1、 第 1 页 / 共 9 页 第第 33 讲：复数讲：复数 一、课程标准 1、了解复数的概念 2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义 3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾 二、知识梳理 1. 复数 (1)复数的意义：形如 zabi(a、bR)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21，a 叫做实 部，b 叫做虚部，复数集记作 C，数集 N、Z、Q、R、C 的关系是：NZQRC. (2)复数的模：zabi，|z| a2b2 (3)复数相等：z1a1b1i，z2a2b2i，z1z2，则 a1a2，b1b2 (4)共轭复数：zabi
2、，zabi；z 与 z互为共轭复数 2. 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：z1 z2 abi cdi （abi）（cdi） （cdi）（cdi） （acbd）（bcad）i c2d2 (cdi0) 3. 复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 (2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴
3、实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚 轴上的点都表示纯虚数 4. 复数的几何表示 复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ (a，b)(a，bR)是一一对应关系 第 2 页 / 共 9 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2017 无锡期末） 已知复数 z 2 1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为_ 【答案】. 1i 【解析】 ：因为复数 z 2 1i 21i 1i1i1i，所以复数 z 的共轭复数 z 1i. 2、(2017 常州期末） 已知 x0，若(xi)2是纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则 x_. 【答案】. 1 【解析】 ：因为(xi)2x22xii
4、2x212xi 为纯虚数，所以 x210， x0， x0， 解得 x1. 3、(2017 苏州期末）已知复数 z1i 2i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为_ 【答案】 1 2 思路分析 先化 zabi(a，bR)的形式或设 zabi(a，bR)，再去分母 解法 1 z1ii 2i i 1i 2 1 2 1 2i，所以 z 的虚部是 1 2. 解法 2 设 zabi(a，bR)，则 2i(abi)1i，即2b2ai1i，所以2b1，得 b1 2. 易错警示 复数 zabi(a，bR)的虚部是 b，不是 bi. 4、(2018 苏州期末） 已知 i 为虚数单位，复数 z 3 2 3
5、2i 的模为_ 【答案】 3 【解析】|z| 3 2 2 3 2 2 3. 5、(2018 常州期末）若复数 z 满足 z 2i|z|21(其中 i 为虚数单位)，则|z|_ 【答案】 1 【解析】 ： 两边同时取模得|z 2i2|z|z|21，即|z|22|z|10，所以|z|1. 6、(2017 南京学情调研）设复数 z 满足(zi)i34i(i 为虚数单位)，则 z 的模为_ 【答案】. 2 5 【解析】 ：因为(zi)i34i，所以 zi24i，所以|z|24i| |i| 4162 5. 第 3 页 / 共 9 页 7、 (2017 南京、 盐城二模） 若复数 z 满足 z(1i)2i
6、(i 是虚数单位)，z 是 z 的共轭复数， 则 zz _. 【答案】. 2 思路分析 即求 zz |z|2.具体求 z 的模时，可用商的模等于模的商 因为 zz |z|2，且|z| |2i| |1i| 2 2 2，所以 zz 2. 8、(2017 泰州期末） 如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1，若z2 z1i(i 为虚数单位)，则 z2_. 【答案】 2i 【解析】 ：由图可知 z112i，又因为z2 z1i，所以 z2iz1i(12i)2i. 四、例题选讲 考点一、复数的有关概念 例 1、 (2019 苏北四市、 苏中三市三调） 已知复数 i 13i a z （i 是虚数单位）
7、是纯虚数， 则实数a的值为 【答案】3 【解析】 ： ()(1 3 )(3)(1 3a) 13(13 )(1 3 )10 aiiai ai z iii 由z是纯虚数，则30a ，故3a . 变式 1、(2019 南京三模）若复数 z 满足 z(1i)1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第 象限 【答案】 四 【解析】因为 1111 1222 i zi i ，所以对应的点为（ 11 , 22 ） ，故在第四象限. 变式 2、(2019 南京、盐城二模） 若复数 z 满足 z a2ii(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数 a 的值 为_ 【答案】2 【解析】由 z a2i
8、i 得 z(a2i) i2ai，又 z 实部和虚部相等，所以 a2. 第 4 页 / 共 9 页 变式 3、 已知 i 是虚数单位， 复数 zm2(1i)m(23i)4(2i)， 当 m 分别取何实数时， z 满足如下条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零 【解析】 z(m22m8)(m23m4)i. (1)当 m23m40 时，即 m1 或 m4 时，z 为实数； (2)当 m23m40 时，即 m1 且 m4 时，z 为虚数； (3) m23m40， m22m80 时，即 m2 时，z 为纯虚数； (4) m23m40， m22m80 时，即 m4 时，z 为零 方法总结：
9、 (1)解决复数问题，首先要看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)对于 复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和 虚部满足的方程(不等式)组特别要注意：纯虚数的充要条件是：a0 且 b0. 考点二、复数的运算 例 2、 、(2019 苏锡常镇调研）已知复数 34i 5i z ，其中i是虚数单位，则z 【答案】.1 解法 1： 因为复数i i i z 5 3 5 4 5 43 ， 所以1 5 3 5 4 22 z。 解法 2： 根据复数的性质： 2 1 2 1 z z z z 可得：. 1 5 5 5 43 5 43 i
10、 i i i z 变式 1、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知复数 z 2i 1i3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为_ 【答案】. 5 【解析】 z 2i 1i3i 2i（1i） （1i）（1i）3i 22i 2 3i12i， 所以|z|（1）2（2）2 5， 故答案为 5. 变式 2、(2019 泰州期末）复数 z 满足 zi43i(i 是虚数单位)，则|z|_ 【答案】. 5 【解析】由已知得，z43i i （43i）i i2 34i 1 34i，则|z|32（4）25. 第 5 页 / 共 9 页 变式 3、(2019 扬州期末） 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1i)
11、z2，则|z|_ 【答案】 2 解法 1(定义法) z 2 1i1i，所以|z| 2. 解法 2(复数模的性质) 对(1i)z2 两边同时取模， 即|(1i)z|2， 结合模的运算性质有|(1i)|z|2， 即 2 |z|2，所以|z| 2. 变式 4、(1)复数 2 1i(i 为虚数单位)的共轭复数是 (2)(1i 1i) 6 2 3i 3 2i_ _ (3)若复数 z 满足 2zz32i，其中 i 为虚数单位，则 z_ 【答案】 （1）1i（2） 1i.（3）12i. 【解析】 (1)先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果1i (2)原式 () 1i 2 2 6( )2 3i(
12、)3 2i ()3 2( )2 2 i6 62i3i 6 5 1i. (3)设 zabi(a，bR)，则 zabi，2(abi)(abi)32i，整理得 3abi32i， 3a3， b2 解得 a1， b2z12i. 方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则 (2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设 zabi，再通过四则运算，计算出 a，b 的值 考点三、复数的几何意义 例 1、(1)已知复数 zxyi，且|z2| 3，则y x的最大值为_ 【答案】 3 【解析】|z2| （x2）2y2 3， (x2)2y23.由图可知 y x max 3 1 3. 第 6 页 / 共 9
13、页 变式 1、如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，32i， 24i，试求： AO ，BC 所表示的复数； 对角线CA 所表示的复数； B 点对应的复数 【解析】AO OA ， AO 所表示的复数为32i. BC AO ，BC 所表示的复数为32i. CA OA OC ，CA 所表示的复数为(32i)(24i)52i. OB OA AB OA OC ，OB 所表示的复数为(32i)(24i)16i， 即 B 点对应的复数为 16i. 变式 2、 （1）设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则 xyi 在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象
14、限 D第四象限 （2）若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 【答案】 （1）D（2）B 【解析】 （1）x，y 是实数，(1i)xxxi1yi， x1， xy， 解得 x1， y1， xyi 在复平 面内所对应的点为(1，1)，位于第四象限故选 D. （2）因为 z(1i)(ai)a1(1a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a1,1a)， 第 7 页 / 共 9 页 又此点在第二象限，所以 a10， 解得 a1. 方法总结：准确理解复数的几何意义 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互
15、联系，即 zabi(a，bR)Z(a，b) OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时 可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 (3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； (4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系， 依据是复数 abi(a， bR)与复平面上的点(a， b)一一对应 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年北京卷】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i z （ ） A. 1 2i B. 2 i C. 1 2i D. 2 i 【答案】B 【解析】由题意得1 2zi ，2izi . 故选
16、：B. 2、 【2020 年江苏卷】已知i是虚数单位，则复数 (1 i)(2i)z 的实部是_. 【答案】3 【解析】复数 12zii 2 223ziiii 复数的实部为 3. 故答案为：3. 3、 【2020 年全国 1 卷】若 z=1+i，则|z22z|=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】由题意可得： 2 2 12zii，则 2 222 12zzii. 故 2 222zz . 故选：D. 第 8 页 / 共 9 页 4、 【2020 年全国 3 卷】复数 1 13i 的虚部是（ ） A. 3 10 B. 1 10 C. 1 10 D. 3 10 【答案】D
17、 【解析】因为 11313 13(13 )(13 )1010 i zi iii ， 所以复数 1 1 3 z i 的虚部为 3 10 . 故选：D. 5、 【2020 年浙江卷】.已知 aR，若 a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】因为(1)(2)aai为实数，所以202aa ， 故选：C 6、 【2020 年山东卷】 2i 12i （ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】D 【解析】 2(2)(1 2 )5 1 2(1 2 )(1 2 )5 iiii i iii 故选：D 7、 【2019 年高考
18、北京卷理数】已知复数2iz ，则z z A3 B 5 C3 D5 【答案】D 【解析】由题2iz ，则(2i)(2i)5z z，故选 D 8、 【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A 22 +11()xy B 22 1(1)xy 第 9 页 / 共 9 页 C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 【答案】C 【解析】由题可得i,i(1)i,zxy zxy 22 i(1)1,zxy 则 22 (1)1xy故选 C 9、 【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i，则在复平面内z对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】由32i,z 得32i,z 则 3 2iz 对应的点（-3，-2）位于第三象限故选 C 10、 【2019 年高考全国卷理数】若(1 i)2iz，则 z= A1i B1i C1i D1i 【答案】D 【解析】 () ( 2i2i1 i 1 i 1 i1 i 1 i)() z 故选 D 11、 【2018 年高考浙江卷】复数 2 1i (i 为虚数单位)的共轭复数是 A1+i B1i C1+i D1i 【答案】B 【解析】 22(1 i) 1 i 1 i2 ，共轭复数为1i，故选 B
