1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 55 讲讲 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 一、课程标准 1. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系 2. 会求直线与圆锥曲线相交时的弦长 3. 求圆锥曲线的中点弦 二、基础知识回顾 1、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆 锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(或 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元方程 例：由 0 ,0 AxByC F x y ，消去 y，得 ax2bxc0. (1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0
2、的判别式为 ，则： 0直线与圆锥曲线 C 相交； 0直线与圆锥曲线 C 相切； 0) 为一个定点，过点 E 作斜率分别为 k1，k2的两条直线交 H 于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是线段 AB， CD 的中点 (1) 求轨迹 H 的方程； (2) 若 m1，且过点 E 的两条直线相互垂直，求EMN 的面积的最小值； (3) 若 k1k21，求证：直线 MN 过定点 变式 2、已知椭圆 C：y 2 a2 x2 b21(ab0)的短轴长为 2，且椭圆 C 的顶点在圆 M：x 2 y 2 2 2 1 2上 (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦 AB，CD，求|AB|
3、CD|的最小值 方法总结：1圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问 第 7 页 / 共 10 页 题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题 2最值问题的两类解法技巧 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决 (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数 的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解 考点五 圆锥曲线中的定点、定值问题 例 5 已知椭圆 C：x 2 a2y 21(a0)，过椭圆 C 的右顶点和上顶点的直
4、线与圆 x2y22 3相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜 率分别为 k1，k2，且 k1k22，证明：直线 AB 过定点 变式 1、如图，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率是 2 2 ，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PC PD 1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得OA OB PA PB 为 定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 第 8 页 / 共 10 页 变式
5、 2、已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上一点， 直线 PA 与 y 轴交于点 M， 直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证： |AN| |BM|为定值 方法总结：1定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线 有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题 2圆锥曲线中定点、定值问题的解法 (1)定点问题的常见解法 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到 一个关
6、于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点； 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意 (2)定值问题的常见解法 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 五、优化提升与真题演练 1、 （2018 年高考浙江卷）已知点 P(0，1)，椭圆 2 4 x +y2=m(m1)上两点 A，B 满足AP=2PB，则当 m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大 2、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的内接ABC的顶点B为 短轴的一个端点， 右焦点F， 线段AB中点
7、为K， 且 2C FF K ， 则椭圆离心率的取值范围是_. 第 9 页 / 共 10 页 3、 （2020 年江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E上，记OAB 与MAB的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标 4、（2020年全国1卷） .已知A、 B分别为椭圆E： 2 2 2 1 x y a （a1） 的左、 右顶点， G为E的上顶点，8AG GB， P 为直线 x=6上的动点，PA与 E 的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点. 第 10 页 / 共 10 页 5、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点， 直线y kx 与椭圆交于A，B两点，8AFBF. （1）求椭圆的标准方程； （2）设3,0Q，若AQB为锐角，求实数k的取值范围.
