1、 1 第第 23 讲讲 三角函数及解直角三角形三角函数及解直角三角形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 锐角三角函数】锐角三角函数】 1.锐角三角函数的概念 在 RtABC 中，C90 ，ABc，BCa， ACb，则A 的 正弦 sinAA的对边 斜边 a c 余弦 cosAA的邻边 斜边 b c 正切 tanAA的对边 A的邻边 a b 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30 45 60 sin 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tan 3 3 1 3 【考点【考点 2 解直角三角形解直角三角形方位角问题】方位角问题】 解直角三角形 解直角三角形常用的
2、关系： 在 RtABC 中，C90 ，则 三边关系 a2b2c2 两锐角关系 AB90 边角关系 sinAcosBa c cosAsinBb c 2 tanAa b 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角，叫做方位角，如图，A 点位于 O 点 的北偏东 30 方向，B 点位于 O 点的南偏东 60 方向，C 点位于 O 点的北偏西 45 方向(或西北方向) 【考点【考点 3 解直角三角形解直角三角形 仰角、俯角问题】仰角、俯角问题】 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯 角 【考点【考点 4 解直角三角形解直角三角
3、形坡度问题】坡度问题】 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫坡度(坡比)，用字母 i 表示；坡面与水平线的夹角 叫坡角itanh l. 【考点【考点 5 解直角三角形与其它几何图形的关系】解直角三角形与其它几何图形的关系】 主要是掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有 一个重要原则是“构造相似三角形”，要在直角三角形的基础上。 二、考点分析 【考点【考点 1 锐角三角函数】锐角三角函数】 【解题技巧】1.解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是 牢记特殊角的三角函数值及边角关系 2
4、.规律记忆法：30 、45 、60 角的正弦值的分母都是 2，分子依次为、；30 、45 、60 角的 余弦值恰好是 60 、45 、30 角的正弦值. 3.应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐 增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记 4.特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形 中应用较多 【例 1】 （2019 天津中考）2sin60 的值等于（ ） A1 B C D2 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 浙江杭州中考） 在直角三角形 ABC 中， 若 2ABAC， 则
5、 cosC 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 河北中考）在ABC 中，C90 ，tanA，则 cosB 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中 小学楼梯宽度的范围是 260mm300mm 含（300mm） ，高度的范围是 120mm150mm（含 150mm） 如图是 某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD 分别垂直平分踏步 EF，GH，各踏步互相平行， 123 3 ABCD， AC900mm， ACD65 ， 试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定 （结果精确到 1mm， 参考数据：sin6
6、50.906，cos650.423） 【考点【考点 2 解直角三角形解直角三角形方位角问题】方位角问题】 【解题技巧】1.解直角三角形的方法： (1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三 角形中的边角替代所要求的元素； (2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角 形中的边角计算问题 2.（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数 （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在 直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相
7、等或一个角的余角等知识转化为所需要的角 （3）方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90 的角 （4）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角 时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西 （注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北， 西南 ） （5）画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线 【例 2】 （2019济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东 37 方向，继续 向北走 105m 后到达游船码头 B，测得历下亭 C 在游船码头 B 的北编东 53 方向请
8、计算一下南门 A 与历下 亭 C 之间的距离约为（ ） （参考数据：tan37，tan53） A225m B275m C300m D315m 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 辽宁大连中考）如图，ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D，使 CDAC，连接 4 AD若 AB2，则 AD 的长为 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 湖北黄石中考）如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西 30 方向，该轮船沿正 南方向以 15 海里/小时的速度匀速航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60 方向，若该轮船继 续向南航行至灯塔 P 最近的位置 T 处， 此时
9、轮船与灯塔之间的距离 PT 为 海里 （结果保留根 号） 【举一反三举一反三 2-3】 （2019呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要 绕行丙地已知丙地位于甲地北偏西 30 方向，距离甲地 460km，丙地位于乙地北偏东 66 方向，现要打通 穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 A、B、C，可抽象成图（2）所 示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 【考点【考点 3 解直角三角形解直角三角形仰角、俯角问题】仰角、俯角问题】 【解题技巧】利用仰角、俯角可以测量底部不能到达的建
10、筑物的高度。先构成直角三角形，利用锐角三角 函数或边角关系或相似三角形的对应边成比例来解决此类问题。 【例 3】 （2019 辽宁大连中考）如图，建筑物 C 上有一杆 AB从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的 仰角为 53 ， 观测旗杆底部B 的仰角为 45 ， 则旗杆AB的高度约为 m （结果取整数， 参考数据： sin530.80， cos530.60，tan531.33） 5 【举一反三举一反三 3-1】（2019 湖北孝感中考） 如图， 在 P 处利用测角仪测得某建筑物 AB 的顶端 B 点的仰角为 60 ， 点 C 的仰角为 45 ，点 P 到建筑物的距离为 PD
11、20 米，则 BC 米 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 广东中考）如图，某校教学楼 AC 与实验楼 BD 的水平间距 CD15米，在实验 楼顶部 B 点测得教学楼顶部 A 点的仰角是 30 ，底部 C 点的俯角是 45 ，则教学楼 AC 的高度是 米（结果保留根号） 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 江苏徐州中考）如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 处的仰角为 45 ，测得 该建筑底部 C 处的俯角为 17 若无人机的飞行高度 AD 为 62m，则该建筑的高度 BC 为 m （参考数据：sin170.29，cos170.96，tan170.31） 6 【举一反三举一
12、反三 3-4】 （2019 河南中考） 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像 （塑像中高者） 的高度 如 图所示， 炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上， 在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34 ， 再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60 ，求炎帝塑像 DE 的高度 （精确到 1m参考数据：sin340.56，cos34 0.83，tan340.67，1.73） 【考点【考点 4 解直角三角形解直角三角形坡度问题】坡度问题】 【解题技巧】 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是 一锐角的正切值，水
13、平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题 应用领域：测量领域；航空领域 航海领域：工程领域等 【例 4】 （2019 浙江杭州中考）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C，D，O 在 同一平面内） ，已知 ABa，ADb，BCOx，则点 A 到 OC 的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 【举一反三举一反三 4-1】 （2019威海）如图，一个人从山脚下的 A 点出发，沿山坡小路 AB 走到山顶 B 点已知坡 角为 20 ，山高 BC2 千米用科学计算器计算小路 AB 的
14、长度，下列按键顺序正确的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 4-2】 （2019长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3 米若梯子与 7 地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离 C 为（ ） A3sin 米 B3cos 米 C米 D米 【举一反三举一反三4-3】（2019 吉林中考） 墙壁及淋浴花洒截面如图所示 已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm， 花洒 AC 的长为 30cm， 与墙壁的夹角CAD 为 43 求花洒顶端 C 到地面的距离 CE （结果精确到 1cm） （参 考数据：sin43 0.68，cos43 0.73，tan43 0.93）
15、【考点【考点 5 解直角三角形与其它几何图形的关系】解直角三角形与其它几何图形的关系】 【解题技巧】解直角三角形的一般过程是： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得 到实际问题的答案 【例 5】 （2019 陕西中考）如图，在ABC 中，B30 ，C45 ，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB， 垂足为 E若 DE1，则 BC 的长为（ ） A2+ B+ C2+ D3 【举一反三举一反三 5-1】 （2019新疆）如图，正方形 ABCD 的边长为 2
16、，点 E 是 BC 的中点，AE 与 BD 交于点 P， F 是 CD 上一点， 连接 AF 分别交 BD， DE 于点 M， N， 且 AFDE， 连接 PN， 则以下结论中： SABM4SFDM； PN；tanEAF；PMNDPE，正确的是（ ） 8 A B C D 【举一反三举一反三 5-2】 （2019宁夏）如图，已知矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，AB 上的点，EFEC，且 AE CD （1）求证：AFDE； （2）若 DEAD，求 tanAFE 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 上海中考）图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，
17、 在打开后备箱的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60 时，箱盖 ADE 落在 ADE 的位置（如图 2 所示） 已知 AD90 厘米，DE30 厘米，EC40 厘米 （1）求点 D到 BC 的距离； （2）求 E、E两点的距离 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1. （2019 浙江温州中考） 某简易房示意图如图所示， 它是一个轴对称图形， 则坡屋顶上弦杆 AB 的长为 （ ） 9 A米 B米 C米 D米 2.（2019 重庆中考）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动如 图，在一个坡度（或坡比）i1：2.4 的山坡
18、 AB 上发现有一棵古树 CD测得古树底端 C 到山脚点 A 的距离 AC26 米，在距山脚点 A 水平距离 6 米的点 E 处，测得古树顶端 D 的仰角AED48 （古树 CD 与山坡 AB 的剖面、点 E 在同一平面上，古树 CD 与直线 AE 垂直） ，则古树 CD 的高度约为（ ） （参考数据：sin480.73，cos480.67，tan481.11） A17.0 米 B21.9 米 C23.3 米 D33.3 米 3.（2019日照）如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为 30 ， 则甲楼高度为（ ） A11 米 B （3615
19、）米 C15米 D （3610）米 4.（2019广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高 AB 为 1.5 米，她先站 在 A 处看路灯顶端 O 的仰角为 35 ，再往前走 3 米站在 C 处，看路灯顶端 O 的仰角为 65 ，则路灯顶端 O 到地面的距离约为（已知 sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1） （ ） 10 A3.2 米 B3.9 米 C4.7 米 D5.4 米 5.（2019广州）如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是BAC，若 tanBAC ，
20、则此斜坡的水平距离 AC 为（ ） A75m B50m C30m D12m 6.（2018 河北中考）如图，快艇从 P 处向正北航行到 A 处时，向左转 50 航行到 B 处，再向右转 80 继续航 行，此时的航行方向为（ ） A北偏东 30 B北偏东 80 C北偏西 30 D北偏西 50 ADAB BDCE CDCA DADC 8.（2017 河北中考） ）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B 同时出发，并以等速驶 向某海域，甲的航向是北偏东 35 ，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ） A北偏东 55 B北偏西 55 C北偏东 35 D北偏西 35 （
21、二）（二）填空题填空题 1.（2019 山西中考）如图， 在ABC 中， BAC90 ， ABAC10cm， 点 D 为ABC 内一点，BAD15 ， 11 AD6cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为 cm 2.（2019 陕西中考）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度一天下午，他和学习小组 的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 B，如图所示于是他们 先在古树周围的空地上选择一点 D，并在点 D 处安装了测量器 DC，测
22、得古树的顶端 A 的仰角为 45 ；再在 BD 的延长线上确定一点 G，使 DG5 米，并在 G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方 向移动，当移动带点 F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG2 米，小明 眼睛与地面的距离 EF1.6 米， 测倾器的高度 CD0.5 米 已知点 F、 G、 D、 B 在同一水平直线上， 且 EF、 CD、AB 均垂直于 FB，这棵古树的高度 AB m （小平面镜的大小忽略不计） 3.（2019青海）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM4 米， AB8 米，MAD45 ，MB
23、C30 ，则 CD 的长为 米 （结果保留根号） 4.（2019 浙江温州中考）图 1 是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2 所 示，两支脚 OCOD10 分米，展开角COD60 ，晾衣臂 OAOB10 分米，晾衣臂支架 HGFE6 分米，且 HOFO4 分米当AOC90 时，点 A 离地面的距离 AM 为 分米；当 OB 从水 平状态旋转到OB （在CO延长线上） 时， 点E绕点F随之旋转至OB上的点E处， 则BEBE为 分 米 12 5.（2019成都）2019 年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际 影响力，如图，在一场马拉
24、松比赛中，某人在大楼 A 处，测得起点拱门 CD 的顶部 C 的俯角为 35 ，底部 D 的俯角为 45 ，如果 A 处离地面的高度 AB20 米，起点拱门 CD 的高度是 分米 （结果精确到 1 米；参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70） 6.（2019南通）如图，ABCD 中，DAB60 ，AB6，BC2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+PD 的最小值等于 7. （2019 河北邯郸中考模拟） 保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 30 cm. 图是一位同学的坐 姿， 把他的眼睛 B， 肘关节 C 和笔端 A 的位置关系抽象成图的ABC. 已知
25、BC30 cm， AC22 cm， ACB 53 ，他的这种坐姿 （填是或不） 符合保护视力的要求。 (参考数据：sin530.8，cos530.6， tan531.3) 8.（2019 攀枝花中考模拟）在ABC 中，如果A，B 满足|tanA1| cosB1 2 2 0，那么C_. 13 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 北京中考）如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BEDF，连接 EF （1）求证：ACEF； （2）延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O若 BD4，tanG，求 AO 的长 2.（2019
26、安徽中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图 1，明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆已知圆心在水 面上方，且圆被水面截得的弦 AB 长为 6 米，OAB41.3 ，若点 C 为运行轨道的最高点（C，O 的连线垂 直于 AB） ，求点 C 到弦 AB 所在直线的距离 （参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88） 3.（2019 福建中考）如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAC，ACBD，垂足为 E，点 F 在 BD 的延长线 上，且 DFDC，连接 AF、CF （1）求证
27、：BAC2CAD； （2）若 AF10，BC4，求 tanBAD 的值 14 4.（2019 海南中考）如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的 北偏西 60 方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15 方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里 （1）填空：BAC 度，C 度； （2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号） 5.（2019 江西中考）图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 BAO 表示固定支架，AO 垂直 水平桌面 OE 于点 O，点 B 为旋转点，BC 可转动，当 BC 绕点 B
28、顺时针旋转时，投影探头 CD 始终垂直于 水平桌面 OE，经测量：AO6.8cm，CD8cm，AB30cm，BC35cm （结果精确到 0.1） （1）如图 2，ABC70 ，BCOE 填空：BAO 求投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离 （2）如图 3，将（1）中的 BC 向下旋转，当投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离为 6cm 时，求ABC 的大 小 （参考数据：sin700.94，cos200.94，sin36.80.60，cos53.20.60） 6.（2019 山西中考）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动他们制订了测量方案，并 利用课余时间完成了实地测量他
29、们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆 顶端的仰角以及这两个测点之间的距离为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的 距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整） 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx 15 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段 GH 表示学校旗杆，测量角 度的仪器的高度 ACBD1.5m，测点 A，B 与 H 在同一条水平直线上，A，B 之间的距离可以直接测得，且点 G，H， A，B，C，D 都在同一竖直平面内，点 C，D，E 在同一条直线上，点 E
30、在 GH 上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 GCE 的度数 25.6 25.8 25.7 GDE 的度数 31.2 30.8 31 A，B 之间的距离 5.4m 5.6m 任务一：两次测量 A，B 之间的距离的平均值是 m 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 GH 的高度 （参考数据：sin25.70.43，cos25.70.90，tan25.70.48，sin310.52，cos310.86，tan310.60） 任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但 未被采纳你认为其原因可能是什么？（
31、写出一条即可） 7.（2019 江苏南京中考）如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF从与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27 、22 ，从与 F 点相距 50m 的 D 处测得 A 的仰 角为 45 求隧道 EF 的长度 （参考数据：tan220.40，tan270.51 ） 16 8. （2019 上海中考）如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD， 交 BD 的延长线于点 E （1）求证：EC； （2）如图 2，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC
32、的值； （3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数，并直接写出的值 9.（2019新疆）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段 时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30 方向上的 B 处 （1）求海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离（结果保留根号） ； （2）若海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处，试判断海轮能否在 5 小时内到达 B 处，并说明理由 （参考数据：1.41，1.73，2.45） 10.（2019深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD600 米，ADBC，施工队站在点 D 处看向 B，测得仰角为 45 ，再由 D 走到 E 处测量，DEAC，ED500 米， 测得仰角为 53 ，求隧道 BC 长 （sin53 ，cos53，tan53） 17
