1、 1 第第 1 讲讲 实数及其运算实数及其运算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 科学记数法及近似数】科学记数法及近似数】 （1）把一个大于 10 的数记成 a 10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数 法叫做科学记数法 （2） 近似数与准确数的接近程度通常用精确度表示； 近似数一般由四舍五入取得， 四舍五入到哪一位， 就说这个近似数精确到哪一位 【考点【考点 2 相反数的意义】相反数的意义】 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。a 与 b 互为相反数ab0 【考点【考点 3 绝对值的意义绝对值的意义 】 数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对
2、值 |a| a （a0）， a （a0），即正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数。 【考点【考点 4 数轴数轴 】 数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度；数轴上的点和实数是一一对应的 【考点【考点 5 实数及其有关概念】实数及其有关概念】 实数 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 有限小数和 无限循环 小数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环 小数 【考点【考点 6 无理数】无理数】 无限不循环小数叫无理数 【考点【考点 7 实数的实数的大小比较大小比较】 在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；两个负数比较，绝对
3、值大的反而 小 【考点【考点 8 实数的运算】实数的运算】 混合运算的顺序：有括号的先算括号内的，无括号则先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减，同级运算 则按从左到右顺序依次计算 2 二、考点分析二、考点分析 【考点【考点 1 科学记数法及近似数】科学记数法及近似数】 【解题技巧】【解题技巧】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定 a 和 n 的值 (1)a 值的确定：1|a|10； (2)n 值的确定： 当原数大于或等于 10 时，n 等于原数的整数位数减 1； 当原数大于 0 且小于 1 时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小 数点前的
4、零)； 有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示常用的计数单位 有：1 亿108，1 万104，计量单位有：1 mm10 3 m，1 nm109 m 等 【例 1】 （2019 北京中考）4 月 24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地 球卫星“东方红一号”成功发射， 标志着中国从此进入了太空时代， 它的运行轨道， 距地球最近点 439000 米， 将 439000 用科学记数法表示应为（ ） A0.439 106 B4.39 106 C4.39 105 D439 103 【举一反三1-1】（2019 福建中考） 北京故
5、宫的占地面积约为720000m2， 将720000用科学记数法表示为 （ ） A72 104 B7.2 105 C7.2 106 D0.72 106 【举一反三 1-2】 （2019 广东中考）某网店 2019 年母亲节这天的营业额为 221000 元，将数 221000 用科学 记数法表示为（ ） A2.21 106 B2.21 105 C221 103 D0.221 106 【举一反三 1-3】（2019 海南中考） 海口市首条越江隧道文明东越江通道项目将于 2020 年 4 月份完工， 该项目总投资 3710000000 元数据 3710000000 用科学记数法表示为（ ） A371
6、107 B37.1 108 C3.71 108 D3.71 109 【例 2】 （2019 青海中考）世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有 0.000000006 米的晶体管，该数用科学记数法表示为 米 【举一反三 2-1】 （ 2019 河南中考）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科 学记数法表示为（ ） A46 10 7 B4.6 10 7 C4.6 10 6 D0.46 10 5 【举一反三 2-2】 （2018盘锦）某微生物的直径为 0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（ ） A5.03
7、5 10 6 B50.35 10 5 C5.035 106 D5.035 10 5 【举一反三 2-3】(2017 徐州中考)肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.000 000 71 m，数字 0.000 000 71 用科学记数法 3 表示为( ) A7.1 107 B0.71 10 6 C7.1 10 7 D71 108 【考点【考点 2 相反数的意义】相反数的意义】 【解题技巧】【解题技巧】求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如 a 的相反数是a，m+n 的相反数 是（m+n） ，这时 m+n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号 【例 3】 （2019 山东烟台模拟）（2）
8、0的相反数等于（ ） A.1 B.1 C.2 D.2 【答案】B 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 济南中考）7 的相反数是（ ） A7 B C7 D1 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 辽宁沈阳中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A2 和2 B2 和1 2 C2 和 1 2 D 1 2和 2 【考点【考点 3 绝对值的意义绝对值的意义 】 【解题技巧】【解题技巧】 （1）互为相反数的两个数绝对值相等； （2）绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数 （3）有理数的绝对值都是非负数 （4）如果用字母 a 表示有理数， 则数 a
9、绝对值要由字母 a 本身的取值来确定： 【例 4】 （2019 河南中考）的绝对值是（ ） A B C2 D2 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 辽宁大连中考）2 的绝对值是（ ） A2 B C D2 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 河北石家庄中考模拟） （1）阅读下面材料： 点 A、B 在数轴上分别表示实数 a，b，A、B 两点这间的距离表示为|AB|，当 A、B 两点中有一点在原点时， 不妨设点 A 在原点，如图 1，|AB|OB|b|ab|；当 A、B 两点都不在原点时， 如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|； 如图 3，点 A、
10、B 都在原点的左边|AB|OB|OA|b|a|b（a）|ab|； 如图 4，点 A、B 在原点的两边|AB|OA|+|OB|a|+|b|a+（b）|ab| 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|ab| （2）回答下列问题： 4 数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 ，数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是 ，数轴上 表示 1 和3 的两点之间的距离是 ； 数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|2，那么 x 为 ； 请你找出所有符合条件的整数 x，使得|x+3|+|x1|4，这样的整数是 由以上探索猜想对于任何有理数 x，|x3|+|x6|是否有最小值？
11、如果有，求出最小值和相应的 x 的值；如 果没有，说明理由 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 河北石家庄中考模拟） 图(一)数在线的 O 是原点， A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、c。根据图中各点的位置， 下列各数的絶对值的比较何者正确？ A |b|c| B |b|c| C|a|b| D|a|c| 【考点【考点 4 数轴数轴 】 【解题技巧】【解题技巧】实数与数轴上的点是一一对应关系任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上 的任意一个点都表示一个实数数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数在数轴上，表示相 反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数
12、 a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点 与原点的距离 【例 5】 （2019 北京中考）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个 单位长度，得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（ ） A3 B2 C1 D1 【举一反三举一反三 5-1】 （2019 吉林中考）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ） 5 A3 B2 C1 D1 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 江苏中考）实数 a、b、c 满足 ab 且 acbc，它们在数轴上的对应点的位置可以 是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 山东济南中考）实数
13、 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立 的是（ ） Aa5b5 B6a6b Cab Dab0 【举一反三举一反三 5-4】（2019 山东济南中考模拟） 有理数可以在数轴上表示出来， 实数与数轴上的点成一一对应， A 点表示的数是，利用同样方法，在数轴上表示出来 【举一反三举一反三 5-5】 （2019 河北邯郸中考模拟）如图，OB 是边长为 1 的正方形的对角线，且 OAOB，数轴上 A 点对应的数是： （2）请仿照（1）的做法，在数轴上描出表示的点 【考点【考点 5 实数及其有关概念】实数及其有关概念】 【解题技巧】【解题技巧】实数： 或 实数： 【例 6】 （2019
14、 海南中考）如果收入 100 元记作+100 元，那么支出 100 元记作（ ） A100 元 B+100 元 C200 元 D+200 元 6 【举一反三举一反三 6-1】 （2019 云南中考）若零上 8记作+8，则零下 6记作 【举一反三举一反三 6-2】 （2019日照）在实数，中有理数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【举一反三举一反三 6-3】 （2019 山东青岛中考模拟）阅读理解 “124，12，的整数部分是 1， 将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 即：的小数部分为（1）” “类似的：23，的小数部分就是（2）” 解决问题： 已知 5+的小数部分为 a，5
15、的小数部分为 b，求 a+b 【举一反三举一反三 6-4】 （2019山东日照中考模拟）把下列各数填入相应的集合里 4.2，50%，0，|，2.1 ，3.1010010001，42，（） 正数集合： ； 分数集合： ； 负有理数集合： ； 无理数集合： 【考点【考点 6 无理数】无理数】 【解题技巧】【解题技巧】 无理数有如下几种常见类型： 根号型， 如 5， 8等开方开不尽的数； 构造型， 如 0.101 001 000 1； 及含 的数，如 ，4 等另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小. 【例 7】 （2019 陕西中考）已知实数，0.16，其中为无理数的是 【举一反三举一反三 7-1
16、】 （2019南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴， 原点为 O，在数轴上找到表示数 2 的点 A，然后过点 A 作 ABOA，使 AB3（如图） 以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点 P，则点 P 所表示的数介于（ ） A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D4 和 5 之间 【举一反三 7-2】(2019 山东烟台中考模拟)下列实数中的无理数是( ) 7 A. 9 B C0 D.1 3 【举一反三 7-3】 （2018 江苏常州中考）已知 a 为整数，且，则 a 等于（ ） A1 B2 C3 D4 【举一反三 7-4】
17、 （2018 江苏常州中考模拟） （2019成都）估算： （结果精确到 1） 【举一反三 7-5】 （2019 辽宁葫芦岛中考模拟）先填写表，通过观察后再回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 x ，y ； （2）从表格中探究 a 与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知3.16，则 ； 已知8.973，若897.3，用含 m 的代数式表示 b，则 b ； （3）试比较与 a 的大小 【考点【考点 7 实数的实数的大小比较大小比较】 【解题技巧】【解题技巧】实数大小比较的三种方法： 1法则比较：正数都大于 0，负数
18、都小于 0，正数大于一切负数两个负数比较大小，绝对值大的反而小 2数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数 3作差比较： 若 ab0，则 ab； 若 ab0，则 ab； 若 ab0，则 ab 【例 8】(2019 安徽中考)在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ） A2 B1 C0 D1 【举一反三举一反三 8-1】(2019 甘肃中考)在 0，2，3，这四个数中，最小的数是（ ） A0 B2 C3 D 【举一反三举一反三 8-2】(2019 湖北黄石中考)下列四个数：3，0.5，中，绝对值最大的数是（ ） A3 B0.5 C D 【举一反三 8-3】(2019 吉林中考)
19、若 a 为实数，则下列各式的运算结果比 a 小的是（ ） 8 Aa+1 Ba1 Ca 1 Da 1 【举一反三 8-4】(2019 吉林长春模拟)请将下列各数在数轴上表示出来：， （1） 2，|1.5|， ，0， 并用“”号把它们连接起来 【考点【考点 8 实数的运算】实数的运算】 【解题技巧】【解题技巧】 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、 乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方 （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加 减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序
20、进行 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 【例 9】(2019 江西中考)计算：（1）+|2|+（2）0； 【举一反三举一反三 9-1】(2019 福建中考)计算 22+（1）0的结果是（ ） A5 B4 C3 D2 【举一反三举一反三 9-2】(2019 湖北孝感中考)计算19+20 等于（ ） A39 B1 C1 D39 【举一反三举一反三 9-3】(2019 山西中考)计算：+（） 23tan60 +（ ）0 【举一反三举一反三 9-4】 （2019青海）根据如图所示的程序，计算 y 的值，若输入 x 的值是 1 时，则输出的 y 值等 于 【举一反三举一反三 9-5】 （2019
21、深圳）计算：2cos60 +（） 1+（3.14）0 三、 【达标测试达标测试】 （一）选择题 1.（ 2019 湖北黄石中考）国际行星命名委员会将紫金山天文台于 2007 年 9 月 11 日发现的编号为 171448 的小行星命名为“谷超豪星”，则 171448 用科学记数法可表示为（ ） A0.171448 106 B1.71448 105 C0.171448 105 D1.71448 106 9 2.（ 2019 江苏省南京中考）2018 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000 亿美元用 科学记数法表示 13000 是（ ） A1.3 104 B0.13 105
22、 C13 103 D130 102 3.（ 2018 湖南省邵阳中考）据经济日报2018 年 5 月 21 日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最 高已达到 7nm（1nm109m） ，主流生产线的技术水平为 1428nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高 为 28nm将 28nm 用科学记数法可表示为（ ） A28 109 m B2.8 108 m C28 109 m D2.8 108 m 4. （ 2018 山东省青岛中考） 斑叶兰被列为国家二级保护植物， 它的一粒种子重约 0.0000005 克 将 0.0000005 用科学记数法表示为（ ） A5 107 B0.5 10 6 C5
23、10 7 D5 10 6 5.（2019兰州中考）2019 的相反数是（ ） A B2019 C2019 D 6.（2019青岛）的相反数是（ ） A B C D 7.（2019 四川成都中考）若 m+1 与2 互为相反数，则 m 的值为 8.（2019广州）|6|（ ） A6 B6 C D 9.（2019台湾中考）数线上有 O、A、B、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示若数线上有一点 D，D 点所表示的数为 d，且|d5|dc|，则关于 D 点的位置，下列叙述何者正确？（ ） A在 A 的左边 B介于 A、C 之间 C介于 C、O 之间 D介于 O、B 之间 10(2016 河北中考
24、)点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和 b.对于以下结论：甲：b a0；丙：|a|0.其中正确的是( ) A甲、乙 B丙、丁 C甲、丙 D乙、丁 10 11.（2018贵阳中考）如图，数轴上有三个点 A、B、C，若点 A、B 表示的数互为相反数，则图中点 C 对应 的数是（ ） A2 B0 C1 D4 12.（2018 湖南常德中考）已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） Aab B|a|b| Cab0 Dab 13.（2019广西）如果温度上升 2记作+2，那么温度下降 3记作（ ） A+2 B2 C+3 D3 14.（2016 河北中考）
25、关于 12的叙述，错误的是( ) A. 12是有理数 B面积为 12 的正方形边长是 12 C. 122 3 D在数轴上可以找到表示 12的点 15.(2019 河北保定模拟)下列各数中，3.141 59，38，0.131 131 113， ， 25，1 7，无理数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 16.（2018辽宁沈阳中考）下列各数中是有理数的是（ ） A B0 C2 D5 3 17.(2019 浙江杭州中考)计算下列各式，值最小的是（ ） A2 0+19 B2+0 19 C2+01 9 D2+0+19 二、填空题 1.（2018海南）比较实数的大小：3 （填“”、“”或“
26、=”） 2.(2017 河北中考)对于实数 p，q，我们用符号 minp，q表示 p，q 两数中较小的数，如 min1，21，因 此 min 2， 3 3；若 min(x1)2，x21，则 x （三）解答题 1.(2019 云南中考)计算：32+（x5）0+（1） 1 2.（2019济南）计算： （） 1+（+1）02cos60 + 3.（2019山东济南模拟）计算： （1） 11 （2）142 （3）2+ 4.（2019山东烟台模拟）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：1.414，它是个无限 不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是 1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手
27、回答：它 的小数部分我们无法全部写出来，但可以用1 来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了 他的说法现请你根据小明的说法解答：已知 8+x+y，其中 x 是一个整数，0y1，求 2x+（y） 2019 的值 5.（2019河北唐山模拟）我们常用的数是十进制数，如 46574 103+6 102+5 101+7 100，数要用 10 个数 码（又叫数字） ：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0 和 1， 如二进制中 1101 22+1 21+0 20等于十进制的数 6，1101011 25+1 24+0 23+1 22+0 21+1 20等于十进 制的数 53那么二进制中的数 101011 等于十进制中的哪个数？
