1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 51 讲讲 椭圆的方程椭圆的方程 一、课程标准 1、了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 3、通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想 4、了解椭圆的简单的应用. 二、基础知识回顾 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于| F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM| MF1|MF22a，|F1F22c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数 (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (
2、2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集 2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分 别记作 r1|PF1|，r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； (2)y 2 a2 x2 b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积 为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21
3、(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时， 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 第 2 页 / 共 11 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2020 河南洛阳一模)已知椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于( ) A5 B6 C9 D10 【答案】C 【解析】由椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 m311m2，解得 m9.故选 C. 2、适合 b1，c 15，焦点在
4、y 轴上的椭圆的标准方程是( ) A. x2 4 y21 B. x2 16y 21 C. y2 4 x21 D. y2 16x 21 【答案】D 【解析】 由题意得，a b2c24 由焦点在 y 轴上，得椭圆的标准方程是y 2 16x 21.故选 D. 3、 已知方程 x2 2k y2 k11 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A. ，3 2 B. (1，2) C. 1，3 2 D. 1，3 2 3 2，2 【答案】C 【解析】 (方法 1)由焦点在 x 轴上，则 2kk1，则 kk1， 2k0， k10 ，解得 1k0，n0)上，且其中一个焦点是(2，0)，则椭圆
5、M 的方程 为（ ） A. x2 12 y2 161 B. x2 16 y2 121 C. x2 48 y2 641 D. x2 64 y2 481 【答案】B 【解析】 (方法 1)由一个焦点是(2，0)，知焦点在 x 轴上，排除 A，C，由题意知 c2，与选项 D 中的 c 64484 矛盾故选 B. (方法 2)由题意知椭圆 M 是标准方程，由一个焦点是(2，0)，知焦点在 x 轴上，c2，另一个焦点是 (2，0)，由椭圆定义，得 2a （22）29 （22）29538，a4，b2a2c212.故选 B. 5、 (2020 安徽江南十校模拟)已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O， 点 F，
6、 B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点 点 O 到直线 BF 的距离为 3，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G 的方程是( ) A.x 2 4 y2 21 B.y 2 4 x2 21 C.x 2 16 y2 41 D.y 2 16 x2 41 【答案】C 【解析】设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，由已知设 BF 的方程为 x c y b1，因为点 O 到直线 BF 的距离为 3.所以bc a 3，又因为过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，所以2b 2 a 2，结合 a2b2c2，知 a4，b2， 故选 C. 四、例题选讲 第 4 页 / 共 11 页 考点一 椭圆
7、的定义及其应用 例 1 已知圆 F1：(x1)2y216，定点 F2(1，0)，动圆 M 过点 F2，且与圆 F1相内切，那么点 M 的轨迹 C 的方程为_ 【答案】x 2 4 y 2 3 1 【解析】 设圆 M 的半径为 r.圆 M 与圆 F1相内切，MF14r.圆 M 过点 F2，MF2r，MF14 MF2， 即MF1MF24F1F2， 点M的轨迹C是以F1， F2为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则有 2a4，c1，a2，b 3，轨迹 C 的方程为x 2 4 y 2 31. 变式 1、(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周
8、上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF1 PF2 .若PF1F2的面 积为 9，则 b_. 【答案】(1)A (2)3 【解析】 (1)由折叠过程可知点 M 与点 F 关于直线 CD 对称， 所以|PM|PF|， 所以|PO|PF|PO|PM| |OM|r，由椭圆的定义可知点 P 的轨迹为椭圆 (2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则 r1r22a， r21r
9、224c2， 所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2.又因为 S PF1F21 2r1r2b 29，所以 b3. 变式 2、如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是_ 第 5 页 / 共 11 页 【答案】以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆 【解析】 连结 QA，由已知得 QAQP.QOQAQOQPOPr.又点 A 在圆内，OAOP，根 据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆 变式 3、曲线x 2 2
10、5 y2 91 与曲线 x2 25k y2 9k1(k9)的( ) A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 【答案】D 【解析】曲线 x2 25 y2 91 表示焦点在 x 轴上的椭圆，c 225916，焦距为 8.曲线 x2 25k y2 9k1(k9)表 示焦点在 x 轴上的椭圆，c2(25k)(9k)16，焦距为 8.故选 D. 方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义 和余弦定理可求| PF1|PF2，通过整体代入可
11、求其面积等 考点二 椭圆的标准方程 例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个顶点为(3，0)，(3，0)，离心率为2 2 3 ； (2)过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 91 有相同焦点的椭圆的标准方程 【解析】 (1)如果焦点在 x 轴上，则 a3，离心率c a 2 2 3 ，c2 2，b2a2c21，椭圆的标 准方程为x 2 9 y21；如果焦点在 y 轴上，则 b3，将c a 2 2 3 代入 b2a2c2中，得 a28 9a 29，a281， 第 6 页 / 共 11 页 椭圆的标准方程为x 2 81 y2 91.故所求椭圆的标准方程为 x2 9 y21 和x
12、 2 81 y2 9 1. (2)(方法 1)椭圆y 2 25 x2 9 1 的 a5，b3， c 4 ， 焦 点 为 (0 ， 4) ， (0 ， 4) 由 椭 圆 定 义 知 ， 2a （ 30）2（ 54）2 （ 30）2（ 54）2，解得 a2 5.由 c2a2b2得 b24. 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. (方法 2)设所求椭圆方程为 y2 25k x2 9k1(kb0)， 第 7 页 / 共 11 页 由题意得 a 2b21， 4 a 2 3 b 21，解得 a 242 3， b 232 3 或 a 242 3， b 232 3 (舍去)， 所以椭圆的标准方程为
13、x 2 42 3 y 2 32 31. 变式 2、（江西金溪一中 2019 届模拟）(1)若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆 的标准方程为( ) A.x 2 5y 21 B.x 2 4y 21 C.x 2 5y 21 或x 2 4 y2 51 D以上答案都不正确 (2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成 等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 2 8 y2 61 B. x2 16 y2 61 C.x 2 8 y2 41 D. x2 16 y2 41 【答案】 (1)C (2)A 【解析
14、】(1)直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时，c2，b1，所以 a25， 所求椭圆的标准方程为x 2 5y 21；当焦点在 y 轴上时，b2，c1，所以 a25，所求椭圆的标准方程为y 2 5 x2 41. (2)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由点 P(2， 3)在椭圆上知 4 a2 3 b21.又|PF1|，|F1F2|，|PF2| 成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a2 2c，c a 1 2，又 c 2a2b2，联立得 a28，b26.所以椭圆 方程为x 2 8 y2 61. 变式 3、在平面直角坐标系 xOy
15、 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，椭圆上动点 P 到一个焦点的 距离的最小值为 3( 21)，求椭圆 C 的标准方程 第 8 页 / 共 11 页 【解析】 由题意知c a 2 2 ，设 P(x0，y0)，F 为椭圆的右焦点，由椭圆的第二定义知： PF a2 c x0 c a，即 PFa c ax0，又ax0a，PFac，即 ac3( 21)，解得 a3 2，c3，b3，则椭圆 C 的标准 方程为x 2 18 y2 91. 方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤： 作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上、在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
16、设方程：根据上述判断设方程x 2 a2 y2 b21(ab0)或 x2 b2 y2 a21(ab0)或 mx 2ny21(m0，n0)； 找关系：根据已知条件，建立关于 a、b、c 的方程组； 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考全国卷】已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若 ，则 C 的方程为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则， 12 1,01,0FF()， () 22 | 2|AFF B 1 | |ABBF 2 2 1 2 x y 22 1 32 xy 22 1 43
17、xy 22 1 54 xy 2 F Bn 21 2 ,3AFn BFABn 第 9 页 / 共 11 页 由椭圆的定义有 在中，由余弦定理推论得 在中，由余弦定理得，解得 所求椭圆方程为，故选 B 法二：由已知可设，则， 由椭圆的定义有 在和中，由余弦定理得， 又互补，两式消去， 得，解得所求椭圆方 程为，故选 B 2、 设点 F1，F2分别是椭圆x 2 25 y2 161 的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，点 M 是 F1P 的中点，OM3， 则点 P 到椭圆左焦点的距离为_ 【答案】4 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 1 AFB 222 1 4991 cos 2 233
18、nnn F AB nn 12 AFF 22 1 442 224 3 nnnn 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 22 1 32 xy 2 F Bn 21 2 ,3AFn BFABn 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 12 AFF 12 BFF 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn 2121 ,AF FBF F 2121 coscos0AF FBF F 2121 coscosAF FBF F, 22 3611nn 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 22 1 32
19、xy 第 10 页 / 共 11 页 【解析】 由题意知 OM1 2PF23，PF26，PF12564. 3、 已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且F1PF260，S PF1F23 3，则 b_ 【答案】3 【解析】 由题意得 PF1PF22a，又F1PF260，PF21PF222PF1PF2cos60F1F22， (PF1PF2)23PF1PF24c2，3PF1PF2 4a24c24b2，PF1PF24 3b 2， SPF1F21 2PF1PF2sin60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3，b3. 4、点 P
20、 是椭圆x 2 25 y2 161 上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为 1，当 P 在第一象 限时，P 点的纵坐标为_ 【答案】8 3. 【解析】 PF1PF210，F1F26，SPF1F21 2(PF1PF2F1F2) 18 1 2F1F2yP3yP，yP 8 3. 5、【2019 年高考全国 卷理数】设 12 FF， 为椭圆C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限. 若 12 MFF 为等腰三角形，则M的坐标为_. 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc ， 112 28MFFFc，
21、2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ， 第 11 页 / 共 11 页 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x （ 0 3x 舍去） ， M的坐标为3, 15 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程 【解析】 (方法 1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由题意得 2a32b， 9 a2 0 b21， 解得 a3， b1，椭圆的标准方程为 x2 9 y21.若焦点在 y 轴上，设方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)由题意得 2a32b， 0 a2 9 b21， 解得 a9， b3. 椭圆的标准方程为y 2 81 x2 91. 综上所述，椭圆的标准方程为x 2 9y 21 或y 2 81 x2 9 1. (方法 2)设椭圆的方程为x 2 m y2 n 1(m0， n0， mn)， 则由题意知 9 m1， 2 m32 n 或 9 m1， 2 n32 m， 解得 m9， n1 或 m9， n81. 椭圆的标准方程为x 2 9y 21 或y 2 81 x2 9 1.
