1、 第 1 页 / 共 16 页 第第 23 讲：三角恒等变换（讲：三角恒等变换（1） 一、课程标准 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin()sincoscossin，简记作 S()； cos()coscossinsin，简记作 C()； tan() tantan 1tan
2、tan，简记作 T( ) 2. 二倍角公式 sin22sincos； tan2 2tan 1tan2； cos2cos2sin22cos2112sin2 3. 辅助角公式 yasinxbcosx a2b2sin(x)，其中 为辅助角，且其中 cos a a2b2，sin b a2b2，tan b a. 第 2 页 / 共 16 页 4. 公式的逆用及有关变形 tantantan()(1tantan)； sincos 2sin( 4 )； sincos1 2sin2； 1sin2(sincos)2； 1sin2(sincos)2； sin21cos2 2 ； cos21cos2 2 ； tan2
3、1cos2 1cos2(降幂公式)； 1cos22sin2；1cos22cos2(升幂公式) 三、自主热身、归纳总结 1、知 cos 4 5， ，3 2 ，则 sin 4 等于( ) A. 2 10 B. 2 10 C.7 2 10 D.7 2 10 【答案】 C 【解析】 ，3 2 ，且 cos 4 5，sin 3 5， sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 第 3 页 / 共 16 页 2、已知 tan 4 2，则 tan ( ) A.1 3 B.1 3 C.4 3 D.4 3 【答案】 A 【解析】 tan 4 1tan 1tan 2，解得 tan 1 3. 3、
4、 已知 sin22 3，则 cos 2 4 等于(A ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】 cos2 4 1cos2 4 2 1cos 2 2 2 1sin2 2 ， cos2 4 1sin2 2 12 3 2 1 6.故选 A. 4、(多选)已知 f(x)1 2(1cos 2x)sin 2x(xR)，则下面结论正确的是( ) Af(x)的最小正周期 T 2 Bf(x)是偶函数 Cf(x)的最大值为1 4 Df(x)的最小正周期 T 【答案】ABC 【解析】因为 f(x)1 4(1cos 2x)(1cos 2x) 1 4(1cos 22x)1 4si
5、n 22x1 8(1cos 4x)，f(x)f(x)，T 第 4 页 / 共 16 页 2 4 2，f(x)的最大值为 1 82 1 4.故 D 错 5、 (多选)下列式子的运算结果为 3的是( ) Atan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 B2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) C.1tan 15 1tan 15 D. tan 6 1tan2 6 【答案】ABC 【解析】 对于 A， tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 tan(25 35 )(1tan 25 tan 35 ) 3tan 25 tan 35 3 3tan 25
6、tan 35 3tan 25 tan 35 3； 对于 B， 2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 )2(sin 35 cos 25 cos 35 sin 25 )2sin 60 3；对于 C，1tan 15 1tan 15 tan 45 tan 15 1tan 45 tan 15 tan 60 3；对于 D， tan 6 1tan2 6 1 2 2tan 6 1tan2 6 1 2tan 3 3 2 . 综上，式子的运算结果为 3的是 A、B、C. 6、 【2020 江苏南京三校联考】已知sin( + 4) = 3 5，则sin2_ 【答案】 7 25 【解析】sin(
7、 + 4) = 3 5，sin2x=cos(2x+ 2)=2sin 2(x+ 4) 1= 18 251= 7 25，故答案为： 7 25 7、函数 f(x)sin 2x 4 2 2sin2x 的最小正周期是_ 【答案】. 第 5 页 / 共 16 页 【解析】 f(x) 2 2 sin2x 2 2 cos2x 2(1cos2x) 2 2 sin2x 2 2 cos2x 2sin 2x 4 2， T2 2 . 8、已知 2tan sin 3， 2，0 ，则 cos 6 _. 【答案】0 【解析】由 2tan sin 3，得2sin 2 cos 3， 即 2cos23cos 20，cos 1 2或
8、 cos 2(舍去) 20， 3，cos 6 cos 2 0. 9、若 2， ，且 3cos 2sin 4 ，则 sin 2 的值为_ 【答案】17 18 【解析】由 3cos 2sin 4 ， 得 3(cos2sin2) 2 2 (cos sin )， 又由 2， ，可知 cos sin 0， 于是 3(cos sin ) 2 2 ，所以 12sin cos 1 18， 故 sin 217 18. 10、(一题两空)已知 0 2，且 sin 3 5，则 tan 5 4 _， sin2sin 2 cos2cos 2_. 第 6 页 / 共 16 页 【答案】 ：7 33 23 【解析】因为 0
9、 2，且 sin 3 5，所以 cos 1sin 24 5，所以 tan sin cos 3 4， 则 tan 5 4 tan 4 tan 1 1tan 7. sin2sin 2 cos2cos 2 sin22sin cos 2cos2sin2 tan 22tan 2tan2 9 16 6 4 2 9 16 33 23. 四、例题选讲 考点一、利用两角和(差)公式运用 例 1、已知 0 2 ，且 cos 2 1 9， sin 2 2 3，求 cos() 【解析】 0 2 ， 4 2 2 ， 4 2， cos 2 1sin2 2 5 3 ， sin 2 1cos2 2 4 5 9 ， cos 2
10、 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 ，cos() 2cos2 2 12495 729 1239 729. 第 7 页 / 共 16 页 变式 1、 【2020 江苏昆山调研】若函数 sinsin 3 f xxx ，则函数 f(x)的振幅为_ 【答案】 3 【解析】 1333 sinsin =sincossinsincos 32222 f xxxxxxxx 3sin() 6 x，所以函数的振 幅是 3，故答案为：3 变式 2、 （2020 江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐
11、角， ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 10 10 ， 5 5 ，则sin() _ 【答案】 2 2 【解析】由三角函数的定义得： 5 10 cos,cos 10 5 ，所以 5 3 10 sin,sin 10 2 5 ， 所以 3 1010 sin()sincoscossi 52 52 55 n 10102 故答案为 2 2 变式 3、已知 sin 3 5， 2， ，tan() 1 2，则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 第 8 页 / 共 16 页 C.11 2 D11 2 【答案】A 【解析】因为 sin 3 5， 2， ， 所以
12、cos 1sin24 5， 所以 tan sin cos 3 4. 因为 tan()1 2tan ，所以 tan 1 2， 则 tan() tan tan 1tan tan 2 11. 变式 4、在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_. 【答案】 2 2 【解析】 (1)由 tan Atan Btan Atan B1， 可得 tan Atan B 1tan Atan B1， 即 tan(AB)1，又因为 AB(0，)， 所以 AB3 4 ，则 C 4，cos C 2 2 . 变式 5、 2019 深圳模拟已知 tan 4 1 2，且 2 0，则2sin
13、2sin2 cos 4 (A ) A. 2 5 5 B. 3 5 10 C. 3 10 10 D. 2 5 2 【答案】A 第 9 页 / 共 16 页 【解析】 由 tan 4 tan1 1tan 1 2得 tan 1 3.又 2 0， 故 sin 10 10 .故2sin 2sin2 cos 4 2sin（sincos） 2 2 （sincos） 2 2sin2 5 5 .故选 A. 方法总结：考查两角和差的三角函数公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、 所求角与已知角之间的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形 求角问题的关键在于选择恰当的三角函数， 选择的标准是，在
14、角的范围内根据函数值，角有唯一解本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考点二、二倍角公式的运用 例 2、已知 0，化简： 1sincos sin 2 cos 2 22cos .= 【答案】cos. 【解析】 由 (0，)，得 0 2 2 ，cos 20， 22cos4cos2 2 2cos 2.又(1sincos) sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 2cos2 2 sin 2 cos 2 2cos 2 sin2 2 cos2 2 2cos 2cos，故原式 2cos 2 cos 2cos 2 cos. 变式 1、(1) sin 10 1 3tan 10 _. (2)化简 s
15、in235 1 2 cos 10 cos 80 _. 【答案】(1)1 4 (2)1 第 10 页 / 共 16 页 【解析】(1) sin 10 1 3tan 10 sin 10 cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin30 10 1 4. (2) sin235 1 2 cos 10 cos 80 1cos 70 2 1 2 cos 10 sin 10 1 2cos 70 1 2sin 20 1. 变式 2、已知 cos 6 cos 3 1 4， 3， 2 . (1)求 sin 2 的值；
16、(2)求 tan 1 tan 的值 【解析】(1)cos 6 cos 3 cos 6 sin 6 1 2sin 2 3 1 4， 即 sin 2 3 1 2. 3， 2 ，2 3 ，4 3 ， cos 2 3 3 2 ， sin 2sin 2 3 3 sin 2 3 cos 3cos 2 3 sin 3 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2. (2) 3， 2 ，2 2 3 ， ， 又由(1)知 sin 21 2，cos 2 3 2 . tan 1 tan sin cos cos sin 第 11 页 / 共 16 页 sin 2cos2 sin cos 2cos 2 sin 2 2 3 2
17、 1 2 2 3. 方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用三角函数式的化简要注意以下 3 点：看角之间的差别与联 系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化 弦”；看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等本题 考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考点三、 公式的综合运用 例 3、 设 是锐角，且 cos( 6 )4 5，则 sin(2 12)的值为_ 【答案】17 2 50 【解析】 是锐角， 6 6 2 3 ，cos( 6 )4 5，sin( 6 )3 5.sin2( 6 ) 2sin( 6
18、 )cos( 6 )24 25，cos2( 6 )12sin2( 6 ) 7 25，sin(2 12) sin 2（ 6 ） 4 sin2( 6 )cos 4 cos2( 6 )sin 4 24 25 2 2 7 25 2 2 17 2 50 . 变式 1、计算2cos 10 2 3cos100 1sin 10 _. 【答案】2 2 【解析】 2cos 10 2 3cos100 1sin 10 2cos 10 2 3sin 10 1sin 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 12sin 5 cos 5 4cos 50 cos 5 sin 5 第 12 页 / 共 16 页 4c
19、os 50 2 2 2 cos 5 2 2 sin 5 4cos 50 2cos 50 2 2. 变式 2、cos20 sin20cos10 3sin10tan702cos40. 【解析】 原式cos20cos10 sin20 3sin10sin70 cos70 2cos40 cos20cos10 sin20 3sin10cos20 sin20 2cos40 cos20（cos10 3sin10） sin20 2cos40 cos202sin（1030） sin20 2cos40 cos204sin20cos20 sin20 2cos40 4cos2202(2cos2201)2. 变式 3、已
20、知 sin 4 2 10， 2， . 求：(1)cos 的值； (2)sin 2 4 的值 【解析】(1)由 sin 4 2 10， 得 sin cos 4cos sin 4 2 10， 化简得 sin cos 1 5， 第 13 页 / 共 16 页 又 sin2cos21，且 2， 由解得 cos 3 5. (2) 2， ，cos 3 5，sin 4 5， cos 212sin2 7 25，sin 22sin cos 2 4 5 3 5 24 25， sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 2 2 24 25 7 25 17 2 50 . 方法总结： (1)三角函数式的化
21、简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数 公式之间的共同点. 五、优化提升与真题演练 1、（2019 年高考全国卷理数）已知 (0， 2 )，2sin2=cos2+1，则 sin= A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 【答案】B 【 解 析 】2sin2cos21， 2 4sincos2cos.0,cos0 2 ，sin0, 2sincos，又 22 sincos1， 22 1 5sin1,sin 5 ，又sin0， 5 sin 5 ，故选 第 14 页 /
22、共 16 页 B 2、 （2018 年高考全国卷理数）若 1 sin 3 ，则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 【答案】B 【解析】 22 17 cos21 2sin1 2 ( ) 39 . 故选 B. 3、 （2018 年高考全国卷 II 理数）若 cossinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 【答案】A 【解析】因为 cossin2cos 4 f xxxx ， 所以由 02 2 () 4 kxkkZ得 3 2 2 () 44 kxkkZ， 因此 33 ,0 44444 a aaaaaa ，从而a的最大值为 4 ， 故选
23、A. 4、 （2017 年高考北京卷理数）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 1 sin 3 ，则cos()=_. 第 15 页 / 共 16 页 【答案】 7 9 【解 析】因为和关 于 y 轴对 称，所以2 ,kkZ，那么 1 sinsin 3 ， 2 2 coscos 3 （或 2 2 coscos 3 ）， 所以 222 7 coscoscossinsincossin2sin1 9 . 5、 （2018 年高考全国理数）已知sin cos1，cossin0 ，则sin( )_ 【答案】 1 2 【解析】因为sincos1，coss
24、in0，所以 22 1 sincos1, 所以 11 sin,cos 22 ， 因此 22 111111 sinsin coscos sincos1 sin1. 224442 6、（2017 年高考江苏卷）若 1 tan(), 46 则tan 【答案】 7 5 【解析】 1 1tan()tan 7 644 tantan() 1 445 1 tan()tan1 446 故答案为 7 5 8、 （2018 年高考江苏卷）已知, 为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 （1）求cos2的值； （2）求tan()的值 第 16 页 / 共 16 页 【解析】 （1）因为 4 tan 3 ， sin tan cos ， 所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1， 所以 2 9 cos 25 ， 因此， 2 7 cos22cos1 25 （2）因为, 为锐角，所以(0, ) 又因为 5 cos() 5 ， 所以 2 2 5 sin()1 cos () 5 ， 因此tan()2 因为 4 tan 3 ，所以 2 2tan24 tan2 1tan7 ， 因此， tan2tan()2 tan()tan2() 1tan2tan()11
