1、整式的运算整式的运算 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、整式的基本概念：一、整式的基本概念： 1.1.单项式：单项式：由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。 （1）单独的一个数或者一个字母也是单项式。 （2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 （3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【例题【例题 1 1】下列各式是单项式的是（ ） A. n m B. 3 nm C. 3 2 D.3m+6n 【答案】C 【解析】数与字母乘积的代数式叫做单项式； A.分母中有字母，不是单项式； B、D.是几个单项式的和，不是单项式； C.符合单项式的定义，是单项
2、式；故选 C。 【变式练习【变式练习 1 1】下列关于单项式 5 3 - 2y x 的说法中，正确的是（ ） A.系数、次数都是 3 B.系数是 5 3 ，次数是 3 C.系数是 5 3 -，次数是 2 D.系数是 5 3 -，次数是 3 【答案】D 【解析】根据单项式系数、次数的定义可知： 单项式 5 3 - 2y x 的系数是 5 3 -，次数是 2+1=3，只有 D 正确；故选 D。 2.2.多项式：多项式：几个单项式的和叫做多项式。 （1）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （2）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。 【例题【例题 2 2】关于多项式 3x
3、 2-2x3y-4y2+x-y+7，下列说法正确的是（ ） A.它是三次六项式 B.它的最高次项是 2x 3y C.它的一次项是 x D.它的二次项系数是-4 【答案】D 【解析】A.多项式 3x 2-2x3y-4y2+x-y+7 中的单项式-2x3y 的次数最高，为 3+1=4，故该多项式是 四次六项式；B.该多项式的最高项是-2x 3y；C.该多项式的一次项是 x 和-y； D.该多项式关于 y 的二次项系数是-4，常数项是-7，故本选项正确。 【变式练习【变式练习 2 2】对于多项式32 3 2 - 22 yxx，下列说法正确的是（ ） A.是 2 次 3 项式，常数项是 3 B.是 3
4、 次 3 项式，没有常数项 C.是 2 次 3 项式，没有常数项 D.是 3 次 3 项式，常数项是 3 【答案】D 【解析】多项式中的每个单项式叫做多项式的项， 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数； 多项式32 3 2 - 22 yxx中最高次项-2x 2y 的次数为 3，3中虽有字母，但是作已知数处 理；故多项式为 3 次 3 项式，常数项是 3；故选 D。 3.3.整式：整式：单项式与多项式统称整式。 4.4.代数式：代数式：像 2(x1)，abc， t s ，a 2等式子都是 代数式 代数式 ； 单独一个数或字母也是代数式代数式。 5.5.代代数式的值：数式的值：一般地，用
5、 数值数值 代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出 的 结果结果 ，叫做代数式的值。 【例题【例题 3 3】苹果的单价为 a 元/千克，香蕉的单价为 b 元/千克，买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共 需( ) A.(a+b)元 B.(3a+2b)元 C.(2a+3b)元 D.5(a+b)元 【答案】C 【解析】单价为 a 元的苹果 2 千克用去 2a 元，单价为 b 元的香蕉 3 千克用去 3b 元，共用去： (2a+3b)元。 【变式练习变式练习 3 3】(2020重庆 B 卷)已知 a+b=4，则代数式1 22 ab 的值为( ) A3 B1 C0 D-1 【答案】A 【解析
6、】解：当 a+b=4 时，原式 1 1() 2 ab 1 14 2 12 3；故选 A。 二、整式的加减：二、整式的加减： 1.整式加减的实质：合并同类项。 2.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 （1）如 3a 与 a 是同类项，3a 与 a 2 不是同类项； （2）所有的常数项是同类项； 3.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （1）合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变； 如：3a+a 4a ，3x 2+5x2 = 8x2 ； （2）当同类项的系数互为相反数时，合并后的结果为 0； 4.去括号法则： （1）如果括号
7、外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如：a+(b+c) = a+b+c ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； 如：a-(b+c) = a-b-c ； 5.整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 【例题【例题 4 4】(2020贵州黔西南)若 7a xb2与a3by 和为单项式，则 y x_ 【答案】8 【解析】直接利用合并同类项法则进而得出 x，y 的值，即可得出答案； 因为 7a xb2与a3by的和为单项式，所以 7axb2与a3by是同类项，所以 x3，y2，所以 yx 2
8、 38，因此本题答案为 8。 【变式练习【变式练习 4 4】(2019贵州黔西南州)如果 3ab 2m1与 9abm+1是同类项，那么 m 等于( ) A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】根据题意，得：2m1m+1，解得 m2；故选 A。 【例题【例题 5 5】(2020通辽)下列说法不正确的是( ) A.2a 是 2 个数 a 的和 B.2a 是 2 和数 a 的积 C.2a 是单项式 D.2a 是偶数 【答案】D 【解析】解：A、2a = a + a，即 2a 是 2 个数 a 的和，说法正确； B、2a 是 2 和数 a 的积，说法正确；C、2a 是单项式，说法正确； D、2a
9、不一定是偶数，故原说法错误；故选 D。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020天津)计算 x+7x-5x 的结果等于 【答案】3x 【解答】解：x+7x-5x=(1+7-5)x=3x。 三、整式的乘除：三、整式的乘除： 1.幂的运算： （1 1）同底数幂的乘法：）同底数幂的乘法： 底数不变，指数相加 ；即： nmnm aaa (m、n 都是正整数)； （2 2）同底数幂的除法：同底数幂的除法： 底数不变，指数相减 ；即： nmnm aaa (a0）； （3 3）幂的乘方：）幂的乘方： 底数不变，指数相乘 ；即： mnnm aa)(（m、n 都是正整数) 幂的乘方法则可以逆用；即： mnnmm
10、n aaa)()( （4 4）积的乘方：）积的乘方： 等于各因数乘方的积 ；即： nnn baab)(n 是正整数)。 （5 5）零指数：）零指数：任何不等于零的数的零次方等于 1。即：1 0 a(a0) （6 6）负整数指数：负整数指数：任何不等于 0 的数的-p 次幂(p 是正整数)，等于这个数的 p 次幂的倒数， 即： p p a a 1 ( a0，p 是正整数)。 【例题【例题 6 6】(2020重庆 B 卷)计算 aa 2结果正确的是( ) Aa Ba 2 Ca 3 Da 4 【答案】C 【解析】解：aa 2= a1+2= a3；故选 C。 【变式练习【变式练习 6 6】(2020河
11、北)若 k 为正整数，则()k kk kkk 个 ( ) A 2k k B 21k k C2 k k D 2 k k 【答案】A 【解析】解： 22 ()()() kkkk kk kkkk kkk 个 ；故选 A。 【例题【例题 7 7】(2020吉林)下列运算正确的是( ) Aa 2a3=a6 B(a 2)3=a5 C(2a) 2=2a2 Da 3a2=a 【答案】D 【解析】解：A、a 2a3=a5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、(a 2)3=a6，原计算错误，故此选项不符合题意； C、(2a) 2=4a2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a 3a2=a，原计算正确，故此选项
12、符合题意；故选 D。 【变式练习【变式练习 7 7】(2020陕西)计算： 23 2 () 3 x y( ) A 63 2x y B 63 8 27 x y C 63 8 27 x y D 54 8 27 x y 【答案】C 【解析】解： 23323363 228 ()() () 3327 x yxyx y ；故选 C。 2.2.整式的乘法：整式的乘法： （1 1）单项式与单项式相乘：）单项式与单项式相乘：把他们的系数，相同字母分别相乘； 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式； 如：2x 3y3x2=23x3+2y=6x5y （2 2）单项式乘以多项式：）单项式乘以多
13、项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 即：mcmbmacbam)(m、a、b、c 都是单项式) （3 3）多项式与多项式相乘：）多项式与多项式相乘：用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项， 再把所的的积相加； 即：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb （4 4）平方差公式：）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； 即： 22 )(bababa （5 5）完全平方和公式：）完全平方和公式：等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的 2 倍； 即：(a+b) 2=a2+b2+2ab （6 6）完全平方差公式：）完全平方差公式：等于这两个数的平
14、方和，再减上这两个的积的 2 倍； 即：(a-b) 2=a2+b2-2ab （7 7）常见的变形有：）常见的变形有： a 2+b2=(a+b)2-2ab； (a-b)2=(a+b)2-4ab； (-a-b)2=(a+b)2； (-a+b)2=(a-b)2 【例题【例题 8 8】(2020凉山州)化简求值：(2x+3)(2x3)(x+2) 2+4(x+3)，其中 x= 2。 【答案】5 【解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类 项即可化简原式，继而将 x 的值代入计算可得答案。 原式4x 29(x2+4x+4)+4x+12 4x 29x24x4+4x+1
15、2 3x 21， 当 x= 2时， 原式3(2) 21 321 61 5。 【变式练习【变式练习 8 8】(2020北京)已知 5x 2x10，求代数式(3x+2)(3x2)+x(x2)的值 【答案】-2 【解答】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案。 解：(3x+2)(3x2)+x(x2) 9x 24+x22x 10 x 22x4 5x 2x10 5x 2x1 原式2(5x 2x)42。 3.3.整式的除法：整式的除法： （1 1）同底数幂的除法：）同底数幂的除法： mnm n aaa （2 2）单项式的除法法则：）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底
16、数幂分别相除，作为商的因式，对于只 在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； 如：(3x) 2yx= 9xy （3 3）多项式除以单项式的法则：）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，在把所的的商相加。 （4 4）添括号法则：）添括号法则： 括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号； 括号前面是号，放进括号里面的每一项都要变号。 【例题【例题 9 9】(2020遂宁)下列计算正确的是( ) A7ab5a2b B(a+ 1 a) 2a2+1 a2 C(3a 2b)26a4b2 D3a 2bb3a2 【答案】D 【解析】7ab 与5a
17、不是同类项，不能合并，因此选项 A 不正确； 根据完全平方公式可得(a+ 1 a) 2a2+1 a2 +2，因此选项 B 不正确； (3a 2b)29a4b2，因此选项 C 不正确； 3a 2bb3a2，因此选项 D 正确。 【变式练习【变式练习 8 8】(2020宁波)下列计算正确的是( ) Aa 3a2a6 B(a 3)2a5 Ca 6a3a3 Da 2+a3a5 【答案】C 【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得 出答案。 A.a 3a2a5，故此选项错误； B.(a3)2a6，故此选项错误； C.a 6a3a3，正确； D.a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误。 【例题【例题 1010】(2019湖南岳阳)已知 x32，则代数式(x3) 22(x3)+1 的值为 【答案】1 【解析】解：x32， 代数式(x3) 22(x3)+1(x31)2(21)21。 【变式练习【变式练习 1010】(2020济宁)先化简，再求值：(x+1)(x1)+x(2x)，其中 x= 1 2 【答案】0 【解析】原式x 21+2xx22x1， 当 x= 1 2时，原式2 1 2 10。
