1、一次函数及其应用一次函数及其应用 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、一次函数的概念：一、一次函数的概念： 1.1.一次函数的概念：一次函数的概念： （1）定义：一般地，如果 y=kx+b(k，b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数； （2）结构特征： k0； x 的次数是 1； 常数项 b 可以是任意实数。 （3）图像：是不经过原点不经过原点的一条直线。 2.2.正比例函数的概念：正比例函数的概念： （1）定义：当一次函数 y=kx+b 中的 b 为 0； 即：y=kx(k 为常数，k0)；这时，y 叫做 x 的正比例函数； （2）结构特征： k0； x 的次
2、数是 1； 常数项为 0； （3）图像：是经过原点经过原点的一条直线。 3.3.一次函数与正比例函数的一次函数与正比例函数的联系：联系：正比例函数是一次函数的特殊形式。 【例题【例题 1 1】(2019梧州)下列函数中，正比例函数是( ) Ay8x B 8 y x Cy8x 2 Dy8x4 【答案】A 【解析】A、y8x，是正比例函数，符合题意；B、 8 y x ，是反比例函数，不合题意； C、y8x 2，是二次函数，不合题意；D、y8x4，是一次函数，不合题意故选 A 【变式练习【变式练习 1 1】要使函数 y=(m2)x n1+n 是一次函数，应满足( ) Am2，n2 Bm=2，n=2
3、Cm2，n=2 Dm=2，n=0 【答案】C 【解析】函数 y=(m2)x n1+n 是一次函数，m20，n1=1 m2，n=2故选 C。 二、一次函数的图像及平移：二、一次函数的图像及平移： 1.1.正比例函数的图象：正比例函数的图象： 正比例函数 y=kx(常数 k0)的图象是一条经过原点经过原点(0(0，0)0)与点(1，k)的直线。 2.2.一次函数的图象：一次函数的图象：y=kx+b(k，b 是常数，k0) （1）所有一次函数的图象都是一条直线； （2）与 y 轴交于点(0，b)；与 x 轴交于点( b k ，0)的直线。 （3）作图： 画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可；
4、 一般取(0，b)，( b k ，0)两点； 当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，过原点； 3.3.一次函数图象的平移：一次函数图象的平移： （1）上下平移：上加下减上加下减（对于 y=kx+b 来说，只改变 b） 将直线 y=kx+b 向上平移 n 个单位长度：得到直线 y=kx+b+n； 将直线 y=kx+b 向下平移 n 个单位长度：得到直线 y=kx+b-n； （2）左右平移：右减左加右减左加（对于 y=kx+b 来说，只改变 b） 将直线 y=kx+b 向右平移 n 个单位长度：得到直线 y=k(x-n)+b； 将直线 y=kx+b 向左平移 n 个单
5、位长度：得到直线 y=k(x+n)+b； 【例题【例题 2 2】 (2020陕西)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点 若直线 y=x+3 分别与 x 轴、 直线 y=-2x 交于点 A、B，则AOB 的面积为( ) A2 B3 C4 D6 【答案】B 【解析】根据方程或方程组得到 A(-3，0)，B(-1，2)，根据三角形的面积公式即可得到 结论 解：在 y=x+3 中，令 y=0，得 x=-3， 解 3 2 yx yx 得： 1 2 x y ， A(-3，0)，B(-1，2)，AOB 的面积 1 323 2 故选：B。 【变式练习【变式练习 2 2】 (2020杭州)在平面直角坐标系中，已
6、知函数 yax+a(a0)的图象过 点 P(1，2)，则该函数的图象可能是( ) AB CD 【答案】A 【解析】函数 yax+a(a0)的图象过点 P(1，2)， 2a+a，解得 a1， yx+1， 直线交 y 轴的正半轴，且过点(1，2)。故选 A。 【例题【例题 3 3】(2019梧州)直线 y3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是( ) Ay3x+3 By3x2 Cy3x+2 Dy3x1 【答案】D 【解析】直线 y3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是： y3x+123x1故选 D 【变式练习【变式练习 3 3】(2020黔东南州)把直线 y2x1 向左平移
7、1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后所得直线的解析式为 【答案】y2x+3 【解析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案 解：把直线 y2x1 向左平移 1 个单位长度，得到 y2(x+1)12x+1， 再向上平移 2 个单位长度，得到 y2x+3。 三、一次函数图象的性质：三、一次函数图象的性质： 1.1.正比例函数的性质：正比例函数的性质：一般地，正比例函数 y=kx(k0)有下列性质： （1）当 k0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0，b0 时，图象经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）k0，b0 时，图象经过一、三、
8、四象限，y 随 x 的增大而增大； （3）k0 时，图象经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小； （4）k0，b0 时，图象经过二、三、四象限，y 随 x 的增大而减小。 k 值 k0 k0 b 值 b=0 b0 b0 b=0 b0 b0 图象 象限 一、三 一、二、三 一、三、四 二、四 一、二、四 二、三、四 性质 k0，y 随 x 的增大而增大 k0，y 随 x 的增大而减小 【例题【例题 4 4】(2020安徽)已知一次函数 y=kx+3 的图象经过点 A，且 y 随 x 的增大而减小， 则点 A 的坐标可以是( ) A(-1，2) B(1，-2) C(2，3) D(3，4) 【
9、答案】B 【解析】由点 A 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出 k 值，结合 y 随 x 的增 大而减小即可确定结论 解：A、当点 A 的坐标为(-1，2)时，-k +3=2， 解得：k =10，y 随 x 的增大而增大，选项 A 不符合题意； B、当点 A 的坐标为(1，-2)时，k +3=-2， 解得：k =-50，y 随 x 的增大而减小，选项 B 符合题意； C、当点 A 的坐标为(2，3)时，2k +3=3，解得：k=0，选项 C 不符合题意； D、当点 A 的坐标为(3，4)时，3k +3=4，解得： 1 0 3 k ， y 随 x 的增大而增大，选项 D 不符合题意故选：
10、B。 【变式练习【变式练习 4 4】(2019贵州毕节)已知一次函数 ykx+b(k，b 为常数，k0)的图象经过 一、三、四象限，则下列结论正确的是( ) Akb0 Bkb0 Ck+b0 Dk+b0 【答案】B 【解析】ykx+b 的图象经过一、三、四象限，k0，b0，kb0；故选：B 四、一次函数的解析式的确定：四、一次函数的解析式的确定： 1.1.确定一次函数解析式的方法：确定一次函数解析式的方法： （1）依据题意中等量关系直接列出解析式； （2）待定系数法待定系数法。 2.2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）确定一个正比例函数，需
11、要确定正比例函数解析式 y=kx(k0)中的常数 k； （2）确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式 y=kx+b(k0)中的常数 k 和 b； （3）解这类问题的一般方法：待定系数法 设出函数的一般形式； 根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或 方程组； 解方程或方程组求出待定系数的值； 将所求得的系数的值代入到一般形式中。 3.3.确定正比例函数表达式：确定正比例函数表达式： 只需一对 x 与 y 的对应值(即已知正比例函数图象上的一个点即可)； 4.4.确定一次函数的表达式：确定一次函数的表达式： 只需要两对 x 与 y 的对应值(即已知一次函数图象上的
12、两个点即可)。 【例题【例题 5 5】(2019泸州)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(1，4)，B(-4，-6)，求该一次 函数的解析式 【答案】y=2x+2 【解析】将点 A(1，4)，B(-4，-6)代入 y=kx+b 中，列出关于 k 和 b 的二元一次方程组， 解方程组即可 解：把点 A(1，4)，B(-4，-6)代入 y=kx+b 中，得： 4 46 kb kb ，解得： 2 2 k b ， 一次函数解析式为：y=2x+2 【变式练习【变式练习 5 5】(2020北京)在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b(k0)的图象 由函数 yx 的图象平移得到，且经过点(
13、1，2) (1)求这个一次函数的解析式； (2)当 x1 时， 对于 x 的每一个值， 函数 ymx(m0)的值大于一次函数 ykx+b 的值， 直接写出 m 的取值范围 【答案】（1）一次函数的解析式为 yx+1；（2）m2 【解析】(1)先根据直线平移时 k 的值不变得出 k1，再将点 A(1，2)代入 yx+b，求 出 b 的值，即可得到一次函数的解析式； (2)根据点(1，2)结合图象即可求得 解：(1)一次函数 ykx+b(k0)的图象由直线 yx 平移得到， k1， 将点(1，2)代入 yx+b，得 1+b2，解得 b1， 一次函数的解析式为 yx+1； (2)把点(1，2)代入
14、ymx 求得 m2， 当 x1 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx(m0)的值大于一次函数 yx+1 的值， m2 五、一次函数与方程（组）、一元一次不等式：五、一次函数与方程（组）、一元一次不等式： 1.1.一元一次方程：一元一次方程： 关于 x 的一元一次方程 kx+b=0(k0)的解是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标。 2.2.二元一次方程组：二元一次方程组： 关于 x，y 的二元一次方程组 11 22 k xby k xby 的解是直线 y=k1x+b1和 y=k2x+b2的交点坐标。 3.3.一元一次不等式：一元一次不等式： 关于 x 的一元一次不等式 kx+b0(0)
15、的解集是以直线 y=kx+b 和 x 轴的交点为分界 点，x 轴上(下)方的图象所对应的 x 的取值范围。 【例题【例题 6 6】(2019烟台)如图，直线 yx+2 与直线 yax+c 相交于点 P(m，3)，则关于 x 的不等式 x+2ax+c 的解为_ 【答案】x1 【解析】点 P(m，3)代入 yx+2，得 m1，P(1，3) 结合图象可知 x+2ax+c 的解为 x1故答案为 x1 【变式练习【变式练习 6 6】(2020遵义) )如图，直线 ykx+b(k、b 是常数 k0)与直线 y2 交于点 A(4，2)，则关于 x 的不等式 kx+b2 的解集为 【答案】x4 【解析】结合函
16、数图象，写出直线 ykx+2 在直线 y2 下方所对应的自变量的范围即 可 解：直线 ykx+b 与直线 y2 交于点 A(4，2)， x4 时，y2， 关于 x 的不等式 kx+b2 的解集为 x4。 六、一次函数的实际应用：六、一次函数的实际应用： 1.1.一次函数应用问题的求解思路：一次函数应用问题的求解思路： （1）建立一次函数模型求出一次函数解析式结合函数解析式、函数性质作出解答； （2）利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、 租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：建立函数模型解决
17、实际问题的一般步骤： （1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量 x 和 y； （2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； （3）确定自变量 x 的取值范围，保证自变量具有实际意义； （4）利用函数的性质解决问题； （5）写出答案。 3.3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： （1）观察图象，获取有效信息； （2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； （3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围 【例题【例题 7 7】(2
18、020福建)某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为 10 万元， 销售价为 10.5 万元；乙特产每吨成本价为 1 万元，销售价为 1.2 万元由于受有关条 件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是 100 吨，且甲特产的销售量都不超过 20 吨 (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为 235 万元，问这个月该公司分别销售 甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润 【答案】（1）这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为 15 吨，85 吨； （2）该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是 26 万元 【解析】(1)根据题意，可以
19、列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销 售甲、乙两种特产分别为多少吨； (2)根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范 围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值 解：(1)设销售甲种特产 x 吨，则销售乙种特产(100- x)吨， 10 x +(100- x)1=235， 解得，x =15， 100- x =85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为 15 吨，85 吨； (2)设利润为 w 万元，销售甲种特产 a 吨， w=(10.5-10)a+(1.2-1)(100-a)=0.3a+20， 0a20， 当 a=20 时，w 取得最大值，此时
20、 w =26， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是 26 万元 【变式练习【变式练习 7 7】(2020包头)某商店销售 A、B 两种商品，A 种商品的销售单价比 B 种商 品的销售单价少 40 元，2 件 A 种商品和 3 件 B 种商品的销售总额为 820 元 (1)求 A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进 A，B 两种商品共 60 件，且 A，B 两种商品的进价总额不超过 7800 元已知 A 种商品和 B 种商品的每件进价分别为 110 元和 140 元，应如何进货才能使这 两种商品全部售出后总获利最多？ 【答案】（1）A 种商品的销
21、售单价是 140 元，B 种商品的销售单价是 180 元； （2）商店购进 A 种商品 20 件，购进 B 种商品 40 件时，总获利最多 【解析】(1)设 A 种商品的销售单价是 x 元，B 种商品的销售单价是 y 元，根据 A 种商品 的销售单价比 B 种商品的销售单价少 40 元， 2 件 A 种商品和 3 件 B 种商品的销售总额为 820 元列方程组，解出即可解答； (2)根据不等量关系：A 种商品总进价+B 种商品总进价7800，列不等式，解出即可解 答 解：(1)设 A 种商品的销售单价是 x 元，B 种商品的销售单价是 y 元 根据题意得： 40 23820 yx xy ， 解得： 140 180 x y ， 答：A 种商品的销售单价是 140 元，B 种商品的销售单价是 180 元； (2)设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品(60a)件，设总获利为 w 元， 根据题意得：110a+140(60a)7800， 解得：a20， w(140110)a+(180140)(60a)10a+2400， 100， w 随 a 的增大而减小， 当 a20 时，w 有最大值； 答：商店购进 A 种商品 20 件，购进 B 种商品 40 件时，总获利最多
