1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 53 讲讲 双曲线双曲线 一、课程标准 1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质 3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 二、基础知识回顾 1、 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2)的点的轨迹叫做双曲线这两 个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM| |MF1|MF22a，|F1F22c，其中 a，c 为常数，且 a0，c0. (1)当 ac 时，点 P 的轨迹是双曲线；
2、(2)当 ac 时，点 P 的轨迹是两条射线； (3)当 ac 时，点 P 不存在 2 、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性 质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 e c a ，e(1，) a，b，c 的关系 c2a2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A22a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它 第 2 页 /
3、共 13 页 的长|B1B22b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 三、常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ，也叫通径 2、与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 x2 a2 y2 b2t(t0) 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 4、若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca. 四、自主热身、归纳总结 1、 双曲线x 2 3 y 2 2 1 的焦距为( ) A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 1 【答案】 C 【解析】 由题意得
4、c2325，所以 c 5，所以双曲线的焦距为 2 5. 2、以椭圆x 2 4 y 2 3 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( ) A. x2y 2 3 1 B. x2 3 y21 C. x2y 2 21 D. x2 4 y 2 3 1 【答案】 A 【解析】 设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)由题意得双曲线的顶点为( 1，0)，焦点为( 2，0)，所以 a1，c2，所以 b2c2a23，所以双曲线的标准方程为 x2y 2 31. 3、已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x，且与椭圆x 2 12 y2 3 1 有
5、公共焦点， 则 C 的方程为( ) A. x2 8 y 2 101 B. x2 4 y 2 5 1 C. x2 5 y 2 4 1 D. x2 4 y 2 3 1 【答案】B 【解析】双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，在椭圆中：a 212，b23，c29，c 3，故双曲线 C 的焦点坐标为( 3，0)，双曲线中的方程组：b a 5 2 ，c3，c2a2b2，解得 a24，b2 第 3 页 / 共 13 页 5，则双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 5 1.故选 B. 4、设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左
6、、右焦点，O 是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的 垂线，垂足为 P.若|PF1| 6|OP|，则 C 的离心率为( ) A. 5 B2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为 yb ax， 则 F2到 yb ax 的距离 d |bc| a2b2b. 在 RtF2PO 中，|F2O|c， 所以|PO|a，所以|PF1| 6a， 又|F1O|c，所以在F1PO 与 RtF2PO 中， 根据余弦定理得 cosPOF1a 2c2 6a 2 2ac cosPOF2a c， 即 3a2c2( 6a)20，得 3a2c2，所以 ec a 3. 5、(多选)已知双曲线 C 过
7、点(3， 2)且渐近线为 y 3 3 x，则下列结论正确的是( ) AC 的方程为x 2 3y 21 BC 的离心率为 3 C曲线 yex 21 经过 C 的一个焦点 D直线 x 2y10 与 C 有两个公共点 【答案】AC 【解析】设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21，根据条件可知 b a 3 3 ，所以方程可化为 x2 3b2 y2 b21，将点(3， 2) 代入得 b21， 所以 a23， 所以双曲线 C 的方程为x 2 3y 21， 故 A 对； 离心率 ec a a2b2 a2 31 3 2 3 3 ，故 B 错；双曲线 C 的焦点为(2,0)，(2,0)，将 x2 代入
8、得 ye010，所以 C 对；联立 x2 3y 21， x 2y10 整理得 y22 2y20，则 880，故只有一个公共点，故 D 错故选 A、C. 第 4 页 / 共 13 页 6、已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线 的一条渐近线，则双曲线的方程为_ 【答案】x 2 8 y2 81 【解析】由离心率为 2，可知 ab，c 2a，所以 F( 2a,0)， 由题意知 kPF 40 0 2a 4 2a1， 所以 2a4，解得 a2 2， 所以双曲线的方程为x 2 8 y2 81. 7、(2020 广东
9、揭阳一模)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交 点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为_ 【答案】 51 2 【解析】将 x c 代入双曲线的方程得 y2b 4 a2y b2 a ，则 2c2b 2 a ，即有 acb2c2a2，由 ec a，可得 e2e10， 解得 e 51 2 或 e1 5 2 (舍) 五、例题选讲 考点一、双曲线的定义 例 1 (1)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过 F2 的直 线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若F1AB 是以 B 为直角顶点的等
10、腰直角三角形，则 e2_ (2)已知点 P 为双曲线x 2 16 y2 9 1 右支上一点，点 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M 为PF1F2的内 心(角平分线交于一点)，若 SPMF1SPMF28，则MF1F2的面积为_ 【答案】 （1）52 2 （2）10 【解析】 (1)如图所示，AF1AF22a，BF1BF22a，BF1AF2BF2，AF22a，AF14a.BF1 第 5 页 / 共 13 页 2 2a，BF22 2a2a.F1F22BF21BF22，(2c)2(2 2a)2(2 2a2a)2，e252 2. (2)设内切圆的半径为 R， a4， b3， c5， SPMF1SPM
11、F28， 1 2PF1 R 1 2PF2 R8， 1 2(PF1 PF2)R8，即 aR8，R2，SMF1F21 2 2c R10. 变式 1、（华东师范大学附中 2019 届模拟）(1)设 F1，F2是双曲线 x2y 2 241 的两个焦点，P 是双曲线上的 一点，且 3|PF14|PF2，则PF1F2的面积等于( ) A4 2 B8 3 C24 D48 (2)设双曲线x 2 4 y2 21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|BF2| |AF2|的最小值为_ 【答案】(1)C (2)10 【解析】 (1)双曲线的实轴长为 2， 焦距为|F
12、1F2|10.根据题意和双曲线的定义知2|PF1|PF2|4 3|PF2|PF2| 1 3|PF2|，所以|PF2|6，|PF1|8，所以|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2，所以 PF 1PF2.所以 SPF1F21 2|PF1| |PF2| 1 2 6 824. (2)由双曲线的标准方程x 2 4 y2 21 得 a2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以 |AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|， 当直线 l 过点 F1， 且垂直于 x 轴时， |AB|最小， 所以(|AF2| |BF2|)min|AB|min82b 2
13、 a 810. 变式 2、已知 F 是双曲线 C：x2y 2 81 的右焦点，P 是 C 左支上一点，A(0，6 6)，当APF 周长最小时， 该三角形的面积为_ 【答案】12 6 【解析】 设左焦点为 F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF 的周长为 AFAPPFAFAP2 PF1， APF 周长最小即为 APPF1最小， 当 A， P， F1在一条直线时最小， 过 AF1的直线方程为 x 3 y 6 6 1，与 x2y 2 81 联立，解得 P 点坐标为(2，2 6)，此时 SSAF1FSF1PF12 6. 方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进
14、而根据要求可求出双曲 线方程 第 6 页 / 共 13 页 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建 立为|PF1| |PF2|的关系 (3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是 双曲线的一支 考点二、双曲线的标准方程 例 2 (1)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0，4)两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_ (2)与双曲线x 2 9 y 2 161 有共同的渐近线，且经过点(3，2 3)的双曲
15、线的标准方程为_ 【答案】（1） x2 8 y2 8 1 （2）x 2 9 4 y 2 4 1 【解析】 (1)由题意得 ab， 40 0（c）1，c4，ab2 2，所求双曲线的方程为 x2 8 y2 8 1. (2)(方法 1)由题意可知所求双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21，由题意，得 b a 4 3， （3）2 a2 （2 3） 2 b2 1， 解得 a29 4，b 24. 双曲线的方程为4x 2 9 y 2 4 1. (方法 2)设所求双曲线方程x 2 9 y 2 16(0)，将点(3，2 3)代入得 1 4，双曲线方程为 4x2 9 y 2 41.
16、变式 1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)虚轴长为 12，离心率为5 4； (2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)； (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7) 【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)由题意知 2b12，e c a 5 4，所以 b 6，c10，a8.所以双曲线的标准方程为x 2 64 y2 361 或 y2 64 x2 361. (2)因为双曲线经过点 M(0,12)，所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26， 第 7 页 / 共 13 页
17、所以 c13，所以 b2c2a225.所以双曲线的标准方程为 y2 144 x2 251. (3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)， 所以 9m28n1， 72m49n1， 解得 m 1 75， n 1 25. 所以双曲线的标准方程 为y 2 25 x2 751. 变式 2、 （1）焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线y 2 4 x21 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 _ （2）过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右 焦点 F 为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双
18、曲线 C 的标准方程为_ 【答案】（1）x 2 5 y2 201 （2） x2 4 y2 121 【解析】： （1）设所求双曲线的标准方程为y 2 4x 2(0)，即x 2 y 2 41，则有 425，解得 5， 所以所求双曲线的标准方程为x 2 5 y2 201. （2） 因为渐近线 yb ax 与直线 xa 交于点 A(a， b)， c4 且 4a 2b24， 解得 a24， b212， 因此双曲线的标准方程为x 2 4 y2 121. 方法总结:求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值与双曲
19、线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2(0) (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值 考点三、 双曲线的性质 例 3、(2020 福建厦门一模)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近 线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN|2，ABF 的面积 为 8，则 C 的渐近线方程为( ) Ay 3x By 3 3 x 第 8 页 / 共 13 页 Cy 2x Dy 1 2x 【答案】
20、B 【解析】设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形， SABFSABF，即 bc8， 由 x2y2c2， x2 a2 y2 b21 可得 y b2 c ， 则|MN|2b 2 c 2，即 b2c， b2，c4， a c2b22 3， C 的渐近线方程为 y 3 3 x， 故选 B. 变式 1、已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点为 F1，F2，且双曲线 C 上的点 P 满足PF1 PF2 0，|PF1 |3，|PF2 |4，则双曲线 C 的离心率为_ 【答案】 5 【解析】 由双曲线的定义可得 2a|PF2 |PF1 |1，所以 a1
21、 2.因为PF1 PF2 0，所以PF1 PF2 ，所以(2c)2 |PF1 |2|PF2 |225，解得 c5 2，所以双曲线 C 的离心率为 e c a5. 变式 2、 已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且 PF1 4PF2，则双曲线的离心率 e 的最大值为_ 【答案】 5 3 【解析】 设F1PF2，由 PF1PF22a， PF14PF2， 得 PF1 8 3a， PF22 3a. 由余弦定理得 cos 17a 29c2 8a2 17 8 9 8e 2.因为 (0，所以 cos 1，1)，即117 8 9 8e 2
22、1，所以 10，b0)的两个焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若 边 MF1的中点 P 在双曲线上，则双曲线的离心率是_ 【答案】 31 第 9 页 / 共 13 页 【解析】 因为 MF1的中点 P 在双曲线上，所以 PF2PF12a.因为MF1F2为正三角形，边长都是 2c，所 以 3cc2a，所以 ec a 2 31 31. 方法总结：双曲线中一些几何量的求解方法 (1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等 式)即可求得 (2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的
23、比值，进而得出双曲线的渐近 线方程 (3)求双曲线的方程：依据题设条件求出 a，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程 (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解 考点四、直线与双曲线的位置关系 例 4、一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3的双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)交于 P，Q 两点，直线 l 与 y 轴 交于点 R，且OP OQ 3，PR 3RQ ，求直线和双曲线的方程 【解析】因为 e 3，所以 b22a2，所以双曲线方程可化为 2x2y22a2.设直线 l 的方程为 yxm，由 yxm， 2x2y22a2 得 x2
24、2mxm22a20，所以 4m24(m22a2)0，所以直线 l 一定与双曲线相交设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x22m，x1x2m22a2.因为PR 3RQ ，xRx13x2 4 0，所以 x13x2，所 以 x2m，3x22m22a2，消去 x2，得 m2a2.又OP OQ x1x2y1y2x1x2(x1m) (x2m)2x1x2 m(x1x2)m2m24a23，所以 m 1，a21，b22.直线 l 的方程为 yx 1，双曲线的方程为 x2y 2 2 1. 变式、若双曲线 E：x 2 a2y 21(a0)的离心率等于 2，直线 ykx1 与双曲线 E 的右支交于 A，B
25、 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若|AB6 3，点 C 是双曲线上一点，且OC m(OA OB )，求 k，m 的值 【解析】(1)由 c a 2， a2c21 得 a21， c22. 故双曲线 E 的方程为 x2y21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 第 10 页 / 共 13 页 ykx1， x2y21， 得(1k2)x22kx20. 因为直线与双曲线右支交于 A，B 两点，所以 x1x20， x1 x20， 0， 即 k1， 2k 24 1k2 20， 即 k1， 2k 2， 所以 1k 2，即 k 的取值范围是(1， 2) (2)由得 x1x2 2k k21， x
26、1x2 2 k21， 所以|AB| 1k 2 （x 1x2） 24x 1x22 （1k2）（2k2） （k21）2 6 3，整理得 28k455k2250，所以 k25 7或 k 25 4，又 1k 2，所以 k 5 2 ，所以 x1x24 5，y1 y2k(x1x2)28.设 C(x3，y3)，由OC m(OA OB )得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4 5m,8m)，因为点 C 是双曲线上一点，所以 80m264m21，得 m 1 4，故 k 5 2 ，m 1 4. 方法总结：解有关直线与双曲线的位置关系的方法 (1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程， 然后把直线
27、方程和双曲线方程组成方程组， 消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入 (2)与中点有关的问题常用点差法 (3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 年高考天津） 设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, )b 的直线为l若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ） A 22 1 44 xy B 2 2 1 4 y x C 2 2 1 4 x y D 22 1xy 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线的
28、焦点为1,0，所以直线l的方程为1 y x b ，即直线的斜率为b， 第 11 页 / 共 13 页 又双曲线的渐近线的方程为 b yx a ， 所以 b b a ，1 b b a ， 因为0,0ab， 解得1,1ab 故选：D 2、 （2020 年高考全国卷理数）.设双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离 心率为 5P是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【答案】A 【解析】5 c a ， 5ca ，根据双曲线的定义可得 12 2PFPFa ， 1 2 12 1 |4 2
29、PF F PFFSP ，即 12 |8PFPF， 12 FPF P， 22 2 12 |2PFPFc， 2 2 1212 24PFPFPFPFc，即 22 540aa ，解得1a ， 故选：A 3、 （2020 年高考全国卷理数）设O为坐标原点，直线x a 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近 线分别交于,D E两点，若ODE的面积为 8，则C的焦距的最小值为（ ） A4 B8 C16 D32 【答案】B 【解析】 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 双曲线的渐近线方程是 b yx a ， 直线x a 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy
30、Cab ab 的两条渐近线分别交于D，E两点 不妨设D为在第一象限，E在第四象限， 联立 xa b yx a ，解得 xa yb ， 第 12 页 / 共 13 页 故( , )D a b， 联立 xa b yx a ，解得 xa yb ， 故( ,)E ab， | 2EDb， ODE面积为： 1 28 2 ODE Sabab ， 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 其焦距为 22 222 22 168cabab ， 当且仅当 2 2ab 取等号， C的焦距的最小值：8. 故选：B 4、(2018 天津卷)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2
31、，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为 （ ） A.x 2 4 y2 121 B. x2 12 y2 41 C.x 2 3 y2 91 D. x2 9 y2 31 【答案】C 【解析】因为直线 AB 经过双曲线的右焦点且垂直于 x 轴，所以不妨取 A(c，b 2 a )，B c，b 2 a ，取双曲 线的一条渐近线为直线bxay0， 由点到直线的距离公式可得d1 |bcb2| a2b2 bcb2 c ， d2 |bcb2| a2b2 bcb2 c ， 因为 d1d26，所以bcb
32、 2 c bcb 2 c 6，所以 2b6，得 b3.因为双曲线的离心率为 2，所以c a2，所以 a2b2 a2 4，即a 29 a2 4，解得 a23，所以双曲线的方程为x 2 3 y2 91，故选 C. 5、（2019 年全国卷）设 F 为双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直 第 13 页 / 共 13 页 径的圆与圆 222 xya交于 P，Q 两点若PQOF，则 C 的离心率为（ ） A 2 B 3 C2 D 5 【答案】A 【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx轴， 又|PQOFc，|, 2 c PAPA为以OF为直径的圆的半径， | 2 c OA ，, 2 2 c c P ， 又P点在圆 222 xya上， 22 2 44 cc a，即 22 22 2 ,2 2 cc ae a 2e ，故选 A 6、(2018 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线 的距离为 3 2 c，则其离心率的值是_ 【答案】2 【解析】一条渐近线方程为 bxay0，由题知 bc a2b2 3 2 c，所以b c 3 2 ，即c 2a2 c2 3 4，即 a c 21 4， 所以 e24，所以 e2.
