1、函数函数 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、函数的相关概念：一、函数的相关概念： 1.1.函数的定义：函数的定义： （1）定义：在某个变化过程中，两个变量 x，y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一唯一的值与 之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数； （2）特点： 作垂直 x 轴的直线，在左右平移的过程中，直线与函数图象只会有一个交点； 一个函数问题，只与自变量、函数之间的对应关系有关，而与自变量、函数采用什么字 母无关； 2.2.函数值函数值：对于一个函数，当自变量 x=a 时，求出对应的 y 值，称为当 x=a 时的函数值； 【
2、注意】求函数的值，实质上就是求自变量取某一个值时，代数式的值。 【例题【例题 1 1】在圆的面积计算公式 Sr 2，其中 r 为圆的半径，则变量是（ ） AS BR C，r DS，r 【答案】D 【解析】在圆的面积计算公式 Sr 2中，是圆周率，是常数，变量为 S，r 解：在圆的面积计算公式 Sr 2中，变量为 S，r故选：D 【变式练习【变式练习 1 1】一本笔记本 3 元，买 x 本需要 y 元，在这一问题中，自变量是（ ） A笔记本 B3 Cx Dy 【答案】C 【解析】根据函数的定义进行解答即可 解：在这个问题中，x 和 y 都是变量，且 x 是自变量故选：C 【例题【例题 2 2】下
3、列各曲线中，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） 【答案】D 【解析】A、B、C 中，作垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，所 以能表示 y 是 x 的函数，故 A、B、C 不符合题意； D、作垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象会出现不止一个交点的情形，所以不能 表示 y 是 x 的函数，故 D 符合题意；故选：D 【变式练习【变式练习 2 2】下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） 【答案】C 【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x
4、是自变量由此即可判断 解：当给 x 一个值时，y 有唯一的值与其对应，就说 y 是 x 的函数，x 是自变量 选项 C 中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即 单对应故 C 中曲线不能表示 y 是 x 的函数，故选：C 二、自变量的取值范围：二、自变量的取值范围： 函数解析式 自变量取值范围 例子 整式 全体实数 2105mbkxy 分式 使分母不为 0 的一切实数(不能随意约分) 6 35 4 x y 二次根式 被开方数是非负数 62 xy 复合形式 列不等式组，兼顾所有代数式同时有意义 x x x x y 10 16 3 2 4 【例题【例题 3 3】
5、（2020丹东）在函数 y= 9 3x中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【答案】A 【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，解不等式即可得到 x 的取值范围 解：根据题意得：93x0，解得：x3故选：A 【变式练习【变式练习 3 3】（2020黄石）函数 y= 1 x3 + x 2的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2，且 x3 Bx2 Cx3 Dx2，且 x3 【答案】A 【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于 0，就可以求出 x 的范围 解：根据题意得：x20，且 x30， 解得 x2，且 x3故选：A 【例题【例题 4 4】（
6、2020菏泽）函数 y= x2 x5 的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx2 且 x5 Cx2 Dx2 且 x5 【答案】D 【解析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 解：由题意得 x20 且 x50，解得 x2 且 x5故选：D 【变式练习【变式练习 4 4】（2020绥化）在函数 y= x3 x+1 + 1 x5中，自变量 x 的取值范围是 【答案】x3 且 x5 【解析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零当函数的表达式是偶 次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零 解：由题可得， x 3 0 x + 10 x 5 0 ，解得
7、 x 3 x 1 x 5 ， 自变量 x 的取值范围是 x3 且 x5，故答案为：x3 且 x5 三、函数的表示方法及图像：三、函数的表示方法及图像： 1.1.函数的三种表示方法：函数的三种表示方法：解析法解析法、图象法图象法、列表法列表法； 2.2.函数图象的概念：函数图象的概念： 对一个函数，把自变量 x 和函数 y 的每一对对应值分别作为横坐标、纵坐标，在坐标平面内 有一个相应的点，这些点的全体组成的图形就是函数的图象。 3.3.函数图象的画法：函数图象的画法：描点法； （1）列表：列表求出自变量、函数的一些对应值； （2）描点：以表中的对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点； （
8、3）连线：按自变量从小到大的顺序，把所描各个点用平滑的曲线顺次连接起来。 4.4.点在函数图象上的判断：点在函数图象上的判断： 把一个点的坐标代入函数关系式，如果等式成立，那么点在函数图象上； 如果等式不成立，那么点不在函数图象上。 5.5.函数图象的性质：函数图象的性质：一般地，函数图象(自变量在 x 轴上从小到大，图象从左到右看)： （1）上升线：表示因变量随自变量取值的增加而增加； 上升线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越慢； 上升线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越快； （2）下降线：表示因变量随自变量取值的增加而减少； 下降线倾斜程度越
9、小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越慢； 下降线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越快。 （3）水平线：表示因变量不随自变量取值的变化而发生变化。 【例题【例题 5 5】(2020陕西)如图，是 A 市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差(最高 气温与最低气温的差)是( ) A4 B8 C12 D16 【答案】C 【解析】根据 A 市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案 解：从图中可以看出，这一天中最高气温 8，最低气温是-4，这一天中最高气温与最低气 温的差为 12，故选：C. 【变式练习变式练习 5 5】（2020遵义）新龟兔
10、赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把 乌龟远远甩在后头骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来当它一觉 醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点用 S1、S2分别表示乌龟和兔 子赛跑的路程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） 【答案】C 【解析】乌龟是匀速行走的，图象为线段兔子是：跑停急跑，图象由三条折线组成；最 后同时到达终点，即到达终点的时间相同 解：A此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B此函数图象中，S2第 2 段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟 已经超过它，于是奋力直追”不
11、符，不符合题意； C此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意故选：C 【例题【例题 6 6】（2020烟台）按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值为3，则输出 y 的结果为 【答案】18 【解析】根据31 确定出应代入 y2x 2中计算出 y 的值 解：31， 把 x3 代入 y2x 2，得 y2918，故答案为：18 【变式练习【变式练习 6 6】（2019重庆）根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入 x 的值是 7，则输 出 y 的值是2，若输入 x 的值是8，则输出 y 的值是（ ） A5 B10 C19 D21 【答案】C 【解析】 把 x7 代入程序中计算， 根据 y 值相等即可求出 b 的值， 再将 x8 代入 y2x+3 中即可得出结论. 解：当 x7 时，可得7+b 2 = 2，可得：b3， 当 x8 时，可得：y2（8）+319，故选：C
