1、2020-2021 学年山东省济宁市曲阜师大附属实验学校九年级（上）期中数学学年山东省济宁市曲阜师大附属实验学校九年级（上）期中数学 试卷（五四学制）试卷（五四学制） 一、选择题一、选择题 1以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 2将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是 3，一次项系数是8，常数项是10 的方程 是（ ） A3x28x+10 B3x28x+10 C3x28x10 D8x3x2+10 3用配方法解方程 x2+4x3，下列配方正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）27 C （x+2）27 D （x+2）21 4抛物线 yx2向左平移 3
2、 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得的抛物线表达式是（ ） Ay（x+3）22 By（x3）2+2 Cy（x3）22 Dy（x+3）2+2 5若点 P（m1，5）与点 Q（3，2n）关于原点成中心对称，则 m+n 的值是（ ） A1 B3 C5 D7 6已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 且 a1 Da2 7圆的直径是 13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 8在二次函数 yx22x3 中，当 0 x3 时，y 的最
3、大值和最小值分别是（ ） A0，4 B0，3 C3，4 D0，0 9如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（ ） A2cm Bcm C2cm D2cm 10O 的半径是 13，弦 ABCD，AB24，CD10，则 AB 与 CD 的距离是（ ） A7 B17 C7 或 17 D34 11如图，ABC 中，已知C90，B55，点 D 在边 BC 上，BD2CD把ABC 绕着点 D 逆 时针旋转 m（0m180）后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，那么 m 为（ ） A70 B70或 120 C120 D80 12如图是抛物线 y1ax2+
4、bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个交 点 B（4，0） ，直线 y2mx+n（m0）与抛物线交于 A、B 两点下列结论： 2a+b0； abc0； 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是 （ 1，0） ；当 1x4 时，有 y2y1；a+bm（am+b） （m 实数）其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知关于 x 的方程 x2px+q0 的两根为3 和1，则 p ，q 14已知半径为 2 的O 中，弦 AB2，则弦 AB 所对圆周角的度数 15如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平
5、，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r2cm，扇形的圆 心角 120，则该圆锥的母线长 l 为 cm 16如图，点 A1、A2、A3、An在抛物线 yx2图象上，点 B1、B2、B3、Bn在 y 轴上，若A1B0B1、 A2B1B2、 、 AnBn1Bn都为等腰直角三角形 （点 B0是坐标原点） ， 则A2020B2019B2020的腰长 三、解答题三、解答题 17解方程： （1）2x2+x20（用公式法） （2） （x+3）22x（x+3）0 18武汉市某中学进行九年级理化实验考查，有 A 和 B 两个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考 查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小孟、
6、小柯、小刘都要参加本次考查 （1）用列表或画树状图的方法求小孟、小柯都参加实验 A 考查的概率； （2）他们三人中至少有两人参加实验 B 的概率 （直接写出结果） 19已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB80，C 为O 上一点 （）如图，求ACB 的大小； （）如图，AE 为O 的直径，AE 与 BC 相交于点 D若 ABAD，求EAC 的大小 20 如图， AB 是O 的直径， 弦 DE 垂直平分半径 OA， C 为垂足， 弦 DF 与半径 OB 相交于点 P， 连接 EF、 EO，若 DE2，DPA45 （1）求O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积 21某百货商店服装柜
7、在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，经市场调查发 现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价 1 元，日销售量将增加 2 件 （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多 少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 22如图，在平面直角坐标系中，A 与 x 轴相交于 C（2，0） ，D（8，0）两点，与 y 轴相切于点 B （0，4） （1）求经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为 E，证明：直线 CE 与A 相切； （3） 在 x 轴下方
8、的抛物线上， 是否存在一点 F， 使BDF 面积最大， 最大值是多少？并求出点 F 的坐标 2020-2021 学年山东省济宁市曲阜师大附属实验学校九年级（上）期中数学学年山东省济宁市曲阜师大附属实验学校九年级（上）期中数学 试卷（五四学制）试卷（五四学制） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念判断 【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意 故
9、选：A 2将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是 3，一次项系数是8，常数项是10 的方程 是（ ） A3x28x+10 B3x28x+10 C3x28x10 D8x3x2+10 【分析】根据题意确定出所求方程即可 【解答】解：3x28x100，其二次项系数是 3，一次项系数是8，常数项是10，可以变形为 3x2 8x+10 故选：A 3用配方法解方程 x2+4x3，下列配方正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）27 C （x+2）27 D （x+2）21 【分析】把方程两边都加上 4，方程左边可写成完全平方式 【解答】解：x2+4x+47， （x+2）27 故选：C 4抛
10、物线 yx2向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得的抛物线表达式是（ ） Ay（x+3）22 By（x3）2+2 Cy（x3）22 Dy（x+3）2+2 【分析】变化规律：左加右减，上加下减 【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，yx2向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得 y（x+3）22 故选：A 5若点 P（m1，5）与点 Q（3，2n）关于原点成中心对称，则 m+n 的值是（ ） A1 B3 C5 D7 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案 【解答】解：点 P（m1，5）与点 Q（3，2n）关于原点对称， m13，2n
11、5， 解得：m2，n7， 则 m+n2+75 故选：C 6已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 且 a1 Da2 【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出 a 的取值范围 【解答】解：44（a1） 84a0 得：a2 又 a10 a2 且 a1 故选：C 7圆的直径是 13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离 d，再与半径 r 进行比较若 dr， 则
12、直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【解答】解：圆的直径为 13 cm， 圆的半径为 6.5 cm， 圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm， 圆的半径圆心到直线的距离， 直线于圆相切或相交， 故选：D 8在二次函数 yx22x3 中，当 0 x3 时，y 的最大值和最小值分别是（ ） A0，4 B0，3 C3，4 D0，0 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最 大值 【解答】解：抛物线的对称轴是 x1， 则当 x1 时，y1234，是最小值； 当 x3 时，y9630 是最大值 故选：A 9如图将半径为 2c
13、m 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（ ） A2cm Bcm C2cm D2cm 【分析】通过作辅助线，过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，根据折叠的性质可知 OA2OD，根据勾股定 理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长 【解答】解：过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，连接 OA， OA2OD2cm， AD（cm） ， ODAB， AB2AD2cm 故选：D 10O 的半径是 13，弦 ABCD，AB24，CD10，则 AB 与 CD 的距离是（ ） A7 B17 C7 或 17 D34 【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦 A
14、B、CD 的弦心距 OE、OF，再根据两弦在圆心同侧和在 圆心异侧两种情况讨论 【解答】解：如图，AEAB2412， CFCD105， OE5， OF12， 当两弦在圆心同侧时，距离OFOE1257； 当两弦在圆心异侧时，距离OE+OF12+517 所以距离为 7 或 17 故选：C 11如图，ABC 中，已知C90，B55，点 D 在边 BC 上，BD2CD把ABC 绕着点 D 逆 时针旋转 m（0m180）后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，那么 m 为（ ） A70 B70或 120 C120 D80 【分析】当点 B 落在 AB 边上时，根据 DBDB1，即可解决问题，当
15、点 B 落在 AC 上时，在 RT DCB2中，根据C90，DB2DB2CD 可以判定CB2D30，由此即可解决问题 【解答】解：当点 B 落在 AB 边上时， DBDB1， BDB1B55， mBDB118025570， 当点 B 落在 AC 上时， 在 RTDCB2中，C90，DB2DB2CD， CB2D30， mC+CB2D120， 故选：B 12如图是抛物线 y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个交 点 B（4，0） ，直线 y2mx+n（m0）与抛物线交于 A、B 两点下列结论： 2a+b0； abc0； 方程 ax2+bx+c
16、3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是 （ 1，0） ；当 1x4 时，有 y2y1；a+bm（am+b） （m 实数）其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可 【解答】解：由抛物线对称轴为直线 x，从而 b2a，则 2a+b0，故正确； 抛物线开口向下，与 y 轴相交与正半轴，则 a0，c0，而 b2a0，因而 abc0，故错误； 方程 ax2+bx+c3 从函数角度可以看做是 yax2+bx+c 与直线 y3 求交点，从图象可以知道，抛物线顶 点为（1，3） ，则抛物线与直线有且只有一个交点 故方
17、程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根，故正确； 由抛物线对称性，与 x 轴的一个交点 B（4，0） ，则另一个交点坐标为（2，0） ，故错误； 由图象可知，当 1x4 时，y2y1，故正确； 因为 x1 时，y1有最大值，所以 a+b+cam2+bm+c，即 a+bm（am+b） （m 实数） ，故正确 故选：C 二、填空题二、填空题 13已知关于 x 的方程 x2px+q0 的两根为3 和1，则 p 4 ，q 3 【分析】利用根与系数的关系得到3+（1）p，3（1）q，从而可求出 p、q 的值 【解答】解：根据题意得3+（1）p，3（1）q， 所以 p4，q3 故答案为4，3 14已知
18、半径为 2 的O 中，弦 AB2，则弦 AB 所对圆周角的度数 60或 120 【分析】先根据题意画出图形，连接 OA、OB，过 O 作 OFAB，由垂径可求出 AF 的长，根据特殊角 的三角函数值可求出AOF 的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案 【解答】解：如图所示， 连接 OA、OB，过 O 作 OFAB，则 AFAB，AOFAOB， OA2，AB2， AFAB2， sinAOF， AOF60， AOB2AOF120， ADBAOB12060， AEB18060120 故答案为：60或 120 15如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径
19、r2cm，扇形的圆 心角 120，则该圆锥的母线长 l 为 6 cm 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长 【解答】解：圆锥的底面周长224cm， 设圆锥的母线长为 R，则：4， 解得 R6 故答案为：6 16如图，点 A1、A2、A3、An在抛物线 yx2图象上，点 B1、B2、B3、Bn在 y 轴上，若A1B0B1、 A2B1B2、 、 AnBn1Bn都为等腰直角三角形 （点 B0是坐标原点） ， 则A2020B2019B2020的腰长 2020 【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方
20、法求出第二个，第三个的腰长，观察其规律，最后得出结果 【解答】解：作 A1Cy 轴，A2Ey 轴，垂足分别为 C、E A1B0B1、A2B1B2都是等腰直角三角形， B1CB0CDB0A1D，B2EB1E 设 A1（a，b） ，则 ab，将其代入解析式 yx2得： aa2， 解得：a0（不符合题意）或 a1， 由勾股定理得：A1B0， B1B02， 过 B1作 B1NA2F，设点 A（x2，y2） ， 可得 A2Ny22，B1Nx2y22， 又点 A2在抛物线上，所以 y2x22， （x2+2）x22， 解得 x22，x21（不合题意舍去） ， A2B12， 同理可得： A3B23， A4B3
21、4， A2020B20192020， A2020B2019B2020的腰长为：2020 故答案为 2020 三、解答题三、解答题 17解方程： （1）2x2+x20（用公式法） （2） （x+3）22x（x+3）0 【分析】 （1）方程利用公式法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可 【解答】解： （1）这里 a2，b1，c2， 1+1617， x； （2）分解因式得： （x+3） （x+32x）0， 解得：x13，x23 18武汉市某中学进行九年级理化实验考查，有 A 和 B 两个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考 查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小孟、小柯、小刘都要
22、参加本次考查 （1）用列表或画树状图的方法求小孟、小柯都参加实验 A 考查的概率； （2）他们三人中至少有两人参加实验 B 的概率 （直接写出结果） 【分析】 （1）先画出树状图，得出所有等情况数和小孟、小柯都参加实验 A 考查的情况数，再根据概率 公式即可得出答案； （2）根据每人都有 2 种选法，得出共有 8 种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验 B 的有 4 种， 再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）画树状图如图所示： 两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验 A 考查有 1 种， 小孟、小柯都参加实验 A 考查的概率为 （2）共有 8 种等情况数，他们三人
23、中至少有两人参加实验 B 的有 4 种， 所以他们三人中至少有两人参加实验 B 的概率是 故答案为： 19已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB80，C 为O 上一点 （）如图，求ACB 的大小； （）如图，AE 为O 的直径，AE 与 BC 相交于点 D若 ABAD，求EAC 的大小 【分析】 （） 连接 OA、 OB，根据切线的性质得到OAPOBP90， 根据四边形内角和等于 360 计算； （）连接 CE，根据圆周角定理得到ACE90，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即 可 【解答】解： （）连接 OA、OB， PA，PB 是O 的切线， OAPOBP90， AO
24、B360909080100， 由圆周角定理得，ACBAOB50； （）连接 CE， AE 为O 的直径， ACE90， ACB50， BCE905040， BAEBCE40， ABAD， ABDADB70， EACADBACB20 20 如图， AB 是O 的直径， 弦 DE 垂直平分半径 OA， C 为垂足， 弦 DF 与半径 OB 相交于点 P， 连接 EF、 EO，若 DE2，DPA45 （1）求O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）根据垂径定理得 CE 的长，再根据已知 DE 平分 AO 得 COAOOE，解直角三角形求 解 （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积
25、和三角形的面积公式计算即可 【解答】解： （1）直径 ABDE， CEDE DE 平分 AO， COAOOE 又OCE90， sinCEO， CEO30 在 RtCOE 中， OE2 O 的半径为 2 （2）在 RtDCP 中， DPC45， D904545 EOF2D90 S扇形OEF22 EOF2D90，OEOF2， SRtOEFOEOF2 S阴影S扇形OEFSRtOEF2 21某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，经市场调查发 现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价 1 元，日销售量将增加 2 件 （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1
26、200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多 少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，注意题目中要求扩大销售量，增加盈利，减少库 存； （2）根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，从而可以解答本题 【解答】解： （1）设要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，那么每件童装应降价 x 元， （40 x） （20+2x）1200， 解得，x110，x220 当 x20 时，卖出的多，库存比 x10 时少， 要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，那么每件童装应降价 20 元； （
27、2）设每件童装降价 x 元，利润为 y 元， y（40 x） （20+2x）2（x15）2+1250， 当 x15 时，y 取得最大值，此时 y1250， 即每件童装降价 15 元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是 1250 元 22如图，在平面直角坐标系中，A 与 x 轴相交于 C（2，0） ，D（8，0）两点，与 y 轴相切于点 B （0，4） （1）求经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为 E，证明：直线 CE 与A 相切； （3） 在 x 轴下方的抛物线上， 是否存在一点 F， 使BDF 面积最大， 最大值是多少？并求出点 F 的坐标 【分析】 （
28、1）把 B（0，4） ，C（2，0） ，D（8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果； （2）由 yx2+x+4（x+5）2，得到顶点坐标 E（5，） ，求得直线 CE 的函数解析式 y x+，在 yx+中，令 x0，y，得到 G（0，） ，如图 1，连接 AB，AC，AG，得 BGOB OG4，CG，得到 BGCG，ABAC，证得ABGACG，得到ACGABG，由 于A 与 y 轴相切于点 B（0，4） ，于是得到ABG90，即可求得结论； （3）如图 2，连接 BD，BF，DF，设 F（t，t2+t+4） ，过 F 作 FNy 轴交 BD 于点 N，求得直线 BD 的解析式为 yx+4，得
29、到点 N 的坐标为（t，t+4） ，于是得到 FNt+4（t2+t+4）t2 2t，推出 SDBFSDNF+SBNFODFN（t22t）t28t（t+4）2+16，即可得 到结论 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为：yax2+bx+c， 把 B（0，4） ，C（2，0） ，D（8，0）代入得：， 解得 经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式为：yx2+x+4； （2）yx2+x+4（x+5）2， E（5，） ， 设直线 CE 的函数解析式为 ymx+n， 直线 CE 与 y 轴交于点 G，则， 解得：， yx+， 在 yx+中，令 x0，y， G（0，） ， 如图 1，连接 AB，AC
30、，AG， 则 BGOBOG4， CG， BGCG，ABAC， 在ABG 与ACG 中， ， ABGACG， ACGABG， A 与 y 轴相切于点 B（0，4） ， ABG90， ACGABG90 点 C 在A 上， 直线 CE 与A 相切； （3）存在点 F，使BDF 面积最大， 如图 2 连接 BD，BF，DF，设 F（t，t2+t+4） ， 过 F 作 FNy 轴交 BD 于点 N， 设直线 BD 的解析式为 ykx+d，则， 解得 直线 BD 的解析式为 yx+4， 点 N 的坐标为（t，t+4） ， FNt+4（t2+t+4）t22t， SDBFSDNF+SBNFODFN（t22t）t28t（t+4）2+16， 当 t4 时，SBDF最大，最大值是 16， 当 t4 时，t2+t+42， F（4，2）
