1、圆圆 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、与圆有关概念：一、与圆有关概念： 1.1.圆的定义：圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径 2.2.弦：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的 AB)； 3.3.弦心距：弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； 4.4.直径：直径：经过圆心的弦叫做直径(如上图中的 CD)；直径等于半径的 2 倍。 5.5.半圆：半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6.6.弧、优弧、劣弧：弧、优弧
2、、劣弧： （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示， 以 A，B 为端点的弧记作“AB”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” （2）大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)； （3）小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。 7.7.等弧：等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相 重合 的弧叫做等弧。 8.8.等圆：等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 9.9.垂径定理及其推论：垂径定理及其推论： （1 1）垂径定理：）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （2 2）推论）推论 1 1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线
3、经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2 2）推论）推论 2 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 10.10.圆的对称性：圆的对称性： （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【例题【例题 1 1】(2020青海)已知O 的直径为 10 cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB=8 cm，CD=6 cm，则 AB 与 CD 之间的距离为 cm 【答案】1 或 7 【解析】作 OEAB 于 E，延长 EO 交 CD 于 F，连接 OA
4、、OC，如图，利用平行线的性质 OFCD，根据垂径定理得到 AE=BE=4，CF=DF=3，则利用勾股定理可计算出 OE=3，OF=4， 讨论：当点 O 在 AB 与 CD 之间时，EF=OF+OE；当点 O 不在 AB 与 CD 之间时，EF=OF-OE 解：作 OEAB 于 E，延长 EO 交 CD 于 F，连接 OA、OC，如图， ABCD，OEAB， OFCD， 1 4 cm 2 AEBEAB， 1 3cm 2 CFDFCD， 在 RtOAE 中， 2222 543cmOEAOAE， 在 RtOCF 中， 2222 534 cmOFCOCF， 当点 O 在 AB 与 CD 之间时，如图
5、 1，EF=OF+OE=4+3=7 cm； 当点 O 不在 AB 与 CD 之间时，如图 2，EF=OF-OE=4-3=1 cm； 综上所述，AB 与 CD 之间的距离为 1 cm 或 7 cm故答案为 1 或 7。 【变式练习【变式练习 1 1】 (2020宁夏 12/26)我国古代数学经典著作 九章算术 中记载了一个 “圆 材埋壁”的问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问 径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材， 锯口深 ED=1 寸，锯道长 AB=1 尺(1 尺=10 寸)问这根圆形木材的直径是 寸 【答案】26 【解析】根据
6、题意可得 OEAB，由垂径定理可得 11 22 ADBDAB尺=5 寸，设半径 OA=OE=r，则 OD=r-1，在 RtOAD 中，根据勾股定理可得：(r-1) 2+52=r2，解方程可得出 木材半径，即可得出木材直径 解：由题意可知 OEAB，OE 为O 半径， 11 22 ADBDAB尺=5 寸， 设半径 OA=OE=r，ED=1，OD=r-1， 则 RtOAD 中，根据勾股定理可得：(r-1) 2+52=r2， 解得：r=13，木材直径为 26 寸故答案为：26。 二、与圆有关的角：二、与圆有关的角： 1.1.圆心角：圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.2.弧、弦、弦心距、圆心角之
7、间的关系定理：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。 （2 2）推论：）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.3.圆周角：圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4.4.圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； （2）推论 2：半圆(或直径
8、)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； （3） 推论 3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 【例题【例题 2 2】 (2020福建)如图， 四边形 ABCD 内接于O， AB=CD， A 为BD中点， BDC=60， 则ADB 等于( ) A40 B50 C60 D70 【答案】A 【解析】连接 OA、OB、OD、OC，求出ABADCD，求出AOB=DOC=AOD，根据圆 周角定理求出BOC，再求出AOB，最后根据圆周角定理求出即可 解：如下图，连接 OA、OB、OD、OC， BDC=60， BOC=2BDC=120， AB=CD， AOB=D
9、OC， A 为BD的中点，ABAD，AOB=AOD， 1 (360)80 3 AOBAODDOCBOC ， 1 40 2 ADBAOB，故选：A。 【变式练习【变式练习 2 2】(2020海南)如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，若BCD=36，则 ABD 等于( ) A54 B56 C64 D66 【答案】A 【解析】根据 AB 是O 的直径，可得ADB=90，根据同弧所对圆周角相等可得DAB= BCD=36，进而可得ABD 的度数 解：AB 是O 的直径，ADB=90， DAB=BCD=36，ABD=ADB-DAB=90-36=54故选：A。 三、与圆有关的位置关系：三、与圆有关的
10、位置关系： 1.1.点与圆的位置关系：点与圆的位置关系： （1）设O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有： 点 P 在圆外 dr； 点 P 在圆内 dr； 点 P 在圆上 dr。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.2.直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系： （1）直线和圆有三种位置关系，具体如下： 相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线， 公共点叫做交点； 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线； 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 （2）如果O 的半径为 r，圆
11、心 O 到直线 l 的距离为 d，那么： 直线 l 与O 相交 dr； （3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角心的连线平分两条切线的夹角。 （6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。 （7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。 3.3.圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系： （1）圆和圆的位置关系： 如果两个
12、圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种； 如果两个圆只有一个公共点， 那么就说这两个圆相切， 相切分为外切和内切两种； 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 （2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 （3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么： 两圆外离 dR+r； 两圆外切 d=R+r； 两圆相交 R-rdr)； 两圆内含 dr)； （4）两圆相切、相交的重要性质： 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连 心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 【例题【例题 3 3】(2
13、020青海)如图，在ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，则ABC 的内切圆 半径 r= 【答案】1 【解析】在ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，根据勾股定理可得 AB =5，设ABC 的内 切圆与三条边的切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF，可得 ODAB，OEBC，OFAC， 可得矩形 EOFC， 再根据切线长定理可得 CE=CF， 所以矩形 EOFC 是正方形， 可得 CE=CF=r， 所以 AF=AD= 3-r，BE=BD= 4-r，进而可得ABC 的内切圆半径 r 的值 解：在ABC 中，C=90，AC=3，BC=4， 根据勾股定理，得 AB =5， 如图，设A
14、BC 的内切圆与三条边的切点分别为 D、E、F， 连接 OD、OE、OF， ODAB，OEBC，OFAC， C=90， 四边形 EOFC 是矩形， 根据切线长定理，得 CE=CF， 矩形 EOFC 是正方形， CE=CF=r， AF=AD=AC-FC=3-r， BE=BD=BC-CE=4-r， AD+BD=AB， 3-r +4-r =5， 解得 r=1则ABC 的内切圆半径 r=1故答案为：1。 【变式练习【变式练习 3 3】(2020陕西)如图，ABC 内接于O，A=50E 是边 BC 的中点，连 接 OE 并延长，交O 于点 D，连接 BD，则D 的大小为( ) A55 B65 C60 D
15、75 【答案】B 【解析】连接 CD，根据圆内接四边形的性质得到CDB=180-A=130，根据垂径定 理得到 ODBC，求得 BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论 解：连接 CD，A=50， CDB=180-A=130， E 是边 BC 的中点 ODBC， BD=CD， 1 65 2 ODBODCBDC ，故选：B 【例题【例题 4 4】(2020牡丹江)AB 是O 的弦，OMAB，垂足为 M，连接 OA若AOM 中有一 个角是 30，OM23，则弦 AB 的长为 【答案】12 或 4 【解析】分OAM30，AOM30，两种情况分别利用正切的定义求解即可 解：OMAB， AMBM，
16、情况一：若OAM30， 则 tanOAM= OM AM = 23 AM = 3 3 ， AM6， AB2AM12； 情况二：若AOM30， 则 tanAOM= AM OM = AM 23 = 3 3 ， AM2， AB2AM4 【变式练习【变式练习 4 4】(2020贵州黔西南)古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最 美的是圆”请研究如下美丽的圆如图，线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BCOB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D，点 P 是O 上一动点(不与点 A， B 重合)，连接 CD，PE，PC (1)求证：CD 是O 的切线； (2)小明
17、在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值 回答这个确定的值是多少？并对小明 发现的结论加以证明 【答案】(1)见解析；(2) 1 2 ，见解析 【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质(1)连接 OD，DB， 由已知可得 DE 垂直平分 OB，于是 DBDO，而 OBOD，所以 DBDOOB，即ODB 是等 边三角形，于是BDO60，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB 30，从而可得ODC90，所以 ODCD，所以 CD 是O 的切线；(2)连接 OP，由已 知条件得 OPOBBC2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明OEPOPC， 最后由相似三角形
18、的对应边成比例得到结论 解：(1)如答图，连接 OD，DB， 点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D， DE 垂直平分 OB，DBDO DOOB，DBDOOB， ODB 是等边三角形，BDODBO60 BCOBBD，且DBE 为BDC 的外角， BCDBDC 1 2 DBO DBO60，CDB30 ODCBDOBDC603090， ODCD，CD 是O 的切线； (2)这个确定的值是 1 2 证明：如答图，连接 OP， OPOBBC2OE， OE OP OP OC 1 2 ， 又COPPOE，OEPOPC， PE PC OP OC 1 2 四、与圆有关的计算：四、与圆有关的计算
19、： 1.1.弧长及扇形的面积：弧长及扇形的面积： （1）半径为 r，n的圆心角所对的弧长公式： 180 n r l ； （2） 半径为 R， n的圆心角所对的扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR 扇形 (l 是扇形的弧长)； 2.2.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r； 那么这个扇形的半径为圆锥的母线长 l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长圆锥的底面圆周长 2r。 （1）圆锥的侧面积公式： 1 2 2 Slrrl (其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径)； （2）圆锥的全面积公式： S圆锥全侧面积底
20、面圆面积=rlr 2； 3.3.求阴影部分面积的几种常见方法：求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法； （2）割补法； （3）拼凑法； （4）等积变形构造方程法； （5）去重法。 4.4.正方形的面积：正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b，S正方形= 2 2 2 b a 。 【例题【例题 5 5】 (2020重庆 A 卷)如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， 对角线 AC 的中点为 O， 分别以点 A，C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影 部分的面积为 (结果保留) 【答案】4- 【解析】根据勾股定理求出 AC ，得到 OA、OC
21、 的长，根据正方形的面积公式、扇形面积 公式计算，得到答案 解：四边形 ABCD 为正方形，AB=BC=2，DAB=DCB=90， 由勾股定理得， 22 2 2ACABBC，2OAOC， 图中的阴影部分的面积 2 2 90( 2) 224 360 ，故答案为：4- 【变式练习【变式练习 5 5】(2020河南 15/23)如图，在扇形 BOC 中，BOC=60，OD 平分BOC 交 BC于点 D，点 E 为半径 OB 上一动点若 OB=2，则阴影部分周长的最小值为 【答案】 6 2 3 【解析】利用轴对称的性质，得出当点 E 移动到点 E时，阴影部分的周长最小，此时 的最小值为弧 CD 的长与 CD的长度和，分别进行计算即可 解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连接 DC 交 OB 于点 E，连接 ED、OD， 此时 EC+EC 最小，即：EC+EC=CD， 由题意得，COD =DOB =BOD =30， COD=90， 2222 222 2CDOCOD ， CD的长 302 1803 l ， 阴影部分周长的最小值为 6 2 2 2 33 故答案为： 6 2 3
