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第51讲 椭圆的方程(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 51 讲讲 椭圆的方程椭圆的方程 一、课程标准 1、了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程 3、通过椭圆的学习,进一步体会数形结合的思想 4、了解椭圆的简单的应用. 二、基础知识回顾 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离之和等于常数(大于| F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM| MF1|MF22a,|F1F22c,其中 a0,c0,且 a,c 为常数 (1)若 ac,则集合 P 为椭圆; (

2、2)若 ac,则集合 P 为线段; (3)若 ac,则集合 P 为空集 2、焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分 别记作 r1|PF1|,r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0),r1aex0,r2aex0; (2)y 2 a2 x2 b21(ab0),r1aey0,r2aey0; (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2,PF1F2的面积 为 S,则在椭圆x 2 a2 y2 b21

3、(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时, 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|,当|y0|b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最大值,最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 第 2 页 / 共 11 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2020 河南洛阳一模)已知椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上,且焦距为 4,则 m 等于( ) A5 B6 C9 D10 【答案】C 【解析】由椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上,焦距为 4,可得 m311m2,解得 m9.故选 C. 2、适合 b1,c 15,焦点在

4、y 轴上的椭圆的标准方程是( ) A. x2 4 y21 B. x2 16y 21 C. y2 4 x21 D. y2 16x 21 【答案】D 【解析】 由题意得,a b2c24 由焦点在 y 轴上,得椭圆的标准方程是y 2 16x 21.故选 D. 3、 已知方程 x2 2k y2 k11 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( ) A. ,3 2 B. (1,2) C. 1,3 2 D. 1,3 2 3 2,2 【答案】C 【解析】 (方法 1)由焦点在 x 轴上,则 2kk1,则 kk1, 2k0, k10 ,解得 1k0,n0)上,且其中一个焦点是(2,0),则椭圆

5、M 的方程 为( ) A. x2 12 y2 161 B. x2 16 y2 121 C. x2 48 y2 641 D. x2 64 y2 481 【答案】B 【解析】 (方法 1)由一个焦点是(2,0),知焦点在 x 轴上,排除 A,C,由题意知 c2,与选项 D 中的 c 64484 矛盾故选 B. (方法 2)由题意知椭圆 M 是标准方程,由一个焦点是(2,0),知焦点在 x 轴上,c2,另一个焦点是 (2,0),由椭圆定义,得 2a (22)29 (22)29538,a4,b2a2c212.故选 B. 5、 (2020 安徽江南十校模拟)已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O, 点 F,

6、 B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点 点 O 到直线 BF 的距离为 3,过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2,则椭圆 G 的方程是( ) A.x 2 4 y2 21 B.y 2 4 x2 21 C.x 2 16 y2 41 D.y 2 16 x2 41 【答案】C 【解析】设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0),由已知设 BF 的方程为 x c y b1,因为点 O 到直线 BF 的距离为 3.所以bc a 3,又因为过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2,所以2b 2 a 2,结合 a2b2c2,知 a4,b2, 故选 C. 四、例题选讲 第 4 页 / 共 11 页 考点一 椭圆

7、的定义及其应用 例 1 已知圆 F1:(x1)2y216,定点 F2(1,0),动圆 M 过点 F2,且与圆 F1相内切,那么点 M 的轨迹 C 的方程为_ 【答案】x 2 4 y 2 3 1 【解析】 设圆 M 的半径为 r.圆 M 与圆 F1相内切,MF14r.圆 M 过点 F2,MF2r,MF14 MF2, 即MF1MF24F1F2, 点M的轨迹C是以F1, F2为焦点的椭圆, 设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 则有 2a4,c1,a2,b 3,轨迹 C 的方程为x 2 4 y 2 31. 变式 1、(1)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周

8、上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)已知 F1,F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF1 PF2 .若PF1F2的面 积为 9,则 b_. 【答案】(1)A (2)3 【解析】 (1)由折叠过程可知点 M 与点 F 关于直线 CD 对称, 所以|PM|PF|, 所以|PO|PF|PO|PM| |OM|r,由椭圆的定义可知点 P 的轨迹为椭圆 (2)设|PF1|r1,|PF2|r2,则 r1r22a, r21r

9、224c2, 所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2.又因为 S PF1F21 2r1r2b 29,所以 b3. 变式 2、如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内一个定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是_ 第 5 页 / 共 11 页 【答案】以 O,A 为焦点,r 为长轴长的椭圆 【解析】 连结 QA,由已知得 QAQP.QOQAQOQPOPr.又点 A 在圆内,OAOP,根 据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是以 O,A 为焦点,r 为长轴长的椭圆 变式 3、曲线x 2 2

10、5 y2 91 与曲线 x2 25k y2 9k1(k9)的( ) A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 【答案】D 【解析】曲线 x2 25 y2 91 表示焦点在 x 轴上的椭圆,c 225916,焦距为 8.曲线 x2 25k y2 9k1(k9)表 示焦点在 x 轴上的椭圆,c2(25k)(9k)16,焦距为 8.故选 D. 方法总结:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当 P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点 F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义 和余弦定理可求| PF1|PF2,通过整体代入可

11、求其面积等 考点二 椭圆的标准方程 例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个顶点为(3,0),(3,0),离心率为2 2 3 ; (2)过点( 3, 5),且与椭圆y 2 25 x2 91 有相同焦点的椭圆的标准方程 【解析】 (1)如果焦点在 x 轴上,则 a3,离心率c a 2 2 3 ,c2 2,b2a2c21,椭圆的标 准方程为x 2 9 y21;如果焦点在 y 轴上,则 b3,将c a 2 2 3 代入 b2a2c2中,得 a28 9a 29,a281, 第 6 页 / 共 11 页 椭圆的标准方程为x 2 81 y2 91.故所求椭圆的标准方程为 x2 9 y21 和x

12、 2 81 y2 9 1. (2)(方法 1)椭圆y 2 25 x2 9 1 的 a5,b3, c 4 , 焦 点 为 (0 , 4) , (0 , 4) 由 椭 圆 定 义 知 , 2a ( 30)2( 54)2 ( 30)2( 54)2,解得 a2 5.由 c2a2b2得 b24. 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. (方法 2)设所求椭圆方程为 y2 25k x2 9k1(kb0), 第 7 页 / 共 11 页 由题意得 a 2b21, 4 a 2 3 b 21,解得 a 242 3, b 232 3 或 a 242 3, b 232 3 (舍去), 所以椭圆的标准方程为

13、x 2 42 3 y 2 32 31. 变式 2、(江西金溪一中 2019 届模拟)(1)若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆 的标准方程为( ) A.x 2 5y 21 B.x 2 4y 21 C.x 2 5y 21 或x 2 4 y2 51 D以上答案都不正确 (2)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成 等差数列,则椭圆的方程为( ) A.x 2 8 y2 61 B. x2 16 y2 61 C.x 2 8 y2 41 D. x2 16 y2 41 【答案】 (1)C (2)A 【解析

14、】(1)直线与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),由题意知当焦点在 x 轴上时,c2,b1,所以 a25, 所求椭圆的标准方程为x 2 5y 21;当焦点在 y 轴上时,b2,c1,所以 a25,所求椭圆的标准方程为y 2 5 x2 41. (2)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由点 P(2, 3)在椭圆上知 4 a2 3 b21.又|PF1|,|F1F2|,|PF2| 成等差数列,则|PF1|PF2|2|F1F2|,即 2a2 2c,c a 1 2,又 c 2a2b2,联立得 a28,b26.所以椭圆 方程为x 2 8 y2 61. 变式 3、在平面直角坐标系 xOy

15、 中,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ,椭圆上动点 P 到一个焦点的 距离的最小值为 3( 21),求椭圆 C 的标准方程 第 8 页 / 共 11 页 【解析】 由题意知c a 2 2 ,设 P(x0,y0),F 为椭圆的右焦点,由椭圆的第二定义知: PF a2 c x0 c a,即 PFa c ax0,又ax0a,PFac,即 ac3( 21),解得 a3 2,c3,b3,则椭圆 C 的标准 方程为x 2 18 y2 91. 方法总结:用待定系数法求椭圆方程的一般步骤: 作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上、在 y 轴上,还是两个坐标轴上都有可能;

16、设方程:根据上述判断设方程x 2 a2 y2 b21(ab0)或 x2 b2 y2 a21(ab0)或 mx 2ny21(m0,n0); 找关系:根据已知条件,建立关于 a、b、c 的方程组; 得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考全国卷】已知椭圆 C 的焦点为,过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点若 ,则 C 的方程为( ) A B C D 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设,则, 12 1,01,0FF(), () 22 | 2|AFF B 1 | |ABBF 2 2 1 2 x y 22 1 32 xy 22 1 43

17、xy 22 1 54 xy 2 F Bn 21 2 ,3AFn BFABn 第 9 页 / 共 11 页 由椭圆的定义有 在中,由余弦定理推论得 在中,由余弦定理得,解得 所求椭圆方程为,故选 B 法二:由已知可设,则, 由椭圆的定义有 在和中,由余弦定理得, 又互补,两式消去, 得,解得所求椭圆方 程为,故选 B 2、 设点 F1,F2分别是椭圆x 2 25 y2 161 的左、右焦点,点 P 为椭圆上一点,点 M 是 F1P 的中点,OM3, 则点 P 到椭圆左焦点的距离为_ 【答案】4 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 1 AFB 222 1 4991 cos 2 233

18、nnn F AB nn 12 AFF 22 1 442 224 3 nnnn 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 22 1 32 xy 2 F Bn 21 2 ,3AFn BFABn 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 12 AFF 12 BFF 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn 2121 ,AF FBF F 2121 coscos0AF FBF F 2121 coscosAF FBF F, 22 3611nn 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 22 1 32

19、xy 第 10 页 / 共 11 页 【解析】 由题意知 OM1 2PF23,PF26,PF12564. 3、 已知 F1,F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且F1PF260,S PF1F23 3,则 b_ 【答案】3 【解析】 由题意得 PF1PF22a,又F1PF260,PF21PF222PF1PF2cos60F1F22, (PF1PF2)23PF1PF24c2,3PF1PF2 4a24c24b2,PF1PF24 3b 2, SPF1F21 2PF1PF2sin60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3,b3. 4、点 P

20、 是椭圆x 2 25 y2 161 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且PF1F2的内切圆半径为 1,当 P 在第一象 限时,P 点的纵坐标为_ 【答案】8 3. 【解析】 PF1PF210,F1F26,SPF1F21 2(PF1PF2F1F2) 18 1 2F1F2yP3yP,yP 8 3. 5、【2019 年高考全国 卷理数】设 12 FF, 为椭圆C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点,M为C上一点且在第一象限. 若 12 MFF 为等腰三角形,则M的坐标为_. 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc , 112 28MFFFc,

21、2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy,则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy , 第 11 页 / 共 11 页 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ,解得 0 15y , 2 2 0 15 1 3620 x ,解得 0 3x ( 0 3x 舍去) , M的坐标为3, 15 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且过点 A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程 【解析】 (方法 1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由题意得 2a32b, 9 a2 0 b21, 解得 a3, b1,椭圆的标准方程为 x2 9 y21.若焦点在 y 轴上,设方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)由题意得 2a32b, 0 a2 9 b21, 解得 a9, b3. 椭圆的标准方程为y 2 81 x2 91. 综上所述,椭圆的标准方程为x 2 9y 21 或y 2 81 x2 9 1. (方法 2)设椭圆的方程为x 2 m y2 n 1(m0, n0, mn), 则由题意知 9 m1, 2 m32 n 或 9 m1, 2 n32 m, 解得 m9, n1 或 m9, n81. 椭圆的标准方程为x 2 9y 21 或y 2 81 x2 9 1.