1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 46 讲讲 直线的方程直线的方程 一、课程标准 1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一 次函数的关系. 二、基础知识回顾 1. 当直线 l 与 x 轴相交时，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正 角称为这条直线 l 的倾斜角，并规定：直线 l 与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0 ，因此倾斜角 的范围是 0 180 2. 当倾斜角 90
2、时，tan 表示直线 l 的斜率，常用 k 表示，即 ktan.当 90 时，斜率不存在当直线 过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且 x1x2时，ky2y1 x2x1 3. 直线方程的几种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 三、自主热身、归纳总结 1、 如果 A C0 且 B C0， 在 y 轴上的截距 C
3、B0， 故直线经过第一、 二、四象限，不经过第三象限故选 C. 2、 若过点 M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) 第 2 页 / 共 10 页 A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 1 或 4 【答案】 A 【解析】 由题意得 4m m（2）1，解得 m1. 3、 直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0， 4 B. 3 4 ， C. 0， 4 2， D. 4， 2 3 4 ， 【答案】 B 【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为 k 1 a21， 又1 1 a210， 所以倾斜角的取值范围是 3 4 ， . 4、过直线 l：yx
4、上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，则直线 m 的方程 为_ 【答案】 ：x2y20 或 x2 【解析】 ：若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x2，直线 m，直线 l 和 x 轴围成的三角形的面积 为 2， 符合题意； 若直线 m 的斜率 k0， 则直线 m 与 x 轴没有交点， 不符合题意； 若直线 m 的斜率 k0， 设其方程为 y2k(x2)，令 y0，得 x22 k，依题意有 1 2 22 k 22，即 11 k 1，解得 k1 2， 所以直线 m 的方程为 y21 2(x2)，即 x2y20.综上可知，直线 m 的方程为
5、x2y20 或 x2. 5、过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的1 3的直线方程为_ 【答案】4x3y130 【解析】设所求直线的斜率为 k，依题意 k4 1 3 4 3.又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y3 4 3(x1)，即 4x3y130. 6、过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为_ 【答案】2x3y60 或 x2y20 【解析】设直线方程的截距式为 x a1 y a1，则 6 a1 2 a 1，解得 a2 或 a1，则直线的方程是 x 21 y 21 或 x 11 y 11，即 2x3y60 或 x2y20. 四、
6、例题选讲 考点一 直线的斜率与倾斜角 第 3 页 / 共 10 页 例 1、（徐州一中模拟）(1)直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜角的取值范围是( ) A. 6， 3 B. 4， 3 C. 4， 2 D. 4， 2 3 (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围是 _ 【答案】 (1)B (2)(， 31，) 【解析】(1)直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ，因为 6， 3 ，所以1 2cos 3 2 ，因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3 又 0，)，所以 4
7、， 3 ，即倾斜角的取值范围是 4， 3 . (2)如图，因为 kAP10 211， kBP 30 01 3， 所以 k(， 31，) 变式： （1）若图中的直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则( ) Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1 Dk1k3k2 （2）若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_ （3）已知点(1,2)和 3 3 ，0 在直线 l：axy10(a0)的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是_ 【答案】（1）D （2） 4 （3） 2 3 ，3 4 【解析】（1）直线 l1的倾斜角 1是钝角，故 k10.直线 l2
8、与 l3的倾斜角 2与 3均为锐角，且 23，所 以 0k3k2，因此 k1k3k2.故选 D. （2）因为 kAC53 641，kAB a3 54a3.由于 A，B，C 三点共线，所以 a31，即 a4. （3）（3）点(1,2)和 3 3 ，0 在直线 l：axy10 同侧的充要条件是(a21) 3 3 a1 0，解得 第 4 页 / 共 10 页 3a1，即直线 l 的斜率的范围是( 3，1)，故其倾斜角的取值范围是 2 3 ，3 4 . 方法总结：1. 倾斜角 与斜率 k 的关系 当 0， 2 且由 0 增大到 2 2 时，k 的值由 0 增大到； 当 2， 时，k 也是关于 的单调函
9、数，当 在此区间内由 2 2 增大到 ()时，k 的值由 增大到趋近于 0(k0) 2. 斜率的两种求法 (1) 定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 ktan 2 求斜率 (2) 公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1 x2x1(x1x2)求斜率 考点二 直线方程的求法 例 2、根据所给条件求直线的方程 (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5. 【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故
10、可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10 10 (0)，从而 cos 3 10 10 ， 则 ktan 1 3.故所求直线方程为 y 1 3(x4)， 即 x3y40 或 x3y40. (2)由题设知截距不为 0，设直线方程为x a y 12a1. 又直线过点(3,4)，从而3 a 4 12a1， 解得 a4 或 a9. 故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x50； 当斜率存在时，设斜率为 k，则所求直线方程为 y10k(x5)， 即 kxy(105k)0. 第 5 页 / 共 10 页 由点到直线的距离公式得|105k| k21 5，解
11、得 k3 4. 故所求直线方程为 3x4y250. 综上，所求直线方程为 x50 或 3x4y250. 变式 1、(1)若直线经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为 _ (2)若直线经过点 A( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半，则该直线的方程为 _ (3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为_ 【解析】 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 ykx，将(5,2)代入 ykx 中，得 k 2 5，此时，直线
12、方程为 y 2 5x，即 2x5y0. 当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为 x 2a y a1， 将(5,2)代入所设方程，解得 a1 2，此时，直线方程为 x2y10. 综上所述，所求直线方程为 x2y10 或 2x5y0. (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3，所以倾斜角为 120 ，从而所求直线的倾斜角为 60 ，故所 求直线的斜率为 3. 又直线过点 A( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即 3xy60. (3)设 C(x0，y0)，则 M 5x0 2 ，y02 2 ，N 7x0 2 ，y03 2 . 因为点 M 在 y 轴上，所以5x0 2 0，所
13、以 x05. 因为点 N 在 x 轴上，所以y03 2 0， 所以 y03，即 C(5，3)， 所以 M 0，5 2 ，N(1,0)， 所以直线 MN 的方程为x 1 y 5 2 1， 即 5x2y50. 答案 (1)x2y10 或 2x5y0 第 6 页 / 共 10 页 (2) 3xy60 (3)5x2y50 变式 2、根据所给条件求直线的方程： (1)过点 P(2，4)且斜率 k3； (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12. 【解析】 (1)由题设知，该直线可采用点斜式直线 l 的方程为 y43(x2)，即 3xy100. (2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵
14、截距均不为 0，故可设直线方程为x a y 12a1.直线过 点(3，4)，3 a 4 12a1，解得 a4 或 9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90. 方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程； 在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程在求直线方程时，最后结果 要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况 考点三 直线方程的综合应用 例 3、 （辽宁阜新实验中学 2019 届模拟）(1)已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a 2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围
15、成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值 (2)已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，如图所示，求ABO 的面积的最 小值及此时直线 l 的方程 【解析】(1)由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2在 x 轴上的截距为 a22， 所以四边形的面积 S1 2 2 (2a) 1 2 2 (a 22)a2a4 a1 2 215 4 ， 当 a1 2时， 面积最小 故 当四边形的面积最小时，实数 a 的值为1 2. (2)依题意知直线 l 的斜率 k 存在且 k0， 则直线 l 的方程
16、为 y2k(x3)(k0，b0)， 直线 l 经过点 P(4，1)，4 a 1 b1. (1)4 a 1 b12 4 a 1 b 4 ab，ab16，当且仅当 a8，b2 时等号成立，当 a8，b2 时，AOB 的面积最小，此时直线 l 的方程为x 8 y 21，即 x4y80. (2)4 a 1 b1，a0，b0， |OA|OB|ab(ab) 4 a 1 b 5a b 4b a 52 a b 4b a 9，当且仅当 a6，b3 时等号成立， 当|OA|OB|取最小值时，直线 l 的方程为x 6 y 31，即 x2y60. 变式 2、已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l
17、过定点； (2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S 的 最小值及此时直线 l 的方程 【证明】 (1)直线 l 的方程可化为 yk(x2)1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点(2，1) (2)直线 l 的方程可化为 ykx2k1， 则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1， 要使直线 l 不经过第四象限，则 k0， 12k0， 故 k 的取值范围是 k0. (3)依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为12k k ， 在 y 轴上的截距为 12k，且 k0，
18、A 12k k ，0 ，B(0，12k)， 第 8 页 / 共 10 页 故 S1 2|OA|OB| 1 2 12k k (12k) 1 2 4k1 k4 1 2 (44)4， 当且仅当 4k1 k，即 k 1 2时取等号， 故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x2y40. 方法总结： (1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程， 这时要能够整理成过定点的直线系， 即能够看出“动 中有定” (2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等 式求解最值 五、优化提升与真题演练 1、（黑龙江哈尔滨市第六中学 2019 届质检） 若 是直线 l
19、 的倾斜角， 且 sin cos 5 5 ， 则 l 的斜率为( ) A1 2 B. 1 2或2 C. 1 2或 2 D2 【答案】D 【解析】sin cos 5 5 ， (sin cos )212sin cos 1 5， 2sin cos 4 5，(sin cos ) 29 5， 易知 sin 0，cos 0， sin cos 3 5 5 ， 由解得 sin 2 5 5 ， cos 5 5 ， tan 2，即 l 的斜率为2. 2、(多选)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l 方程可能为( ) Axy10 Bxy30 C2xy0 Dxy10 第 9 页 / 共
20、 10 页 【答案】ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为 k20 102，所求的直线方程为 y2x，即 2xy0；当直线不过原 点时，设所求的直线方程为 x yk，把点 A(1,2)代入可得 12k 或 12k，求得 k1 或 k3，故所 求的直线方程为 xy10 或 xy30；综上知，所求的直线方程为 2xy0，xy10 或 xy3 0.故选 A、B、C. 3、(多选)经过点 B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( ) Axy10 Bxy70 C2xy20 D2xy100 【答案】AB 【解析】由题意可知，所求直线的斜率为 1.又过点(3,4)，由点斜式得 y4
21、(x3)所求直线的方程为 x y10 或 xy70. 4、（江苏扬州中学 2019 届模拟）已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S 的 最小值及此时直线 l 的方程 【解析】(1)证明：直线 l 的方程可化为 yk(x2)1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点(2,1) (2)直线 l 的方程为 ykx2k1， 则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1， 要使直线 l 不经过第四象限，则 k0， 12k0， 解得 k0， 故 k 的取值范围是)0， . (3)依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为12k k ，在 y 轴上的截距为 12k， A 12k k ，0 ，B(0,12k) 又12k k 0 且 12k0，k0. 故 S1 2|OA|OB| 1 2 12k k (12k) 第 10 页 / 共 10 页 1 2 4k1 k4 1 2(44)4， 当且仅当 4k1 k，即 k 1 2时，取等号 故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x2y40.
