形全等于DFC 5已知正方形ABCD中，ABBCCDDA16，ABCD90动点P以每秒 1 个单位速度 从点B出发沿射线BC方向运动，设点P的运动时间为t连接PA （1）如图 1，动点Q同时以每秒 4 个单位速度从A点出发沿正方形的边AD运动，求t为何值时，以点Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和PAB全等； （2）如图 2，在（1）的基础上，当点Q到达点D以后，立即以原速沿线段DC向点C运动，当Q到达点 C时，两点同时停止运动，求t为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和PAB全等 6已知：如图，在四边形ABCD中，点G在
4、边BC的延长线上，CE平分BCD，CF平分GCD，EFBC交CD 于点O （1）求证：OEOF； （2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形 7在ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，BF （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF3，BF4，DF5，求证：AF平分DAB 8如图，在菱形ABCD中，AB4，E为BC中点，AEBC于点E，AFCD于点F，CGAE，CG交AF于点H， 交AD于点G （1）求菱形ABCD的面积； （2）求CHA的度数 9如图 1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交C
5、D于 点F， （1）证明：PCPE； （2）求CPE的度数； （3）如图 2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC120，连接CE，试探究线段AP 与线段CE的数量关系，并说明理由 10如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DEAC且DEOC，连接CE，OE （1）求证：OECD； （2）若菱形ABCD的边长为 4，ABC60，求AE的长 11如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE， 垂足为M，AM与BD相交于点F （1）求证：OEOF； （2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，A
6、M交DB的延长线于点F，其他条件不变，结 论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 12如图，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CFBE （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？回答并证明你的结论 13如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDCBC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F 求证： （1）四边形ABCD是菱形 （2）BFDE 14如图，在 RtABC与 RtABD中，ABCBAD90，ADBC，AC，BD相交于点G，过点A作AE DB交CB的延长线于点E，过点
7、B作BFCA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H （1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形； （3）若使四边形AHBG是正方形，还需在 RtABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条 件（不必证明） 15如图：MON90，在MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON 上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1 （1）连续D1D，求证：D1DA90； （2）连接CC1，猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论； （3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在MON的
8、内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、 （2）的结论，请你再做出一个合理的判断 参考答案 1解：（1）结论：ABFAGF 理由：在 RtABF与 RtAGF中， ， ABFAGF（HL） （2）ABFAGF BAFGAF， 同理易得：AGEADE，有GAEDAE； 即EAFEAD+FAGBAD45， 故EAF45 （3）SAEFEFAG，AG4 21EFAG， EF6， BFFG，EGDE，AGABBCCD7，设FCx，ECy，则BF7x，DE7y， BF+DEFG+EGEF6， 7x+7y6， x+y8 在 RtEFC中，EF2EC2+FC2， x2+y262 2得到，2xy2
9、8， SCEFxy7 方法二：易知SABFSAGF，SAEDSAEG， SABF+SADESAEF21， SEFCS正方形ABCDS五边形ABFED49427 2解：（1）全等 理由：由题意：BPCQ2t 当t2 时，BPCQ4 ABBC10，AE4 BECP1046 BPCQ，BC90，BECP BPECQP （SAS） （2）P、Q运动速度不相等 BPCQ BC90 当BPCP，CQBE时，BPECPQ， BPCPBC5，CQBE6 当t52（秒）时，BPECPQ， 此时点Q的运动速度为 6（cm/s） 3解：（1）当AEBF时，点E在BO中点证明如下： 延长AE交BF于点M，如图所示：
10、BMEAOE，BEMAEO， BEMAEO， ， MBEOBF，BMEBOF， BEMBFO， ， AOBO， EOOF， BEOF， BEEO， 故当AEBF时，点E在BO中点 （2）四边形ABCD是正方形， AOCOBODO，ACBD，ABBCADCD，ACBABDADEBAC45 BECF， OEOF，AFDE， BECF，ABDACB，ABBC ABEBCF（SAS） 同理可得AOEBOF，ADEBAF； 以点E或F为顶点的全等三角形有ABEBCF，AOEBOF，ADEBAF； 4解：（1）如图，共可以构造出 8 个满足条件的三角形； 故答案为：8 （2）如图 1，作AECF，则DFC
11、DAE， 证明如下：四边形ABCD是正方形， ADCD，AC90， 在DFC和DAE中， DFCDAE（SAS） 5解：（1）由题意，得BPt，AQ4t，QD164t， ABPCDQ BPQD t164t 解得：t， 当t时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和PAB全等； （2）如图 2，依题意有ADQABP或BCQABP DQBP或CQBP DQ4t16，CQ324t 4t16t或 324tt 解得：t或t， 当t或t时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和PAB全等 6证明： （1）CE平分BCD、CF平分GCD， BCEDCE，DCFGCF， EFBC， BCEFEC，EFCG
12、CF， DCEFEC，EFCDCF， OEOC，OFOC， OEOF； （2）点O为CD的中点， ODOC， 又OEOF， 四边形DECF是平行四边形， CE平分BCD、CF平分GCD， DCEBCD，DCFDCG DCE+DCF（BCD+DCG）90， 即ECF90， 四边形DECF是矩形 7（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD BEDF，BEDF， 四边形BFDE是平行四边形 DEAB， DEB90， 四边形BFDE是矩形； （2）四边形ABCD是平行四边形， ABDC， DFAFAB 在 RtBCF中，由勾股定理，得 BC5， ADBCDF5， DAFDFA， DAFFAB
13、， 即AF平分DAB 8解：（1）如图，连接AC， E为BC的中点，AEBC， ABAC， 又菱形的边ABBC， ABC是等边三角形， AEAB42， 菱形ABCD的面积BCAE428； （2）在等边三角形ABC中，AEBC， CAEBAC6030， 同理CAF30， EAFCAE+CAF30+3060， AECG， CHA180EAF18060120 9（1）证明：在正方形ABCD中，ABBC， ABPCBP45， 在ABP和CBP中， ABPCBP（SAS）， PAPC， PAPE， PCPE； （2）解：由（1）知，ABPCBP， BAPBCP， DAPDCP， PAPE， DAPE，
14、DCPE， CFPEFD（对顶角相等）， 180PFCPCF180DFEE， 即CPEEDF90； （3）解：APCE；理由如下： 在菱形ABCD中，ABBC，ABPCBP60， 在ABP和CBP中， ABPCBP（SAS）， PAPC，BAPBCP， PAPE， PCPE， DAPDCP， PAPC， DAPAEP， DCPAEP CFPEFD（对顶角相等）， 180PFCPCF180DFEAEP， 即CPFEDF180ADC18012060， EPC是等边三角形， PCCE， APCE 10（1）证明：在菱形ABCD中，OCAC DEOC DEAC， 四边形OCED是平行四边形 ACBD，
15、 平行四边形OCED是矩形 OECD （2）解：在菱形ABCD中，ABC60， ACAB4， 在矩形OCED中， CEOD2 在 RtACE中， AE2 11解：（1）四边形ABCD是正方形 BOEAOF90，OBOA 又AMBE， MEA+MAE90AFO+MAE， MEAAFO 在BOE和AOF中， ， BOEAOF OEOF （2）OEOF成立 四边形ABCD是正方形， BOEAOF90，OBOA 又AMBE， F+MBF90， E+OBE90， 又MBFOBE， FE 在BOE和AOF中， ， BOEAOF OEOF 121）证法一：如图 EF垂直平分BC，BEEC，BFCF， CFB
16、E，BEECCFBF， 四边形BECF是菱形； 证法二：如图 EF垂直平分BC，BDDC，EFBC BECF，BEDCFD， DEDF 四边形BECF是菱形； （2）解法一： 当A45时，菱形BECF是正方形 A45，ACB90，EBC45 EBF2EBC24590 菱形BECF是正方形 解法二： 当A45时，菱形BECF是正方形 A45，ACB90，EBC45， BEEC，ECBEBC45BEC90， 菱形BECF是正方形 13证明：（1）ADBC，ADBC（已知）， 四边形ABCD为平行四边形 又邻边ADDC， 四边形ABCD为菱形；（3 分） （2）证法一：如图： 记EF与AC交点为G，
17、EF与AB的交点为M 由（1）证得四边形ABCD为菱形， 所以对角线AC平分A， 即BACDAC 又EFAC，AGAG， AGMAGE，AMAE（6 分） 又E为AD的中点，四边形ABCD为菱形， AMBMMAEMBF 又BMFAME， BMFAME BFAE BFDE（8 分） 证法二：如图：连接BD 四边形ABCD为菱形 BDAC EFAC EFBD BFDE 四边形BDEF是平行四边形 BFDE（8 分） 14（1）解：ABCBAD 证明：ADBC，ABCBAD90，ABBA， ABCBAD（SAS） （2）证明：AHGB，BHGA， 四边形AHBG是平行四边形 ABCBAD， ABDB
18、AC GAGB 平行四边形AHBG是菱形 （3）解：需要添加的条件是ABBC 15（1）证明：D1AD+B1AD90，OAB1+B1AD90， B1AOD1AD， AD1AB1，AOAD， OAB1DAD1，D1DAO90；（D1，D，C在同一条直线上） （2）解：猜想C1CN45 证明：作C1HON于H作C1GCD1于G； 则有C1GCH C1D1C+AD1D90，C1B1H+AB1O90 C1D1CC1B1H， C1D1B1C1，D1C1EC1HB190， C1GD1C1B1H， C1GC1H， 又CHC1G， 直角三角形CHC1是个等腰直角三角形， C1CN45 （3）解：作图； 得ADD290（ADD290、C2CN45均可）
