1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 44 讲讲 空间向量的概念和空间位置关系空间向量的概念和空间位置关系 一、课程标准 1、空间向量的线性运算 2、共线、共面向量定理的应用 3、空间向量数量积的应用 4、利用空间向量证明平行或垂直 二、基础知识回顾 1空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行 向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在 R，使 ab 共面向量定理 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实 数对(x，y)，使 pxayb 空间
2、向量基本定 理及推论 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一 的有序实数组x，y，z使得 pxaybzc. 推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P 都存 在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 OP x OA y OB z OC 且 x yz1 2数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：a b|a|b|cosa，b ；aba b0(a，b 为非零向量)；设 a(x， y，z)，则|a|2a2，|a|x2y2z2. (2)空间向量的坐标运算： a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量和 ab(a1b1，a2b2，
3、a3b3) 向量差 ab(a1b1，a2b2，a3b3) 数量积 a ba1b1a2b2a3b3 共线 aba1b1，a2b2，a3b3(R，b0) 垂直 aba1b1a2b2a3b30 第 2 页 / 共 10 页 夹角公式 cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23b21b22b23 三、自主热身、归纳总结 1、空间四点 A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( ) A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定 2、已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m 的值等于( ) A. 3 2 B.
4、 2 C. 0 D. 3 2或2 3、在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 4、如图，平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，AC 与 BD 的交点为点 M，设 AB a， ADb，AA 1 c，则向 量C1M 可用 a，b，c 表示为_ 5、如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是_ 6、O 为空间中任
5、意一点，A，B，C 三点不共线，且 OP 3 4 OA 1 8 OB t OC，若 P，A，B，C 四点共面， 则实数 t_. 第 3 页 / 共 10 页 四、例题选讲 考点一 空间向量的线性运算 例 1 (1) 向量 a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，下列结论正确的是_(填序 号) ab，ac; ab，ac； ac，ab. (2) 已知点 A，B，C 的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点 P 的坐标是(x，0，y)，若 PA 平面 ABC，则点 P 的坐标是_ 变式 1、 （1） 如图所示， 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中， M
6、为 A1C1与 B1D1的交点 若 AB a，ADb， AA1 c，则下列向量中与 BM相等的是( ) A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc （2） 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1中， 点 E 为上底面 A1C1的中心， 若 AE AA 1 x ABy AD， 则 x， y 的值分别为( ) A1,1 B1，1 2 C.1 2， 1 2 1 D.1 2，1 变式 2、 在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用向量OA ，OB ，OC 表 示MG ，OG . 第 4 页 / 共 1
7、0 页 变式 3、 如图所示， 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中， 设AA1 a，ABb，ADc， M， N， P 分别是 AA 1， BC，C1D1的中点 试用 a，b，c 表示以下各向量： (1) AP ； (2)A1N ； (3) MP NC 1 . 方法总结： 本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向 量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形 中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的
8、向量， 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中 三角形法则、平行四边形法则仍然成立 考点二 共线、共面向量定理的应用 例 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AM kAC1 ，BN kBC (0k1). 判断向量MN 是否与向量AB ，AA1 共面 第 5 页 / 共 10 页 变式 1、.如图所示，已知斜三棱柱 ABC - A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AM kAC 1 ， BN k BC (0k1)判断向量MN是否与向量 AB，AA 1 共面 变式 2、 （1）已知 a(1,0,
9、2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是( ) A2，1 2 B1 3， 1 2 C3,2 D.2,2 （2） 若 A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则 mn_. 方法总结：证明空间三点 P，A，B 共线的方法有：PA PB (R)； 对空间任一点 O， OP xOA yOB (xy1). 证明空间四点 P， M， A， B 共面的方法有： MP xMA yMB ；对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB (xyz1)；PM AB (或PAMB 或PB AM ). 三 点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线
10、、共面来证明 考点三 空间向量数量积的应用 例 3、 如图，已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，A1AB A1AD120 . (1)求线段 AC1的长； (2)求异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1BD. 第 6 页 / 共 10 页 变式 1、已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB ，bAC. (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值； (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求实数 k 的值 变式 2、如图，在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，
11、以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60 . 求：(1)AC1 的长； (2)BD1 与 AC夹角的余弦值 第 7 页 / 共 10 页 方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a b|a|b|cosa，b. (2)坐标法：设 a(x1，y1， z1)，b(x2，y2，z2)，则 a bx1x2y1y2z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直 关系， 通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式， 可以求异面直线所成的角， 也可以求二面角. 可 以通过|a| a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想
12、 考点四 利用空间向量证明平行或垂直 例 4 如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为 AC 与 BD 的交点， BB1 2，M 是线段 B1D1的中点求证： (1) BM平面 D1AC； (2) D1O平面 AB1C. 变式 1、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD 2 2 AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点求证： (1) EF平面 PAD； (2) 平面 PAB平面 PDC. 第 8 页 / 共 10 页 变式 2、如图，在四棱锥 P- ABCD 中，
13、底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD 2 2 AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点 求证：(1)EF平面 PAD； (2)平面 PAB平面 PDC. 方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素 (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系 (4)根据运算结果解释相关问题 五、优化提升与真题演练 1、已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 OP x OAy OBz OC(x，
14、y，zR)，则“x2， y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、(多选)已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 AB (2，1，4)，AD(4,2,0)， AP (1,2，1)下列结论正确的有( ) AAPAB BAPAD C. AP 是平面 ABCD 的一个法向量 D. AP BD 第 9 页 / 共 10 页 3、(多选)已知 ABCD- A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( ) A(A1A A 1D1 A 1B1 )23(A 1B1 )2 B.A1C (A 1B1 A
15、1A )0 C向量AD1 与向量A 1B 的夹角是 60 D正方体 ABCD- A1B1C1D1的体积为| AB AA 1 AD| 4、如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA90 ，棱 AA12，M， N 分别是 A1B1，A1A 的中点 (1)求BN 的模； (2)求 cosBA1 ，CB1 的值； (3)求证：A1BC1M. 5、 【2020 年北京卷】如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 （）求证： 1/ / BC平面 1 ADE； （）求直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值 第 10 页 / 共 10 页
