1、分式分式 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、分式的相关概念：一、分式的相关概念： 1.1.分式：分式：如果 A，B 表示两个整式，并且 B B 中含有字母中含有字母，那么式子 B A 叫做分式； （1）分式 B A 中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母； （2）三个条件缺一不可： 是形如 B A 的式子； A，B 为整式； 分母 B 中含有字母； （3）特别说明： 1 1 a a 也可以表示为(a-1)(a+1)， 但(a-1)(a+1)不是分式，因为它不符合 B A 的形式； （4）判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断不能把原式化简后再判断，而只需看原式
2、的本来“面 目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关； 比如： a a4 就是分式； 2.2.有意义的条件：有意义的条件：分母 B 的值不为 0 0 (B0)； 3.3.分式的值为分式的值为 0 0 的条件：的条件： 当分子为 0 ，且分母不为 0 时，分式的值为零；(即：A=0A=0 且且 B B0 0) 【例题【例题 1 1】（2020 秋达孜区期末）代数式x， 4 x;y ，x + y， x2:2 ， 7y2 3y ， 5b 5a ， 9 8中是分 式的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】根据分式的定义即可求出答案 4 x;y， 7y2 3y ，5b
3、5a是分式，故选：C 【变式练习【变式练习 1 1】（2019常州）若代数式x:1 x;3有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx3 Cx1 Dx3 【答案】D 【解析】分式有意义的条件是分母不为 0 解：代数式x:1 x;3有意义，x30， x3故选：D 【例题【例题 2 2】（2020雅安）分式x 2;1 x:1 =0，则 x 的值是（ ） A1 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】直接利用分式为零则分子为零，分母不为零进而得出答案 解：分式x 2;1 x:1 =0，x 210 且 x+10， 解得：x1故选：A 【变式练习【变式练习 2 2】（2020 春凌海市期末）若代数
4、式x:3 x;5的值等于零，则 x 【答案】-3 【解析】根据分式值为零的条件可得 x+30，且 x50，再解即可 解：由题意得：x+30，且 x50，解得：x3，故答案为：3 二、分式的基本性质：二、分式的基本性质： 1.1.分式的基本性质：分式的基本性质： 分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为 0 的整式，分式的值不变： （1） MB MA B A (M 为不等于零的整式)； （2） MB MA B A (M 为不等于零的整式)； 2.2.变号法则：变号法则： B A B A B A B A - - - - - -； 3.3.约分：约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式
5、的约分； 即： MB MA B A (M 为不等于零的整式)； 4.4.最简分式：最简分式：分子与分母没有 公因式 的分式叫做最简分式； 5.5.通分：通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的同 分母的分式，叫做分式的通分； 6.6.最简公分母：最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积。 【例题【例题 3 3】（2020 秋永吉县期末）下列约分错误的是（ ） A;25a 2bc3 15ab2c = 5ac2 3b B x2;9 x2:6x:9 = x;3 x:3 C6x 2;12xy:6y2 3x;3y = 2x 2y Dx 2;y2 x;y =
6、 x y 【答案】D 【解析】直接利用分式的基本性质分别分析得出答案 解：A、;25a 2bc3 15ab2c = 5ac2 3b ，故本选项不符合题意 B、原式= (x:3)(x;3) (x:3)2 = x;3 x:3，故本选项不符合题意 C、原式= 6(x;y)2 3(x;y) =2（xy）2x2y，故本选项不符合题意 D、原式= (x:y)(x;y) x;y =x+y，故本选项符合题意故选：D 【变式练习【变式练习 3 3】（2020 春沙坪坝区校级月考）下列约分正确的是（ ） Aa 9 a3 =a 3 Bx:1 x:1 =0 Cx 2:2x:1 x:1 =x+1 Da 2:b2 a:b
7、 =a+b 【答案】C 【解析】首先把分子分母分解因式，再约去分子分母的公因式即可 解：A、原式a 6，故本选项不符合题意B、原式1，故本选项不符合题意 C、原式= (x:1)2 x:1 =x+1，故本选项符合题意 D、该分式是最简分式，不需要约分，故本选项不符合题意故选：C 【例题【例题 4 4】（2020 秋金昌期末）下列分式中，不是最简分式是（ ） Ax 2 y2 Bx 2:y2 x2;y2 Ca:2 a:1 D 2x:y 2xy:y2 【答案】D 【解析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断的方法是把 分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以
8、通过符号变化 化为相同的因式从而进行约分 解： 2x:y 2xy:y2 = 2x:y y(2x:y)，即分子、分母中含有公因式（2x+y），所以它不是最简分式； 故选：D 【变式练习【变式练习 4 4】（2019 秋邹城市期末）对 x;y 2(x:y)和 xy x2;y2进行通分，需确定的最简公分母 是 【答案】2（x+y）（xy） 【解析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母 解：分式 x;y 2(x:y)和 xy x2;y2的分母分别是 2（x+y）、
9、（x+y）（xy） 则最简公分母是 2（x+y）（xy）故答案是：2（x+y）（xy） 三、分式的运算法则：三、分式的运算法则： 1.1.分式的乘除法：分式的乘除法： （1 1）乘法法则：）乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 即： bd ac d c b a ；（bd0） （2 2）除法法则：）除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘； 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数； 即： bc ad c d b a d c b a ；(bcd0) 2.2.分式的加减法：分式的加减法： （1）同分母分式相加减：分母不变，把分子
10、相加减； 即： c ba c b c a ；(c0) （2）异分母分式相加减：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法 法则进行计算； 即： bd bcad bd bc bd ad d c b a ；(bd0) 3.3.分式的乘方：分式的乘方： n n n b a b a ；(n 为整数，b0) 4.4.分式的混合运算：分式的混合运算： （1）先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算； （2）如果有括号，先算括号里面的； （3）说明： 实数的各种运算律也适用于分式的运算； 分式运算的结果要化成最简分式或整式最简分式或整式； 【例题【例题 5 5】（2020 秋淮南
11、期末）化简x 2;x x:1 x2;1 x2;2x:1的结果是（ ） A1 x Bx Cx:1 x;1 Dx;1 x:1 【答案】B 【解析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案 解：原式= x(x;1) x:1 (x;1)(x:1) (x;1)2 x故选：B 【变式练习【变式练习 5 5】（2020 秋长春期末）化简(x y y x) x2;y2 x 的结果是（ ） Ay Bx;y y C1 y Dx:y y 【答案】C 【解析】根据分式的混合运算的计算方法进行计算即可 解：原式（x 2 xy y2 xy） (x:y)(x;y) x = (x:y)(x;y) xy x (x:y)
12、(x;y) = 1 y，故选：C 【例题【例题 6 6】(2020连云港)化简a:3 1;a a2:3a a2;2a:1 【答案】 a a1 【分析】直接利用分式的性质进而化简进而得出答案 【解析】原式= a:3 1;a (a;1)2 a(a:3) = a:3 1;a (1;a)2 a(a:3) = 1;a a 【变式练习【变式练习 6 6】(2020聊城)计算：(1+ a 1;a) 1 a2;a = 【答案】a 【解析】原式= 1;a:a 1;a a(a1) = 1 1;aa(a1) a 四、分式的化简求值：四、分式的化简求值： 1.1.分式的化简求值：分式的化简求值： （1）分式通过化简后
13、，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为 0； （2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式； （3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分 式有意义； 2.2.分式的分式的自选代值：自选代值： 分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意： （1）当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为 0； （2）当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为 0，还要 使除式不为 0； 【例题【例题 7 7】(2020青海)化简求值： 2 2 122 () 121 aaaa aa
14、aa ；其中 a 2-a-1=0 【答案】1 【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到 原式 2 1a a ，然后把 a 2=a+1 代入计算即可。 解：原式 2 (1)(1)(2) (1) (1)(21) aaa aa a aaa 2 21(1) (1)(21) aa a aaa 2 1a a ， a 2-a-1=0 a 2=a+1，原式1 1 1 a a 。 【变式练习【变式练习 7 7】(2020赤峰)先化简，再求值： 2 2 11 21 mm m mmm ， 其中 m 满足：m 2m10 【答案】1 【解析】根据分式乘除法则和减法法则化简原式，再将已
15、知方程变形为 m 2m+1，最后 代入求值便可。 解：原式 2 (1)(1) (1)1 mmm m mm 1 m m m 2 1 m m ， m 2m10， m 2m+1，原式1 1 1 m m 。 【例题【例题 8 8】（2020 秋青山区期末）先化简，再求值：( + 2 + 5 2) 24 3 ，其中 x5 【答案】-16 【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答 本题 解：( + 2 + 5 2) 24 3 = (+2)(2)+5 2 2(2) 3 = 42+5 2 2(2) 3 = (3+)(3) 1 2 3 2（3+x） 62x， 当 x5 时，原式62561016 【变式练习【变式练习 8 8】（2020 秋延庆区期末）先化简，再求值： （1 21 2 ） 1 3 ，其中 a2a3 =0 【答案】3 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a2a 的值代入计算即可 解：(1 21 2 ) 1 3 = 22+1 2 3 ;1 = (1)2 2 3 ;1 a2a， 2 3 = 0， 2 = 3， 则原式= 3
