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2021届中考数学一轮复习专题02:整式的运算(知识点总结+例题讲解)

1、整式的运算整式的运算 (知识点总结(知识点总结+ +例题讲解)例题讲解) 一、整式的基本概念:一、整式的基本概念: 1.1.单项式:单项式:由数或者字母的积组成的式子,叫做单项式。 (1)单独的一个数或者一个字母也是单项式。 (2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 (3)一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【例题【例题 1 1】下列各式是单项式的是( ) A. n m B. 3 nm C. 3 2 D.3m+6n 【答案】C 【解析】数与字母乘积的代数式叫做单项式; A.分母中有字母,不是单项式; B、D.是几个单项式的和,不是单项式; C.符合单项式的定义,是单项

2、式;故选 C。 【变式练习【变式练习 1 1】下列关于单项式 5 3 - 2y x 的说法中,正确的是( ) A.系数、次数都是 3 B.系数是 5 3 ,次数是 3 C.系数是 5 3 -,次数是 2 D.系数是 5 3 -,次数是 3 【答案】D 【解析】根据单项式系数、次数的定义可知: 单项式 5 3 - 2y x 的系数是 5 3 -,次数是 2+1=3,只有 D 正确;故选 D。 2.2.多项式:多项式:几个单项式的和叫做多项式。 (1)其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项; (2)多项式里,次数最高项的次数,叫做多项式的次数。 【例题【例题 2 2】关于多项式 3x

3、 2-2x3y-4y2+x-y+7,下列说法正确的是( ) A.它是三次六项式 B.它的最高次项是 2x 3y C.它的一次项是 x D.它的二次项系数是-4 【答案】D 【解析】A.多项式 3x 2-2x3y-4y2+x-y+7 中的单项式-2x3y 的次数最高,为 3+1=4,故该多项式是 四次六项式;B.该多项式的最高项是-2x 3y;C.该多项式的一次项是 x 和-y; D.该多项式关于 y 的二次项系数是-4,常数项是-7,故本选项正确。 【变式练习【变式练习 2 2】对于多项式32 3 2 - 22 yxx,下列说法正确的是( ) A.是 2 次 3 项式,常数项是 3 B.是 3

4、 次 3 项式,没有常数项 C.是 2 次 3 项式,没有常数项 D.是 3 次 3 项式,常数项是 3 【答案】D 【解析】多项式中的每个单项式叫做多项式的项, 多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数; 多项式32 3 2 - 22 yxx中最高次项-2x 2y 的次数为 3,3中虽有字母,但是作已知数处 理;故多项式为 3 次 3 项式,常数项是 3;故选 D。 3.3.整式:整式:单项式与多项式统称整式。 4.4.代数式:代数式:像 2(x1),abc, t s ,a 2等式子都是 代数式 代数式 ; 单独一个数或字母也是代数式代数式。 5.5.代代数式的值:数式的值:一般地,用

5、 数值数值 代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系,计算得出 的 结果结果 ,叫做代数式的值。 【例题【例题 3 3】苹果的单价为 a 元/千克,香蕉的单价为 b 元/千克,买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共 需( ) A.(a+b)元 B.(3a+2b)元 C.(2a+3b)元 D.5(a+b)元 【答案】C 【解析】单价为 a 元的苹果 2 千克用去 2a 元,单价为 b 元的香蕉 3 千克用去 3b 元,共用去: (2a+3b)元。 【变式练习变式练习 3 3】(2020重庆 B 卷)已知 a+b=4,则代数式1 22 ab 的值为( ) A3 B1 C0 D-1 【答案】A 【解析

6、】解:当 a+b=4 时,原式 1 1() 2 ab 1 14 2 12 3;故选 A。 二、整式的加减:二、整式的加减: 1.整式加减的实质:合并同类项。 2.同类项概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 (1)如 3a 与 a 是同类项,3a 与 a 2 不是同类项; (2)所有的常数项是同类项; 3.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。 (1)合并同类项的法则:系数相加减,字母及其字母的指数不变; 如:3a+a 4a ,3x 2+5x2 = 8x2 ; (2)当同类项的系数互为相反数时,合并后的结果为 0; 4.去括号法则: (1)如果括号

7、外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; 如:a+(b+c) = a+b+c ; (2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反; 如:a-(b+c) = a-b-c ; 5.整式加减的运算法则: 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。 【例题【例题 4 4】(2020贵州黔西南)若 7a xb2与a3by 和为单项式,则 y x_ 【答案】8 【解析】直接利用合并同类项法则进而得出 x,y 的值,即可得出答案; 因为 7a xb2与a3by的和为单项式,所以 7axb2与a3by是同类项,所以 x3,y2,所以 yx 2

8、 38,因此本题答案为 8。 【变式练习【变式练习 4 4】(2019贵州黔西南州)如果 3ab 2m1与 9abm+1是同类项,那么 m 等于( ) A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】根据题意,得:2m1m+1,解得 m2;故选 A。 【例题【例题 5 5】(2020通辽)下列说法不正确的是( ) A.2a 是 2 个数 a 的和 B.2a 是 2 和数 a 的积 C.2a 是单项式 D.2a 是偶数 【答案】D 【解析】解:A、2a = a + a,即 2a 是 2 个数 a 的和,说法正确; B、2a 是 2 和数 a 的积,说法正确;C、2a 是单项式,说法正确; D、2a

9、不一定是偶数,故原说法错误;故选 D。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020天津)计算 x+7x-5x 的结果等于 【答案】3x 【解答】解:x+7x-5x=(1+7-5)x=3x。 三、整式的乘除:三、整式的乘除: 1.幂的运算: (1 1)同底数幂的乘法:)同底数幂的乘法: 底数不变,指数相加 ;即: nmnm aaa (m、n 都是正整数); (2 2)同底数幂的除法:同底数幂的除法: 底数不变,指数相减 ;即: nmnm aaa (a0); (3 3)幂的乘方:)幂的乘方: 底数不变,指数相乘 ;即: mnnm aa)((m、n 都是正整数) 幂的乘方法则可以逆用;即: mnnmm

10、n aaa)()( (4 4)积的乘方:)积的乘方: 等于各因数乘方的积 ;即: nnn baab)(n 是正整数)。 (5 5)零指数:)零指数:任何不等于零的数的零次方等于 1。即:1 0 a(a0) (6 6)负整数指数:负整数指数:任何不等于 0 的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的 p 次幂的倒数, 即: p p a a 1 ( a0,p 是正整数)。 【例题【例题 6 6】(2020重庆 B 卷)计算 aa 2结果正确的是( ) Aa Ba 2 Ca 3 Da 4 【答案】C 【解析】解:aa 2= a1+2= a3;故选 C。 【变式练习【变式练习 6 6】(2020河

11、北)若 k 为正整数,则()k kk kkk 个 ( ) A 2k k B 21k k C2 k k D 2 k k 【答案】A 【解析】解: 22 ()()() kkkk kk kkkk kkk 个 ;故选 A。 【例题【例题 7 7】(2020吉林)下列运算正确的是( ) Aa 2a3=a6 B(a 2)3=a5 C(2a) 2=2a2 Da 3a2=a 【答案】D 【解析】解:A、a 2a3=a5,原计算错误,故此选项不符合题意; B、(a 2)3=a6,原计算错误,故此选项不符合题意; C、(2a) 2=4a2,原计算错误,故此选项不符合题意; D、a 3a2=a,原计算正确,故此选项

12、符合题意;故选 D。 【变式练习【变式练习 7 7】(2020陕西)计算: 23 2 () 3 x y( ) A 63 2x y B 63 8 27 x y C 63 8 27 x y D 54 8 27 x y 【答案】C 【解析】解: 23323363 228 ()() () 3327 x yxyx y ;故选 C。 2.2.整式的乘法:整式的乘法: (1 1)单项式与单项式相乘:)单项式与单项式相乘:把他们的系数,相同字母分别相乘; 对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式; 如:2x 3y3x2=23x3+2y=6x5y (2 2)单项式乘以多项式:)单项式乘以多

13、项式:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加; 即:mcmbmacbam)(m、a、b、c 都是单项式) (3 3)多项式与多项式相乘:)多项式与多项式相乘:用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所的的积相加; 即:(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (4 4)平方差公式:)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差; 即: 22 )(bababa (5 5)完全平方和公式:)完全平方和公式:等于这两个数的平方和,再加上这两个的积的 2 倍; 即:(a+b) 2=a2+b2+2ab (6 6)完全平方差公式:)完全平方差公式:等于这两个数的平

14、方和,再减上这两个的积的 2 倍; 即:(a-b) 2=a2+b2-2ab (7 7)常见的变形有:)常见的变形有: a 2+b2=(a+b)2-2ab; (a-b)2=(a+b)2-4ab; (-a-b)2=(a+b)2; (-a+b)2=(a-b)2 【例题【例题 8 8】(2020凉山州)化简求值:(2x+3)(2x3)(x+2) 2+4(x+3),其中 x= 2。 【答案】5 【解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开,再去括号、合并同类 项即可化简原式,继而将 x 的值代入计算可得答案。 原式4x 29(x2+4x+4)+4x+12 4x 29x24x4+4x+1

15、2 3x 21, 当 x= 2时, 原式3(2) 21 321 61 5。 【变式练习【变式练习 8 8】(2020北京)已知 5x 2x10,求代数式(3x+2)(3x2)+x(x2)的值 【答案】-2 【解答】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简,进而把已知代入得出答案。 解:(3x+2)(3x2)+x(x2) 9x 24+x22x 10 x 22x4 5x 2x10 5x 2x1 原式2(5x 2x)42。 3.3.整式的除法:整式的除法: (1 1)同底数幂的除法:)同底数幂的除法: mnm n aaa (2 2)单项式的除法法则:)单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底

16、数幂分别相除,作为商的因式,对于只 在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式; 如:(3x) 2yx= 9xy (3 3)多项式除以单项式的法则:)多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项 式,在把所的的商相加。 (4 4)添括号法则:)添括号法则: 括号前面是+号,放进括号里面的每一项都不变号; 括号前面是号,放进括号里面的每一项都要变号。 【例题【例题 9 9】(2020遂宁)下列计算正确的是( ) A7ab5a2b B(a+ 1 a) 2a2+1 a2 C(3a 2b)26a4b2 D3a 2bb3a2 【答案】D 【解析】7ab 与5a

17、不是同类项,不能合并,因此选项 A 不正确; 根据完全平方公式可得(a+ 1 a) 2a2+1 a2 +2,因此选项 B 不正确; (3a 2b)29a4b2,因此选项 C 不正确; 3a 2bb3a2,因此选项 D 正确。 【变式练习【变式练习 8 8】(2020宁波)下列计算正确的是( ) Aa 3a2a6 B(a 3)2a5 Ca 6a3a3 Da 2+a3a5 【答案】C 【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得 出答案。 A.a 3a2a5,故此选项错误; B.(a3)2a6,故此选项错误; C.a 6a3a3,正确; D.a2+a3,不是同类项,不能合并,故此选项错误。 【例题【例题 1010】(2019湖南岳阳)已知 x32,则代数式(x3) 22(x3)+1 的值为 【答案】1 【解析】解:x32, 代数式(x3) 22(x3)+1(x31)2(21)21。 【变式练习【变式练习 1010】(2020济宁)先化简,再求值:(x+1)(x1)+x(2x),其中 x= 1 2 【答案】0 【解析】原式x 21+2xx22x1, 当 x= 1 2时,原式2 1 2 10。