1、 1 考点 11 二次函数 一、一、二次函数的概念二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数 二、二次函数解析式的三种形式二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0） （2）顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k 为常数，a0），顶点坐标是（h，k） （3）交点式：y=a（xx1）（xx2），其中 x1，x2是二次函数与 x 轴的交点的横坐标，a0 三、二三、二次函数的图象及性质次函数的图象及性质 1二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 解析式 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，
2、c 是常数，a0） 对称轴 x= 2 b a 顶点 （ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） a 的符号 a0 a0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当 x= 2 b a 时， y最小值= 2 4 4 acb a 当 x= 2 b a 时， y最大值= 2 4 4 acb a 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当 x 2 b a 时，y 随 x 的增大而增大 当 x 2 b a 时，y 随 x 的增大而减小 2.二次函数图象的特征与二次函数图象的特征与 a，b，c 的关系的关系 2 字母的符号 图象的特征 a a0 开口向上 a0（a 与 b 同号） 对称轴在 y
3、轴左侧 ab0 与 y 轴正半轴相交 c0 与 x 轴有两个交点 b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点； （2）b24ac=0方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有且只有一个交点； （3）b24ac0方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点 六、二次函数的综合六、二次函数的综合 3 1、函数存在性问题、函数存在性问题 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出 该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中 其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，
4、则该点存 在，否则该点不存在 2、函数动点问题、函数动点问题 （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关 的二次函数综合题 （2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对 应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐 步分析求解，最后汇总成最终答案 （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少， 结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度， 最后结合题干中与 动点有关的条件进行计算 考向一 二次函数的有关概念 1二
5、次函数的一般形式的结构特征：函数的关系式是整式；自变量的最高次数是 2；二次项 系数不等于零 2一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化 典例典例 1 （2019 北京临川学校初三月考）如果 y=（m2）x 2 mm 是关于 x 的二次函数，则 m= A1 B2 C1 或 2 Dm 不存在 【答案】A 【解析】依题意 2 20 mm m ，解得 m=1，故选 A. 【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意 a0. 典例典例 2 （2019 河北初三期中）下列函数是二次函数的是 4 Ay=2x+2 By=2x Cy=x2+2 Dy=x2 【答案】C 【解析】直接
6、根据二次函数的定义判定即可 A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误； B、y=2x，是正比例函数，故此选项错误； C、y=x2+2 是二次函数，故此选项正确； D、y=x2，是一次函数，故此选项错误 故选 C 1（2019 上饶市广信区第七中学初三月考）二次函数 2 23yx（）的图像的顶点坐标是 A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3） 2（2019 湖北初三期中）将一元二次方程 2 316xx 化为一般形式后，常数项为1，二次项系数 和一次项系数分别为 A3，6 B3，6 C3，1 D 2 3x，6x 考向二 二次函数的图象 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫
7、做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称 轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 典例典例 3 函数 y=ax2+bx+a+b（a0）的图象可能是 A B C D 5 【答案】C 【解析】A，由图象可知，开口向下，则 a0，又因为顶点在 y 轴左侧，则 b0，则 a+b0，而图象 与 y 轴交点为（0，a+b）在 y 轴正半轴，与 a+b0 矛盾，故此选项错误； B，由图象可知，开口向下，则 a0，又因为顶点在 y 轴左侧，则 b0，则 a+b0，而图象与 y 轴交 点为（0，1）在 y 轴正半轴，可知 a+b=1 与 a+b0，顶点在 y 轴右侧，则 b0，顶点在 y 轴右侧，则 b0，而 图象
8、与 x 轴的交点为（1，0），则 a+b+a+b=0，显然 a+b=0 与 a+b0 矛盾，故此选项错误故选 C 典例典例 4 如果二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是 Aa0 Bb0 Cac0 Dbc0 【答案】C 【解析】抛物线开口向下，a0，b0，抛 物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，ac0故选 C 3如果 a、b 同号，那么二次函数 y=ax2+bx+1 的大致图象是 A B C D 6 4已知函数 y=ax+b 的大致图象如图所示，那么二次函数 y=ax2+bx+1 的图象可能是 A B C D 5二次函数 y=ax2+bx+c（a0）
9、的图象如图所示，则下列结论正确的是 Aa0 Ca+b+c0 Db24ac3 时，y 随 x 的增大而增大 7 【答案】B 【解析】 2 3(4)2yx， a=30，抛物线开口向上，故A不正确； 对称轴为4x，故B正确； 顶点坐标为（4，2），故C不正确； 当4x时，y随x的增大而增大，故D不正确； 故选 B 【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在 2 ()ya xhk中，顶点坐标为( , )h k，对称轴xha 决定了开口方向. 典例典例 6 （2019 福建厦门外国语学校初三期中）在函数 2 (1)3yx中，当y随x的增大而减小 时，则x的取值范围是 A
10、1x B0 x C3x D1x 【答案】D 【解析】二次函数 2 (1)3yx的对称轴为直线1x ， 0a，1x时，y随x的增大而减小.故选 D. 【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0），当 a0 时，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大；当 a0，即抛物线与 x 轴有两个交点时，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，这两个交点 的横坐标即为一元二次方程的两个根 2当 =0，即抛物线与 x 轴有一个交点（即顶点）时，方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，此 时一元二次方程的
11、根即为抛物线顶点的横坐标 3当 0 时）或在 x 轴的下方（a0 时） 10 典例典例 9 二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表，则方程 ax2+bx+c=0 的 一个解的范围是 x 6.17 6.18 6.19 y 0.03 0.01 0.02 A0.03x0.01 B0.01x0.02 C6.18x6.19 D6.17x6.18 【答案】C 【解析】由表格中的数据看出0.01 和 0.02 更接近于 0，故 x 应取对应的范围为：6.18x0 的解集 是 Ax3 C3x1 Dx1 【答案】C 【解析】二次函数 y=a（x+1）2+2 的对称轴为 x
12、=1，二次函数 y=a（x+1）2+2 与 x 轴的一个交点 是（3，0），二次函数 y=a（x+1）2+2 与 x 轴的另一个交点是（1，0），由图象可知关于 x 的 不等式 a（x+1）2+20 的解集是3x0 的解集是 11 A1x5 Cx1 Dx5 11抛物线 y=2x24x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 2x24x+m=0 的解是 _ 考向六 二次函数的实际应用 在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂 题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建 立数学模型，即列出函数关系
13、式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题 典例典例 11 （2019 湖北初三期中）飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间以（单位：） 的函数解析式是 y=6t 3 2 t2在飞机着陆滑行中，滑行最后的 150m 所用的时间是 s A10 B20 C30 D10 或 30 【答案】A 【解析】当 y 取得最大值时，飞机停下来，则 y=60t1.5t2=1.5（t20）2+600， 此时 t=20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来因此 t 的取值范围是 0t20； 即当 y=600150=450 时，即 60t 3 2 t2=450， 解得：t=10，t=30（不合题
14、意舍去）， 12 滑行最后的 150m 所用的时间是 2010=10， 故选 A 【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程. 典例典例 12 （2019 河南初三期中）如图，一段抛物线：y=x（x4）（0 x4）记为 C1，它与 x 轴 交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180 得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180 得到 C3，交 x 轴 于 A3；如此变换进行下去，若点 P（17，m）在这种连续变换的图象上，则 m 的值为 A2 B2 C3 D3 【答案】D 【解析】y=x（x4）（0 x4）记为 C1，它与 x 轴交于两点
15、O，A1， 点 A1（4，0），OA1=4， OA1=A1A2=A2A3=A3A4，OA1=A1A2=A2A3=A3A4=4， 点 P（17，m）在这种连续变换的图象上，174=41， 点 P（17，m）在 C5上，x=17 和 x=1 时的函数值相等， m=1 （14）=1 （3）=3，故选 D 【名师点睛】 本题考查二次函数的性质及旋转的性质， 得出 x=17 和 x=1 时的函数值相等是解题关键. 12（2019 安徽初三月考）如图所示的是跳水运动员 10m跳台跳水的运动轨迹，运动员从 10m高 A处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高 点M离
16、墙 1m，离水面 40 3 m，则运动员落水点B离墙的距离OB是 13 A2m B3m C4m D5m 13（2020 湖北初三期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单 位：m）之间的关系是 2 125 1233 yxx 求： （1）铅球在行进中的最大高度； （2）该男生将铅球推出的距离是多少 m？ 考向七 存在性问题与动点问题 此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况 分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在 运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化
17、 14 典例典例 13 （2019 山西初三期末）综合与探究：综合与探究： 已知二次函数 2 13 2 22 yxx 的图象与x轴交于,A B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于 点C. （1）求点 A BC， ，的坐标； （2）求证：ABC为直角三角形； （3）如图，动点 EF，同时从点A出发， 其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运 动，点F以每秒姨5个单位长度的速度沿射线AC方向运动当点F停止运动时，点E随之停止运 动设运动时间为t秒，连结EF，将AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到DEF当点 F在AC上时，是否存在某一时刻t，使得DCOBCO？（点D不与点B重合）若存在
18、，求出 t的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）4,01,00,2ABC（）,（）,（）；（2）证明见解析；（3）存在； 3 t 4 【解析】（1）当0y 时， 2 13 20 22 xx 解得： 12 1,4xx 点A的坐标为4,0，点B的坐标为 1,0 当0 x时，2y 点C的坐标为 0,2 24,01,00,2ABC（ ） （）,（）,（）, 412.OAOBOC， 222222 5242 5,ABACCOAOBCCOBO， 22 215 15 222 25ACBCAB ABC为直角三角形 3由 2可知ABC为直角三角形.且90ACB 25 AEtAFt， 5 2 AFAB AEAC
19、 ， 又EAFCAB，AEFACB，90 .AEFACB AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处， 由翻折知，DEAE，24ADAEt， 当DCOBCO时，BOOD， 4 41ODtBO ， 4 41t ，解得：t= 3 4 ， 即：当 t= 3 4 秒时，.DCOBCO 【名师点睛】本题考查二次函数解析式与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和 性质，全等三角形的判定及性质，综合性较强，掌握相关知识并灵活应用是本题的解题关键. 14（2019 贵州初三期中）抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 A （1，0），B（4，0），
20、与 y 轴交于点 C，C 点的坐标为（0，2），连接 BC，以 BC 为边， 点 O 为对称中心作菱形 BDEC点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，交 BD 于点 M. （1）求抛物线的解析式. 16 （2）x 轴上是否存在一点 P，使三角形 PBC 为等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由. （3）当点 P 在线段 OB 上运动时，试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形？请说明 理由. 1（2020 湖北初三期中）抛物线2( 2)(6)yxx 的对称轴是 A3x B3x C2x
21、D2x 2（2020 湖北初三期中）将抛物线 2 2yx向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所 得抛物线为 17 A 2 2(4)1yx B 2 2(4)1yx C 2 2(4)1yx D 2 2(4)1yx 3（2020 荆门市屈家岭管理区第一初级中学初三期中）若 b0，则二次函数 y=x2+2bx1 的图象的 顶点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4（2019 山西初三期末）如图是二次函数 2 23yxx 的图象，使 0y 成立的x的取值范围 是 A31x B1x C31xx 或 D31xx或 5 （2020 荆门市屈家岭管理区第一初级中学初三期中）直线
22、 y=ax+b 和抛物线 y=ax2+bx+c 在同一坐 标系中的图象可能是 A B C D 6（2020 荆门市屈家岭管理区第一初级中学初三期中）若函数 y=mx2+2x+1 的图像与 x 轴只有一个 公共点，则常数 m 的值为 Am=1 Bm=1 或 m=2 Cm=0 Dm=1 或 m=0 7（2019 安徽初三期末）如图，边长为2的正ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直 线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位， 运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记ABC夹在a和b 18 间的部分的面积为S，则S关于t
23、的函数图象大致为 A B C D 8（2019 新疆初三期末）如图，已知抛物线 y1x2+1，直线 y2x+1，当 x 任取一值时，x 对 应的函数值分别为 y1，y2若 y1y2，取 y1，y2中的较小值记为 M；若 y1y2，记 My1y2例 如：当 x2 时，y13，y21，y1y2，此时 M3下列判断中：当 x0 时， M 随 x 的增大而增大； 使得 M 大于 1 的 x 值不存在； 使得 M 1 2 的值是 2 2 或 1 2 ，其中正确的个数有 A1 B2 C3 D4 9抛物线 y=（x2）（x+3）与 y 轴的交点坐标是_ 10若 A（3.5，y1）、B（1，y2）、C（1，y
24、3）为二次函数 y=x24x+5 的图象上三点，则 y1，y2， y3的大小关系是_（用连接） 19 11二次函数 y=x（x6）的图象的对称轴是_ 12已知一个二次函数的图象经过 A（1，6）、B（3，6）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解 析式，并指出它的开口方向 13为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如图）设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m2 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （2）当 x 为何值时，满足条件
25、的绿化带的面积最大？ 14已知二次函数 y= 1 2 x2x+ 7 2 （1）用配方法把这个二次函数的解析式化为 y=a（x+m）2+k 的形式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； 20 （3） 将二次函数 y= 1 2 x2的图象如何平移能得到二次函数 y= 1 2 x2x+ 7 2 的图象， 请写出平移方 法 15如图，抛物线 2 0yaxbxc a的顶点坐标为21， ，并且与y轴交于点03，C，与x 轴交于A、B两点 （1）求抛物线的表达式 （2） 如图 1， 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D， 点E为直线BC上一动点， 过点E作y轴 的平行线EF， 与抛物线交
26、于点F， 问是否存在点E， 使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO 相似若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 21 16如图，二次函数 2 2yaxbx的图象与x轴交于点 A( 1 0) ，、B(4 0)，与y轴交于点 C （1）a_；b_； （2）点 P 为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点 P 作PQBC于点 Q，连接 PC， 求线段 PQ 的最大值； 若以 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标 1（2019重庆）抛物线 2 362yxx 的对称轴是 A直线2x B直线2x C直线1x D直线1x 2（2019荆门）抛物线 2 44yxx 与坐标轴的交点个
27、数为 A0 B1 22 C2 D3 3（2019咸宁）已知点1,1,2,0AmBm Cmnn在同一个函数的图象上，这个函数 可能是 Ay x B 2 y x C 2 yx D 2 yx 4（2019 青岛）已知反比例函数 y= ab x 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2-2x 和一次函数 y=bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A B C D 5（2019哈尔滨）将抛物线 2 2yx向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的 抛物线为 A 2 2(2)3yx B 2 2(2)3yx C 2 2(2)3yx D 2 2(2)3yx 6（2019成都）如图，二次
28、函数 2 yaxbxc的图象经过点()1,0A，5,0B，下列说法正确 的是 23 A0c B 2 40bac C0abc D图象的对称轴是直线3x 7（2019雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数 2 2()1yx，下列说法中错误的是 Ay的最小值为 1 B图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线2x C当2x时，y的值随x值的增大而增大，当 2x时，y的值随x值的增大而减小 D它的图象可以由 2 yx=的图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到 8（2019岳阳）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动 点.如果二次函数
29、 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x11x2，则 c 的取值范围是 Ac-3 Bc-2 Cc 1 4 Dc1 9（2019泸州）已知二次函数( 1)(1)37yxaxaa（其中x是自变量）的图象与x轴 没有公共点，且当1x时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 A2a B1a C12a D12a 10（2019随州）如图所示，已知二次函数 2 yaxbxc的图象与x轴交于 ,A B两点，与y轴 交于点C，OAOC，对称轴为直线1x ，则下列结论：0abc； 11 0 24 abc； 10ac b ；2c是关于x的一元二次方程 2 0axbxc的一个根其中正确的有
30、24 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11（2019南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s（单位：m）与时间 t（单位：min）的函数图 象，其中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是 A25 min50 min，王阿姨步行的路程为 800 m B线段 CD 的函数解析式为32400 2550stt （） C5 min20 min，王阿姨步行速度由慢到快 D曲线段 AB 的函数解析式为 2 3(20)1200(520)stt 12（2019嘉兴）小飞研究二次函数 y=（xm）2m+1（m 为常数）性质时如下结论：这个函数 图象的顶点始终在直线 y=x+1 上；
31、 存在一个 m 的值， 使得函数图象的顶点与x轴的两个交点 构成等腰直角三角形；点 A（x1，y1）与点 B（x2，y2）在函数图象上，若 x12m， 则 y1y2；当1x0），物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最 大利润是 1400 元，求 m 的值 1【答案】A 【解析】 2 23yx（），二次函数 2 23yx（）的图象的顶点坐标是（2，3），故选 A. 【名师点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其顶点式一般形式的特点. 2【答案】A 【解析】一元二次方程 3x2+1=6x 化为一般形式是 3x2
32、6x+1=0，各项的系数分别是：3，6故选 A 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项 时符号的变化 3【答案】D 变式拓展变式拓展 31 【解析】 当 a0， b0 时， 抛物线开口向上， 对称轴 x= 2 b a 0， 在 y 轴左边， 与 y 轴正半轴相交， 无选项符合；当 a0，b0 时，抛物线开口向下，对称轴 x= 2 b a 0，b0， 故 A 错误； 由图象知， 与 y 轴的交点在负半轴， c0，故 C 正确；抛物线与 x 轴有两个交点，= b24ac 0，故 D 错误故选 C 6【答案】C 【解析】 （1）反比例函数 1 1 3 =
33、 3 m y mxx ，当 m0 时，图象在第一、三象限，在每个象限内y随 x的增大而减小，当 m0，y1y3y2；故选 A 【名师点睛】此题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键 8【答案】B 32 【解析】抛物线 C：y=x2+2x3=（x+1）24，抛物线对称轴为直线 x=1抛物线与 y 轴的 交点为 A （0， 3） 则与 A 点关于直线 x=1 对称的点是 B （2， 3） 若将抛物线 C 平移到 C， 并且 C，C关于直线 x=1 对称，就是要将 B 点平移后以对称轴 x=1 与 A 点对称，则 B 点平移后 坐标应为（4，3）因此将抛物线 C 向右平移
34、4 个单位长度故选 B 9【答案】B 【解析】把抛物线 y=12x21 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的 解析式为 y=12（x1）23，故选 B 10【答案】A 【解析】由图可知，对称轴为直线 x=2，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（5，0），抛物 线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0），又抛物线开口向下，不等式 ax2+bx+c0 的解集 是1x5故选 A 11【答案】x1=1，x2=3 【解析】观察图象可知，抛物线 y=2x24x+m 与 x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为 x=1， 抛物线与 x 轴的另一交点坐标为 （3， 0） ， 一元二次方程
35、2x24x+m=0 的解为 x1=1， x2=3 故 答案为：x1=1，x2=3 12【答案】B 【解析】由题意，设抛物线解析式为 240 1 3 ya x，代入 A（0，10）得， 10= 240 0 1 3 a，解得 10 = 3 a，所以抛物线解析式为 21040 1 33 yx， 当 y=0 时， 21040 1=0 33 x，解得 1= 1 x， 2=3 x. 因为 B 点在 x 轴正半轴，故 B 点坐标为（3，0）， 所以 OB=3，选 B. 【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题， 根据题意设出合适的解析式是解题的关键. 13【答案】（1
36、）铅球在行进中的最大高度为3m；（2）该男生把铅球推出的水平距离是10m 【解析】（1） 22 1251 (4)3 123312 yxxx ， 1 0 12 ， y 的最大值为 3， 铅球在行进中的最大高度为3m 33 （2）令0y 得： 2 125 0 1233 xx 解方程得， 1 10 x ， 2 2x （负值舍去） 该男生把铅球推出的水平距离是10m 【名师点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，二次函数与一元二次方程的关系 14【答案】（1）y= 1 2 x2 3 2 x2；（2）存在，点 P 的坐标为：（ 3 2 ，0）或（4+2 5，0）或（4 2 5，0）或（4，0）；（3
37、）m=1.理由见解析 【解析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx2， 抛物线与 x 轴交于 A（1，0），B（4，0）两点， 故抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x4）=a（x23x4）， 即4a=2，解得：a= 1 2 ， 抛物线的解析式为：y= 1 2 x2 3 2 x2； （2）设点 P 的坐标为（m，0）， 则 PB2=（m4）2，PC2=m2+4，BC2=20， 当 PB=PC 时，（m4）2=m2+4，解得：m= 3 2 ； 当 PB=BC 时，（m4）2=20：m=4 25； 当 PC=BC 时，m2+4=20：m= 4（当 m=4 时，P、B 重合，故舍去 4
38、）， 故点 P 的坐标为：（ 3 2 ，0）或（4+2 5，0）或（425，0）或（4，0）； （3）C（0，2） 由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为（0，2）， 设直线 BD 的解析式为 y=kx+2，又 B（4，0） 解得 k=1， 直线 BD 的解析式为 y=x+2； 则点 M 的坐标为（m，m+2），点 Q 的坐标为（m， 1 2 m2 3 2 m2）， 如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形 34 （m+2）（ 1 2 m2 3 2 m2）=2（2）， 解得 m1=0（不合题意舍去），m2=1， 当 m=1 时，四边形 CQMD 是平行四边形. 【名师点睛】此题考
39、查的是二次函数的综合大题，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、平 面直角坐标系上任意两点之间的距离公式、根据等腰三角形的腰的情况分类讨论、菱形的性质 和平行四边形的判定是解决此题的关键. 1【答案】D 【解析】抛物线 y=2（x2） （x+6）=2（x2+4x12）=2（x+2）232，因此抛物线对称轴为直线 x= 2故选 D 【名师点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，化为顶点式是解题的关键 2【答案】D 【解析】将抛物线 2 2yx向右平移 4 个单位长度，解析式为 2 2(4)yx， 再向下平移 1 个单位长度，解析式为 2 2(4)1yx. 故选 D. 【名师点睛】本题考查的是二次函数
40、图像的平移问题，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答 此题的关键 3【答案】D 【解析】二次函数 y=x2+2bx1 的图象的顶点为 2 24 1 ( 1)(2 ) (,) 2 14 1 bb ， 即 2 44 (,) 4 b b ，b0，二次函数的图象应开口向上，故 A 错误； B、由一次函数的图象，得 a0，b0，二次函数的图象的对称轴应在 y 轴的左侧，故 B 错误； C、由一次函数的图象，得 a0，b0，二次函数的图象的对称轴应在 y 轴的左侧，故 C 正确； D、由一次函数的图象，得 a0，b0，二次函数的图象的对称轴应在 y 轴的右侧，故 D 错误； 故选 C 【名师点睛】本题考
41、查了二次函数图象，应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限， 以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 6【答案】D 【解析】当 m=0 时，则函数 y=2x+1，是一次函数，与 x 轴只有一个交点； 当 m0 时，则函数 y=mx2+2x+1，是二次函数 根据题意得：=44m=0， 解得：m=1m=1 或 m=0，故选 D 【名师点睛】此题考查了一次函数的性质与抛物线与 x 轴的交点，抛物线与 x 轴的交点个数由根 的判别式的值来确定本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本 题的容易失分之处 7【答案】B 【解析】如图，当 0t1 时
42、，BEt，DE3t， 36 sSBDE 1 2 t 3t 3 2 t2； 如图，当 1t2 时，CE2t，BGt1， DE 3（2t），FG3（t1）， sS五边形AFGEDSABCSBGFSCDE 1 2 2 3 1 2 （t1） 3（t1） 1 2 （2t） 3（2t） 3t 23 3t 3 3 2 ； 如图，当 2t3 时，CG3t，GF3（3t）， sSCFG 1 2 （3t） 3（3t） 3 2 t23 3t 9 3 2 ， 综上所述，当 0t1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当 1t2 时，函数图象为开口 向下的抛物线的一部分；当 2t3 时，函数图象为开口向上的抛物线的
43、一部分， 故选 B 37 【名师点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取 信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力 8【答案】C 【解析】由题意得 2 1 2 1 1 yx yx ， 解得 12 12 01 ; 10 xx yy ， 所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0）， 当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1，y2若 y1y2，取 y1，y2中的较小值记为 M；若 y1 y2，记 My1y2 当 x0 时，由图象可得 y1x0 时， y1y2， My2， 直线 y2x+1 中 y 随 x 的增大而
44、减小， 故 M 随 x 的增大而减小， 此选项错误； 由图象可得出：M 最大值为 1，故使得 M 大于 1 的 x 值不存在，故此选项正确； 当1x0，M 1 2 时，即 y1x2+1 1 2 ， 解得：x1 2 2 ，x2 2 2 （不合题意舍去）， 当 0xy1y3 【解析】 对称轴为直线 x= 2 b a = 4 2 ( 1) =2， a=10， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，2（3.5）=2+3.5=1.5，1（2）=1+2=1， 1（2）=1+2=3，y2y1y3故答案为：y2y1y3 11【答案】x=3 【解析】y=x（x6）=x26x=（x3）29，抛物线的对称轴为直线
45、 x=3故答案为：x=3 12【解析】设所求二次函数的解析式 y=ax2+bx+c（a0）， 根据题意，得： 6 936 3 abc abc c ，解得 1 2 3 a b c ， 所求二次函数的解析式为：y=x2+2x+3， a0，开口向上 13【解析】（1）四边形 ABCD 为矩形，BC=x m， AB= 40 2 x 根据题意得：y=ABBC=x 40 2 x = 1 2 x2+20 x（00，即 a、b 同号， 当 a0 时，抛物线 y=ax22x 的对称轴 x= 1 a 0 时，b0，直线 y=bx+a 经过第一、二、三象限，故 B 错误； 43 C 正确 故选 C 【名师点睛】本题
46、主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与 系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想 5【答案】B 【解析】将抛物线 2 2yx向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的 解析式为 2 223yx， 故选 B 【名师点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键 6【答案】D 【解析】由图象可知图象与 y 轴交点位于 y 轴正半轴，故 c0，A 选项错误； 函数图象与 x 轴有两个交点，所以 2 4bac 0，B 选项错误； 观察图象可知 x=-1 时 y=a-b+c0，所以 a-b+c0，C 选项错误； 根据图象与 x 轴交点可知，对称轴是（1，0），（5，0）两点的中垂线， 1 5 3 2 x ， 即 x=3 为函数对称轴，D 选项正确， 故选 D 【名师点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的图象 7【答案】C 【解析】二次函数 2 2()1yx，10a ， 该函数的图象开口向上， 对称轴为直线2x， 顶点为(2,1)， 当2x时，y有最小值 1， 当2x 时，y的值随x值的增大而增大，当2x时，y的值随x值的增大而减小； 故选项 A、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律， 2 yx=的图象向右平移 2 个单位
