1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 50 讲：圆与圆的位置关系讲：圆与圆的位置关系 一、课程标准 1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程 组的解的情况 外离 dr1r2 无解 外切 dr1r2 一组实数解 相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解
2、内含 0d0)， | |a 2 2 ( 2)2a2，解得 a2，由|21 ()01 2( )21 20)，则由题意得 a 2b2r2， ()a5 2( )b5 2( )r 5 2 2， a2()b6 2r2 解之得圆 C 方程为(x3)2(y3)218. 5、半径为 6 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2(y3)21 内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x 4)2(y6)236 【解析】 由题意知，圆心可设为(a，6)，半径 r6，()a0 2( )63 261，a 4，所求圆的 方程为(x 4)2(y6)236. 6、 （河北省石家庄二中 2019 届期末）已知圆 C1：x2y22mx4ym
3、250 与圆 C2：x2y22x2my m230，若圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m_. 【答案】2 或5 【解析】圆 C1：(xm)2(y2)29，圆 C2：(x1)2(ym)24，则 C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r2 2.当圆 C1与圆 C2相外切时，显然有|C1C2|r1r2，即m1 2 m2 25，整理得 m23m10 0，解得 m5 或 m2. 四、例题选讲 考点一、圆与圆的位置关系 例 1、已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210 x12ym0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？ 第 3 页 / 共 10 页 (3)求 m45 时两
4、圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 【解析】 两圆的标准方程为(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 圆心分别为 M(1,3)， N(5,6)， 半径分别为 11和 61m. (1)当两圆外切时， 22 (5 1)(63) 11 61m，解得 m2510 11. (2)当两圆内切时， 因定圆的半径 11小于两圆圆心距 5， 故只有 61m 115， 解得 m2510 11. (3)当 m45 时，4 11|MN|5 114，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x 6y1)(x2y210 x12y45)0，即 4x3y230. 所以公共弦长为 2 22 4 1
5、3 323 2 112 7 43 . 变式 1、分别求当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0 相 交和相切 【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得 C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k， 则圆 C1的圆心为 C1(2，3)，半径 r11；圆 C2的圆心为 C2(1，7)，半径 r2 50k，k50. 从而|C1C2|（21）2（37）25. 当| 50k1|5 50k1，即 4 50k6， 即 14k3， 解得 m 13 8 ， 又直线与圆相交， 所以 d11， 则|km| 2 1k2 1， 即 m21k 2 k2
6、， 所以 m2168m 3 ， 即 3m28m160，解得4m0)， 则圆 C2： (x2)2(y3)2r2(r0)， 即 x2y24x6y13r20， 再将 A(x1， y1)，B(x2，y2)代入圆 C2方程中得，x21y214x16y113r20，x22y224x26y213r20， 由 x21y21x22y22，从而 4x16y14x26y2，所以 2(x1x2)3(y1y2) 由得2m 2 4m6 3 ，从而 m6. 6、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :(1)2Cxy，点(2 0)A ，若圆C上存在点M，满足 22 10MAMO，则点M的纵坐标的取值范围是 【答案】 77
7、, 22 思路分析：思路分析：根据条件可得动点M的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理. 解题过程：解题过程：设),(yxM，因为 22 10,MAMO所以10)2( 2222 yxyx，化简得 032 22 xyx，则圆012: 22 xyxC与圆032: 22 xyxC有公共点，将两圆方程相 减可得两圆公共弦所在直线方程为 2 1 x，代入032 22 xyx可得 2 7 2 7 y，所以点M的 纵坐标的取值范围是 77 , 22 7、已知圆 C 经过点 A 7 4 ，17 4 ，B 31 8 ，33 8 ，直线 x0 平分圆 C，直线 l 与圆 C 相切，与圆 C1：x
8、2 第 9 页 / 共 10 页 y21 相交于 P，Q 两点，且满足 OPOQ. (1)求圆 C 的方程； (2)求直线 l 的方程 【解析】(1)依题意知圆心 C 在 y 轴上，可设圆心 C 的坐标为(0，b)，圆 C 的方程为 x2(yb)2r2(r 0) 因为圆 C 经过 A，B 两点， 所以 7 4 2 17 4 b 2 31 8 2 33 8 b 2， 即 7 16 289 16 17 2 bb231 64 1 089 64 33 4 bb2，解得 b4. 则 r2 7 4 2 17 4 4 21 2， 所以圆 C 的方程为 x2(y4)21 2. (2)当直线 l 的斜率不存在时
9、，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x 2 2 ，此时直线 l 与 C1交于 P，Q 两点， 不妨设 P 点在 Q 点的上方，则 P 2 2 ， 2 2 ，Q 2 2 ， 2 2 或 P 2 2 ， 2 2 ，Q 2 2 ， 2 2 ，则 OP OQ 0，所以 OPOQ，满足题意 当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0， 设直线 l 的方程为 ykxm(k0，m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将直线 l 的方程与圆 C1的方程联立，得 ykxm， x2y21， 消去 y，整理得(1k2)x22kmxm210， 则 4k2m24(1k2)(m21)4(k2m21)0， 即
10、1k2m2，则 x1x2 2km 1k2，x1x2 m21 1k2， 所以 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k 2 m21 1k2 2k 2m2 1k2m 2m 2k2 1k2 ， 又 OPOQ，所以 OP OQ0， 即 x1x2y1y2m 21 1k2 m2k2 1k2 0， 故 2m21k2，满足 0，符合题意 因为直线 l：ykxm 与圆 C：x2(y4)21 2相切， 第 10 页 / 共 10 页 所以圆心 C(0,4)到直线 l 的距离 d |m4| 1k2 2 2 ， 即 m28m161k 2 2 ，故 m28m16m2，得 m2， 故 1k28，得 k 7. 故直线 l 的方程为 y 7x2. 综上，直线 l 的方程为 x 2 2 或 y 7x2.
