1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 44 讲讲 空间向量的概念和空间位置关系空间向量的概念和空间位置关系 一、课程标准 1、空间向量的线性运算 2、共线、共面向量定理的应用 3、空间向量数量积的应用 4、利用空间向量证明平行或垂直 二、基础知识回顾 1空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行 向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在 R，使 ab 共面向量定理 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实 数对(x，y)，使 pxayb 空间
2、向量基本定 理及推论 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一 的有序实数组x，y，z使得 pxaybzc. 推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P 都存 在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 OP x OA y OB z OC 且 x yz1 2数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：a b|a|b|cosa，b ；aba b0(a，b 为非零向量)；设 a(x， y，z)，则|a|2a2，|a|x2y2z2. (2)空间向量的坐标运算： a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量和 ab(a1b1，a2b2，
3、a3b3) 向量差 ab(a1b1，a2b2，a3b3) 数量积 a ba1b1a2b2a3b3 共线 aba1b1，a2b2，a3b3(R，b0) 垂直 aba1b1a2b2a3b30 第 2 页 / 共 17 页 夹角公式 cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23b21b22b23 三、自主热身、归纳总结 1、空间四点 A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( ) A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定 【答案】 C 【解析】 AB (2，0，4)，AC (2，3，5)，AD (0，3，4)，由不存在实数 ，使AB
4、 AC 成 立知，A，B，C 不共线，故 A，B，C，D 不共线；假设 A，B，C，D 共面，则可设AD xAB yAC (x，y 为实数)，即 02x2y， 33y， 44x5y， 由于该方程组无解，故 A，B，C，D 不共面，故选 C. 2、已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m 的值等于( ) A. 3 2 B. 2 C. 0 D. 3 2或2 【答案】B 【解析】 当 m0 时，a(1，3，1)，b(2，0，0)，a 与 b 不平行，m0，ab， 2m1 2 3 m m1 m ，解得 m2. 故选 B. 3、在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，3)，
5、B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 由题意得，AB (3，3，3)，CD (1，1，1)，AB 3CD ，AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点，ABCD. 故选 B. 4、如图，平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，AC 与 BD 的交点为点 M，设 AB a， ADb，AA 1 c，则向 量C1M 可用 a，b，c 表示为_ 第 3 页 / 共 17 页 【答案】1 2a 1 2bc 【解析】C1M C 1C CMAA 1 1 2 A
6、C AA 1 1 2( AB AD)1 2 AB 1 2 AD AA 1 1 2a 1 2b c. 5、如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是_ 【答案】垂直 【解析】以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 DA2，则 A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1，1,0)，N(2，1,2)，所以AM (2,0,1)，ON(1,0,2)，AMON2020， 所以 AMON. 6、O 为空间中任意一点，A，B，C 三
7、点不共线，且 OP 3 4 OA 1 8 OB t OC，若 P，A，B，C 四点共面， 则实数 t_. 【答案】1 8 【解析】因为 P，A，B，C 四点共面，所以3 4 1 8t1， 所以 t1 8. 四、例题选讲 考点一 空间向量的线性运算 例 1 (1) 向量 a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，下列结论正确的是_(填序 号) ab，ac; ab，ac； ac，ab. (2) 已知点 A，B，C 的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点 P 的坐标是(x，0，y)，若 PA 平面 ABC，则点 P 的坐标是_ 【答案】 （1） （2） (1，0，
8、2) 【解析】 （1） 因为 c(4，6，2)2(2，3，1)2a，所以 ac.又 a b(2) 2(3) 01 40， 所以 ab. （2） PA (x， 1， y)， AB (1， 1， 1)， AC (2， 0， 1) 因为 PA平面 ABC， 所以PA AB ， 第 4 页 / 共 17 页 PA AC ，即PA AB xy10，PA AC 2xy0，所以 x1，y2，故点 P 的坐标是(1，0， 2) 变式 1、 （1） 如图所示， 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点 若 AB a，ADb， AA1 c，则下列向量中与 BM相等的是(
9、) A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc （2） 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1中， 点 E 为上底面 A1C1的中心， 若 AE AA 1 x ABy AD， 则 x， y 的值分别为( ) A1,1 B1，1 2 C.1 2， 1 2 1 D.1 2，1 【答案】 （1）A（2）C 【解析】 （1） BM BB 1 B 1M AA 1 1 2( AD AB)c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. （2） AE AA 1 A 1E AA 1 1 2A1C1 AA 1 1 2( )AB AD ，故 x1 2，y 1 2.
10、 变式 2、 在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用向量OA ，OB ，OC 表 示MG ，OG . 【解析】 MG MA AG 1 2OA 2 3AN 1 2OA 2 3(ON OA ) 1 2OA 2 3 1 2(OB OC )OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC . OG OM MG 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC 第 5 页 / 共 17 页 1 3OA 1 3OB 1 3OC . 变式 3、 如图所示， 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中， 设AA1 a，ABb，ADc， M， N， P 分别是 AA 1，
11、BC，C1D1的中点试用 a，b，c 表示以下各向量： (1) AP ； (2)A1N ； (3) MP NC 1 . 解：(1)P 是 C1D1的中点， AP AA 1 A 1D1 D 1P a AD1 2D1C1 ac1 2 AB a1 2bc. (2)N 是 BC 的中点， A1N A 1A AB BNab1 2 BC ab1 2 AD ab1 2c. (3)M 是 AA1的中点， MP MA AP1 2A1A AP1 2a a1 2bc 1 2a 1 2bc， 又NC1 NCCC 1 1 2 BC AA 1 1 2 AD AA 1 a1 2c， MP NC 1 1 2a 1 2bc a
12、1 2c 3 2a 1 2b 3 2c. 方法总结： 本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向 量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形 中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中 三角形法则、平行四边形法则仍然成立 考点二 共线、共面向量定理的应用 例 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC
13、 上，且满足AM kAC1 ，BN kBC (0k1). 判断向量MN 是否与向量AB ，AA1 共面 第 6 页 / 共 17 页 【解析】 AM kAC1 ， BN kBC ， MN MA AB BN kC1A AB kBC k(C1A BC )AB k(C1A B1C1 )AB kB1A AB AB kAB1 AB k(AA1 AB )(1k) AB kAA1 ， 由共面向量定理知向量MN 与向量AB ，AA1 共面 变式 1、如图所示，已知斜三棱柱 ABC - A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AM kAC 1 ，BN k BC (0k1)判断向量MN是否与向
14、量 AB，AA 1 共面 【解析】AM kAC 1 ， BNk BC， MN MA AB BNkC 1A ABk BCk(C 1A BC) ABk(C 1A B 1C1 ) ABkB 1A AB ABkAB 1 ABk(AA 1 AB)(1k) ABkAA 1 ， 由共面向量定理知向量MN 与向量 AB，AA 1 共面 变式 2、 （1）已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是( ) A2，1 2 B1 3， 1 2 C3,2 D.2,2 （2） 若 A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则 mn_. 【答案】 （1） A （2）3 【解
15、析】 （1） ab，bka(kR)， 即(6,21,2)k(1,0,2)， 第 7 页 / 共 17 页 6k1， 210， 22k， 解得 2， 1 2 或 3， 1 2， 故选 A. （2） AB (3，1,1)， AC(m1，n2，2)， 且 A，B，C 三点共线， 存在实数 ，使得 AC AB. 即(m1，n2，2)(3，1,1)(3，)， m13， n2， 2， 解得 2， m7， n4. mn3. 方法总结：证明空间三点 P，A，B 共线的方法有：PA PB (R)； 对空间任一点 O， OP xOA yOB (xy1). 证明空间四点 P， M， A， B 共面的方法有： MP
16、xMA yMB ；对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB (xyz1)；PM AB (或PAMB 或PB AM ). 三 点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明 考点三 空间向量数量积的应用 例 3、如图，已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，A1AB A1AD120 . (1)求线段 AC1的长； (2)求异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1BD. 【解析】(1)设 AB a， ADb，AA 1 c， 则|a|b|1，|c|2，a b0，c ac
17、 b2 1 cos 120 1. AC1 ACCC 1 AB ADAA 1 abc， 第 8 页 / 共 17 页 |AC1 |abc| abc 2 |a|2|b|2|c|22a bb cc a 1212222011 2. 线段 AC1的长为 2. (2)设异面直线 AC1与 A1D 所成的角为 ， 则 cos |cosAC1 ，A 1D |AC1 A 1D | |AC1 |A 1D |. AC1 abc，A 1D bc， AC1 A 1D (abc) (bc) a ba cb2c20112222， |A1D | bc 2 |b|22b c|c|2 122 122 7. cos |AC1 A
18、1D | |AC1 |A 1D | |2| 2 7 14 7 . 故异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值为 14 7 . (3)证明：AA1 c， BDba， AA1 BDc (ba)c bc a(1)(1)0，AA 1 BD，即 AA 1BD. 变式 1、已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB ，bAC. (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值； (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求实数 k 的值 【解析】 (1)a(1，1，0)，b(1，0，2)，a b(1，1，0) (1，0，2)1， 又|a| 121202 2，|b|（1）
19、20222 5，cosa，b1 10 10 10 ，即向量 a 与 向量 b 的夹角的余弦值为 10 10 . (2)(方法 1)kab(k1，k，2). ka2b(k2，k，4)，且 kab 与 ka2b 互相垂直，(k1，k， 2) (k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2 或 k5 2， 当 kab 与 ka2b 互相垂直时，实数 k 的值为 2 或5 2. (方法 2)由(1)知|a| 2，|b| 5，a b1， 第 9 页 / 共 17 页 (kab) (ka2b)k2a2ka b2b22k2k100，得 k2 或 k5 2. 当 kab 与 ka2b 互相垂直时，实数 k 的
20、值为 2 或5 2. 变式 2、如图，在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60 . 求：(1)AC1 的长； (2)BD1 与 AC夹角的余弦值 【解析】(1)记 AB a， ADb，AA 1 c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ， a bb cc a1 2. |AC1 |2(abc)2a2b2c22(a bb cc a)1112 1 2 1 2 1 2 6， |AC1 | 6，即 AC 1的长为 6. (2)BD1 bca， ACab， |BD1 | 2，| AC| 3， BD1 AC(bca) (ab) b2a
21、2a cb c1， cosBD1 ， ACBD1 AC |BD1 | AC| 6 6 . 即BD1 与 AC夹角的余弦值为6 6 . 方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a b|a|b|cosa，b. (2)坐标法：设 a(x1，y1， z1)，b(x2，y2，z2)，则 a bx1x2y1y2z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直 关系， 通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式， 可以求异面直线所成的角， 也可以求二面角. 可 以通过|a| a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想 考点四 利用空间向量
22、证明平行或垂直 例 4 如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为 AC 与 BD 的交点， 第 10 页 / 共 17 页 BB1 2，M 是线段 B1D1的中点求证： (1) BM平面 D1AC； (2) D1O平面 AB1C. 【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点 O(1，1，0)，D1(0，0， 2)， 所以OD1 (1，1， 2) 又点 B(2，2，0)，M(1，1， 2)， 所以BM (1，1， 2)， 所以OD1 BM . 又因为 OD1与 BM 不共线， 所以 OD1BM. 又 OD1平面 D1AC，BM平面 D
23、1AC， 所以 BM平面 D1AC. (2) 连结 OB1，点 B1(2，2， 2)，A(2，0，0)，C(0，2，0) 因为OD1 OB1 (1，1， 2) (1，1， 2)0， OD1 AC (1，1， 2) (2，2，0)0， 所以OD1 OB1 ，OD1 AC ， 即 OD1OB1，OD1AC. 又 OB1ACO，OB1，AC平面 AB1C， 所以 D1O平面 AB1C. 变式 1、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD 2 2 AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点求证： (1) EF平面 PAD； (
24、2) 平面 PAB平面 PDC. 第 11 页 / 共 17 页 【证明】 (1) 如图，取 AD 的中点 O，连结 OP，OF. 因为 PAPD，所以 POAD. 因为侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PO平面 ABCD. 又 O，F 分别为 AD，BD 的中点，所以 OFAB. 又四边形 ABCD 是正方形，所以 OFAD. 因为 PAPD 2 2 AD， 所以 PAPD，OPOAa 2. 以 O 为原点，OA，OF，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A a 2，0，0 ，F 0，a 2，0 ，D a 2，0，0 ，P 0
25、，0，a 2 ，B a 2，a，0 ，C a 2，a，0 . 因为 E 为 PC 的中点，所以 E a 4， a 2， a 4 . 易知平面 PAD 的一个法向量为OF 0，a 2，0 . 因为EF a 4，0， a 4 ， 且OF EF 0，a 2，0 a 4，0， a 4 0， 所以 EF平面 PAD. (2) 因为PA a 2，0， a 2 ，CD (0，a，0)， 所以PA CD a 2，0， a 2 (0，a，0)0， 所以PA CD ，所以 PACD. 又 PAPD，PDCDD， 所以 PA平面 PDC. 又 PA平面 PAB， 所以平面 PAB平面 PDC. 第 12 页 / 共
26、 17 页 变式 2、如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD 2 2 AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点 求证：(1)EF平面 PAD； (2)平面 PAB平面 PDC. 【证明】(1)如图，取 AD 的中点 O，连接 OP，OF. 因为 PAPD，所以 POAD.因为侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， PO平面 PAD， 所以 PO平面 ABCD. 又 O，F 分别为 AD，BD 的中点，所以 OFAB. 又 ABCD 是正方形，所以 OFAD. 因为 PAPD 2 2 AD，
27、所以 PAPD，OPOAa 2. 以 O 为原点，OA，OF，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A a 2，0，0 ，F 0，a 2，0 ，D a 2，0，0 ， P 0，0，a 2 ，B a 2，a，0 ，C a 2，a，0 . 因为 E 为 PC 的中点，所以 E a 4， a 2， a 4 . 易知平面 PAD 的一个法向量为 OF 0，a 2，0 ， 因为 EF a 4，0， a 4 ， 且 OF EF 0，a 2，0 a 4，0， a 4 0， 又因为 EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD. (2)因为 PA a 2，0， a 2 ， CD (
28、0，a,0)， 第 13 页 / 共 17 页 所以 PA CD a 2，0， a 2 (0，a,0)0， 所以 PA CD，所以 PACD. 又 PAPD，PDCDD，PD，CD平面 PDC， 所以 PA平面 PDC. 又 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面 PDC. 方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素 (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系 (4)根据运算结果解释相关问题 五、优化提升与真题演练 1、已知空间任意一点
29、O 和不共线的三点 A，B，C，若 OP x OAy OBz OC(x，y，zR)，则“x2， y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 x2，y3，z2 时，即 OP 2 OA3 OB2 OC.则 AP AO2 OA3( AB AO) 2( AC AO)，即 AP3 AB2 AC，根据共面向量定理知，P，A，B，C 四点共面；反之，当 P，A， B，C 四点共面时，根据共面向量定理，设 AP m ABn AC(m，nR)，即 OP OAm( OB OA) n( OC OA)，即 OP(
30、1mn) OAm OBn OC，即 x1mn，ym，zn，这组数显然不止 2，3,2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件 2、(多选)已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 AB (2，1，4)，AD(4,2,0)， AP (1,2，1)下列结论正确的有( ) AAPAB BAPAD C. AP 是平面 ABCD 的一个法向量 D. AP BD 【答案】ABC 【解析】对于 A， AB AP2 (1)(1) 2(4) (1)0， AP AB，即 APAB，A 正确；对 第 14 页 / 共 17 页 于 B，AP AD(1) 42 2(1)
31、 00， AP AD， 即 APAD， B 正确； 对于 C， 由 AP AB， 且 AP AD，得出 AP是平面 ABCD 的一个法向量，C 正确；对于 D，由 AP是平面 ABCD 的法向量，得 出 AP BD，则 D 错误故选 A、B、C. 3、(多选)已知 ABCD- A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( ) A(A1A A 1D1 A 1B1 )23(A 1B1 )2 B.A1C (A 1B1 A 1A )0 C向量AD1 与向量A 1B 的夹角是 60 D正方体 ABCD- A1B1C1D1的体积为| AB AA 1 AD| 【答案】AB 【解析】由向量的加法得到：A1A
32、 A 1D1 A 1B1 A 1C ，A 1C 23A 1B 2 1，(A1C )23(A 1B1 )2，所以 A 正确；A1B1 A 1A AB 1 ，AB 1A1C，A1C AB 1 0，故 B 正确；ACD 1是等边三角形，AD1C 60 ，又 A1BD1C，异面直线 AD1与 A1B 所成的角为 60 ，但是向量AD1 与向量A 1B 的夹角是 120 ，故 C 不正确；ABAA1， AB AA 1 0，故| AB AA 1 AD|0，因此 D 不正确故选 A、B. 4、如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA90 ，棱 AA12，M， N 分别是
33、A1B1，A1A 的中点 (1)求BN 的模； (2)求 cosBA1 ，CB1 的值； (3)求证：A1BC1M. 【解析】 (1)如图，以点 C 作为坐标原点 O，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 第 15 页 / 共 17 页 空间直角坐标系. 由题意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)，|BN | （10）2（01）2（10）2 3. 第 3 题图 (2)由题意得 A1(1，0，2)， B(0，1，0)，C(0，0，0)， B1(0，1，2)，BA1 (1，1，2)，CB1 (0，1，2)， BA1 CB1 3，|BA1 | 6，|CB1 | 5， co
34、sBA1 ，CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 30 10 . (3)由题意得 C1(0，0，2)，M 1 2， 1 2，2 ，A1B (1，1，2)，C1M 1 2， 1 2，0 ， A1B C1M 1 2 1 200，A1B C1M ，即 A1BC1M. 5、 【2020 年北京卷】如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 第 16 页 / 共 17 页 （）求证： 1/ / BC平面 1 ADE； （）求直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值 【解析】）如下图所示： 在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 /AB AB且 11 A
35、BAB， 1111 /ABC D且 1111 ABC D， 11 /AB C D且 11 ABC D，所以，四边形 11 ABC D为平行四边形，则 11 /BCAD， 1 BC 平面 1 ADE， 1 AD 平面 1 ADE， 1/ BC平面 1 ADE； （）以点A为坐标原点，AD、AB、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标 系Axyz， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，则0,0,0A、 1 0,0,2A、 1 2,0,2D、0,2,1E， 1 2,0,2AD ，0,2,1AE ， 第 17 页 / 共 17 页 设平面 1 ADE的法向量为, ,nx y z，由 1 0 0 n AD n AE ，得 220 20 xz yz ， 令2z ，则2x，1y ，则2,1, 2n . 1 1 1 42 cos, 3 23 n AA n AA nAA . 因此，直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值为 2 3 .
