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第44讲 空间向量的概念(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 44 讲讲 空间向量的概念和空间位置关系空间向量的概念和空间位置关系 一、课程标准 1、空间向量的线性运算 2、共线、共面向量定理的应用 3、空间向量数量积的应用 4、利用空间向量证明平行或垂直 二、基础知识回顾 1空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行 向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b0),ab存在 R,使 ab 共面向量定理 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面存在唯一的有序实 数对(x,y),使 pxayb 空间

2、向量基本定 理及推论 定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在唯一 的有序实数组x,y,z使得 pxaybzc. 推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对平面 ABC 内任一点 P 都存 在唯一的三个有序实数 x,y,z,使 OP x OA y OB z OC 且 x yz1 2数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积:a b|a|b|cosa,b ;aba b0(a,b 为非零向量);设 a(x, y,z),则|a|2a2,|a|x2y2z2. (2)空间向量的坐标运算: a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3) 向量和 ab(a1b1,a2b2,

3、a3b3) 向量差 ab(a1b1,a2b2,a3b3) 数量积 a ba1b1a2b2a3b3 共线 aba1b1,a2b2,a3b3(R,b0) 垂直 aba1b1a2b2a3b30 第 2 页 / 共 17 页 夹角公式 cosa,b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23b21b22b23 三、自主热身、归纳总结 1、空间四点 A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为( ) A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定 【答案】 C 【解析】 AB (2,0,4),AC (2,3,5),AD (0,3,4),由不存在实数 ,使AB

4、 AC 成 立知,A,B,C 不共线,故 A,B,C,D 不共线;假设 A,B,C,D 共面,则可设AD xAB yAC (x,y 为实数),即 02x2y, 33y, 44x5y, 由于该方程组无解,故 A,B,C,D 不共面,故选 C. 2、已知向量 a(2m1,3,m1),b(2,m,m),且 ab,则实数 m 的值等于( ) A. 3 2 B. 2 C. 0 D. 3 2或2 【答案】B 【解析】 当 m0 时,a(1,3,1),b(2,0,0),a 与 b 不平行,m0,ab, 2m1 2 3 m m1 m ,解得 m2. 故选 B. 3、在空间直角坐标系中,已知 A(1,2,3),

5、B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 由题意得,AB (3,3,3),CD (1,1,1),AB 3CD ,AB 与CD 共线,又 AB 与 CD 没有公共点,ABCD. 故选 B. 4、如图,平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中,AC 与 BD 的交点为点 M,设 AB a, ADb,AA 1 c,则向 量C1M 可用 a,b,c 表示为_ 第 3 页 / 共 17 页 【答案】1 2a 1 2bc 【解析】C1M C 1C CMAA 1 1 2 A

6、C AA 1 1 2( AB AD)1 2 AB 1 2 AD AA 1 1 2a 1 2b c. 5、如图所示,在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 ON,AM 的位置关系是_ 【答案】垂直 【解析】以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 DA2,则 A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以AM (2,0,1),ON(1,0,2),AMON2020, 所以 AMON. 6、O 为空间中任意一点,A,B,C 三

7、点不共线,且 OP 3 4 OA 1 8 OB t OC,若 P,A,B,C 四点共面, 则实数 t_. 【答案】1 8 【解析】因为 P,A,B,C 四点共面,所以3 4 1 8t1, 所以 t1 8. 四、例题选讲 考点一 空间向量的线性运算 例 1 (1) 向量 a(2,3,1),b(2,0,4),c(4,6,2),下列结论正确的是_(填序 号) ab,ac; ab,ac; ac,ab. (2) 已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(1,0,1),(2,1,1),点 P 的坐标是(x,0,y),若 PA 平面 ABC,则点 P 的坐标是_ 【答案】 (1) (2) (1,0,

8、2) 【解析】 (1) 因为 c(4,6,2)2(2,3,1)2a,所以 ac.又 a b(2) 2(3) 01 40, 所以 ab. (2) PA (x, 1, y), AB (1, 1, 1), AC (2, 0, 1) 因为 PA平面 ABC, 所以PA AB , 第 4 页 / 共 17 页 PA AC ,即PA AB xy10,PA AC 2xy0,所以 x1,y2,故点 P 的坐标是(1,0, 2) 变式 1、 (1) 如图所示, 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中, M 为 A1C1与 B1D1的交点 若 AB a,ADb, AA1 c,则下列向量中与 BM相等的是(

9、) A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc (2) 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1中, 点 E 为上底面 A1C1的中心, 若 AE AA 1 x ABy AD, 则 x, y 的值分别为( ) A1,1 B1,1 2 C.1 2, 1 2 1 D.1 2,1 【答案】 (1)A(2)C 【解析】 (1) BM BB 1 B 1M AA 1 1 2( AD AB)c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. (2) AE AA 1 A 1E AA 1 1 2A1C1 AA 1 1 2( )AB AD ,故 x1 2,y 1 2.

10、 变式 2、 在三棱锥 OABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是ABC 的重心,用向量OA ,OB ,OC 表 示MG ,OG . 【解析】 MG MA AG 1 2OA 2 3AN 1 2OA 2 3(ON OA ) 1 2OA 2 3 1 2(OB OC )OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC . OG OM MG 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC 第 5 页 / 共 17 页 1 3OA 1 3OB 1 3OC . 变式 3、 如图所示, 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中, 设AA1 a,ABb,ADc, M, N, P 分别是 AA 1,

11、BC,C1D1的中点试用 a,b,c 表示以下各向量: (1) AP ; (2)A1N ; (3) MP NC 1 . 解:(1)P 是 C1D1的中点, AP AA 1 A 1D1 D 1P a AD1 2D1C1 ac1 2 AB a1 2bc. (2)N 是 BC 的中点, A1N A 1A AB BNab1 2 BC ab1 2 AD ab1 2c. (3)M 是 AA1的中点, MP MA AP1 2A1A AP1 2a a1 2bc 1 2a 1 2bc, 又NC1 NCCC 1 1 2 BC AA 1 1 2 AD AA 1 a1 2c, MP NC 1 1 2a 1 2bc a

12、1 2c 3 2a 1 2b 3 2c. 方法总结: 本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向 量时注意以下三点:(1)结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形 中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,首尾相接的若干向量之和,等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量, 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中 三角形法则、平行四边形法则仍然成立 考点二 共线、共面向量定理的应用 例 2 如图所示,已知斜三棱柱 ABC A1B1C1,点 M,N 分别在 AC1和 BC

13、 上,且满足AM kAC1 ,BN kBC (0k1). 判断向量MN 是否与向量AB ,AA1 共面 第 6 页 / 共 17 页 【解析】 AM kAC1 , BN kBC , MN MA AB BN kC1A AB kBC k(C1A BC )AB k(C1A B1C1 )AB kB1A AB AB kAB1 AB k(AA1 AB )(1k) AB kAA1 , 由共面向量定理知向量MN 与向量AB ,AA1 共面 变式 1、如图所示,已知斜三棱柱 ABC - A1B1C1,点 M,N 分别在 AC1和 BC 上,且满足AM kAC 1 ,BN k BC (0k1)判断向量MN是否与向

14、量 AB,AA 1 共面 【解析】AM kAC 1 , BNk BC, MN MA AB BNkC 1A ABk BCk(C 1A BC) ABk(C 1A B 1C1 ) ABkB 1A AB ABkAB 1 ABk(AA 1 AB)(1k) ABkAA 1 , 由共面向量定理知向量MN 与向量 AB,AA 1 共面 变式 2、 (1)已知 a(1,0,2),b(6,21,2),若 ab,则 与 的值可以是( ) A2,1 2 B1 3, 1 2 C3,2 D.2,2 (2) 若 A(1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则 mn_. 【答案】 (1) A (2)3 【解

15、析】 (1) ab,bka(kR), 即(6,21,2)k(1,0,2), 第 7 页 / 共 17 页 6k1, 210, 22k, 解得 2, 1 2 或 3, 1 2, 故选 A. (2) AB (3,1,1), AC(m1,n2,2), 且 A,B,C 三点共线, 存在实数 ,使得 AC AB. 即(m1,n2,2)(3,1,1)(3,), m13, n2, 2, 解得 2, m7, n4. mn3. 方法总结:证明空间三点 P,A,B 共线的方法有:PA PB (R); 对空间任一点 O, OP xOA yOB (xy1). 证明空间四点 P, M, A, B 共面的方法有: MP

16、xMA yMB ;对空间任一点 O,OP xOM yOA zOB (xyz1);PM AB (或PAMB 或PB AM ). 三 点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明 考点三 空间向量数量积的应用 例 3、如图,已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AA12,A1AB A1AD120 . (1)求线段 AC1的长; (2)求异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值; (3)求证:AA1BD. 【解析】(1)设 AB a, ADb,AA 1 c, 则|a|b|1,|c|2,a b0,c ac

17、 b2 1 cos 120 1. AC1 ACCC 1 AB ADAA 1 abc, 第 8 页 / 共 17 页 |AC1 |abc| abc 2 |a|2|b|2|c|22a bb cc a 1212222011 2. 线段 AC1的长为 2. (2)设异面直线 AC1与 A1D 所成的角为 , 则 cos |cosAC1 ,A 1D |AC1 A 1D | |AC1 |A 1D |. AC1 abc,A 1D bc, AC1 A 1D (abc) (bc) a ba cb2c20112222, |A1D | bc 2 |b|22b c|c|2 122 122 7. cos |AC1 A

18、1D | |AC1 |A 1D | |2| 2 7 14 7 . 故异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值为 14 7 . (3)证明:AA1 c, BDba, AA1 BDc (ba)c bc a(1)(1)0,AA 1 BD,即 AA 1BD. 变式 1、已知空间中三点 A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设 aAB ,bAC. (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直,求实数 k 的值 【解析】 (1)a(1,1,0),b(1,0,2),a b(1,1,0) (1,0,2)1, 又|a| 121202 2,|b|(1)

19、20222 5,cosa,b1 10 10 10 ,即向量 a 与 向量 b 的夹角的余弦值为 10 10 . (2)(方法 1)kab(k1,k,2). ka2b(k2,k,4),且 kab 与 ka2b 互相垂直,(k1,k, 2) (k2,k,4)(k1)(k2)k280,k2 或 k5 2, 当 kab 与 ka2b 互相垂直时,实数 k 的值为 2 或5 2. (方法 2)由(1)知|a| 2,|b| 5,a b1, 第 9 页 / 共 17 页 (kab) (ka2b)k2a2ka b2b22k2k100,得 k2 或 k5 2. 当 kab 与 ka2b 互相垂直时,实数 k 的

20、值为 2 或5 2. 变式 2、如图,在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1,且两两夹角为 60 . 求:(1)AC1 的长; (2)BD1 与 AC夹角的余弦值 【解析】(1)记 AB a, ADb,AA 1 c, 则|a|b|c|1, a,bb,cc,a60 , a bb cc a1 2. |AC1 |2(abc)2a2b2c22(a bb cc a)1112 1 2 1 2 1 2 6, |AC1 | 6,即 AC 1的长为 6. (2)BD1 bca, ACab, |BD1 | 2,| AC| 3, BD1 AC(bca) (ab) b2a

21、2a cb c1, cosBD1 , ACBD1 AC |BD1 | AC| 6 6 . 即BD1 与 AC夹角的余弦值为6 6 . 方法总结:空间向量数量积计算的两种方法:(1)基向量法:a b|a|b|cosa,b. (2)坐标法:设 a(x1,y1, z1),b(x2,y2,z2),则 a bx1x2y1y2z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直 关系, 通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式, 可以求异面直线所成的角, 也可以求二面角. 可 以通过|a| a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解,体现转化与化归的数学思想 考点四 利用空间向量

22、证明平行或垂直 例 4 如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, 第 10 页 / 共 17 页 BB1 2,M 是线段 B1D1的中点求证: (1) BM平面 D1AC; (2) D1O平面 AB1C. 【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系,则点 O(1,1,0),D1(0,0, 2), 所以OD1 (1,1, 2) 又点 B(2,2,0),M(1,1, 2), 所以BM (1,1, 2), 所以OD1 BM . 又因为 OD1与 BM 不共线, 所以 OD1BM. 又 OD1平面 D1AC,BM平面 D

23、1AC, 所以 BM平面 D1AC. (2) 连结 OB1,点 B1(2,2, 2),A(2,0,0),C(0,2,0) 因为OD1 OB1 (1,1, 2) (1,1, 2)0, OD1 AC (1,1, 2) (2,2,0)0, 所以OD1 OB1 ,OD1 AC , 即 OD1OB1,OD1AC. 又 OB1ACO,OB1,AC平面 AB1C, 所以 D1O平面 AB1C. 变式 1、如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD底面 ABCD,且 PA PD 2 2 AD,设 E,F 分别为 PC,BD 的中点求证: (1) EF平面 PAD; (

24、2) 平面 PAB平面 PDC. 第 11 页 / 共 17 页 【证明】 (1) 如图,取 AD 的中点 O,连结 OP,OF. 因为 PAPD,所以 POAD. 因为侧面 PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,所以 PO平面 ABCD. 又 O,F 分别为 AD,BD 的中点,所以 OFAB. 又四边形 ABCD 是正方形,所以 OFAD. 因为 PAPD 2 2 AD, 所以 PAPD,OPOAa 2. 以 O 为原点,OA,OF,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A a 2,0,0 ,F 0,a 2,0 ,D a 2,0,0 ,P 0

25、,0,a 2 ,B a 2,a,0 ,C a 2,a,0 . 因为 E 为 PC 的中点,所以 E a 4, a 2, a 4 . 易知平面 PAD 的一个法向量为OF 0,a 2,0 . 因为EF a 4,0, a 4 , 且OF EF 0,a 2,0 a 4,0, a 4 0, 所以 EF平面 PAD. (2) 因为PA a 2,0, a 2 ,CD (0,a,0), 所以PA CD a 2,0, a 2 (0,a,0)0, 所以PA CD ,所以 PACD. 又 PAPD,PDCDD, 所以 PA平面 PDC. 又 PA平面 PAB, 所以平面 PAB平面 PDC. 第 12 页 / 共

26、 17 页 变式 2、如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD底面 ABCD,且 PA PD 2 2 AD,设 E,F 分别为 PC,BD 的中点 求证:(1)EF平面 PAD; (2)平面 PAB平面 PDC. 【证明】(1)如图,取 AD 的中点 O,连接 OP,OF. 因为 PAPD,所以 POAD.因为侧面 PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD, PO平面 PAD, 所以 PO平面 ABCD. 又 O,F 分别为 AD,BD 的中点,所以 OFAB. 又 ABCD 是正方形,所以 OFAD. 因为 PAPD 2 2 AD,

27、所以 PAPD,OPOAa 2. 以 O 为原点,OA,OF,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A a 2,0,0 ,F 0,a 2,0 ,D a 2,0,0 , P 0,0,a 2 ,B a 2,a,0 ,C a 2,a,0 . 因为 E 为 PC 的中点,所以 E a 4, a 2, a 4 . 易知平面 PAD 的一个法向量为 OF 0,a 2,0 , 因为 EF a 4,0, a 4 , 且 OF EF 0,a 2,0 a 4,0, a 4 0, 又因为 EF平面 PAD,所以 EF平面 PAD. (2)因为 PA a 2,0, a 2 , CD (

28、0,a,0), 第 13 页 / 共 17 页 所以 PA CD a 2,0, a 2 (0,a,0)0, 所以 PA CD,所以 PACD. 又 PAPD,PDCDD,PD,CD平面 PDC, 所以 PA平面 PDC. 又 PA平面 PAB,所以平面 PAB平面 PDC. 方法总结:(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素 (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系 (4)根据运算结果解释相关问题 五、优化提升与真题演练 1、已知空间任意一点

29、O 和不共线的三点 A,B,C,若 OP x OAy OBz OC(x,y,zR),则“x2, y3,z2”是“P,A,B,C 四点共面”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 x2,y3,z2 时,即 OP 2 OA3 OB2 OC.则 AP AO2 OA3( AB AO) 2( AC AO),即 AP3 AB2 AC,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面;反之,当 P,A, B,C 四点共面时,根据共面向量定理,设 AP m ABn AC(m,nR),即 OP OAm( OB OA) n( OC OA),即 OP(

30、1mn) OAm OBn OC,即 x1mn,ym,zn,这组数显然不止 2,3,2.故“x2,y3,z2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件 2、(多选)已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果 AB (2,1,4),AD(4,2,0), AP (1,2,1)下列结论正确的有( ) AAPAB BAPAD C. AP 是平面 ABCD 的一个法向量 D. AP BD 【答案】ABC 【解析】对于 A, AB AP2 (1)(1) 2(4) (1)0, AP AB,即 APAB,A 正确;对 第 14 页 / 共 17 页 于 B,AP AD(1) 42 2(1)

31、 00, AP AD, 即 APAD, B 正确; 对于 C, 由 AP AB, 且 AP AD,得出 AP是平面 ABCD 的一个法向量,C 正确;对于 D,由 AP是平面 ABCD 的法向量,得 出 AP BD,则 D 错误故选 A、B、C. 3、(多选)已知 ABCD- A1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是( ) A(A1A A 1D1 A 1B1 )23(A 1B1 )2 B.A1C (A 1B1 A 1A )0 C向量AD1 与向量A 1B 的夹角是 60 D正方体 ABCD- A1B1C1D1的体积为| AB AA 1 AD| 【答案】AB 【解析】由向量的加法得到:A1A

32、 A 1D1 A 1B1 A 1C ,A 1C 23A 1B 2 1,(A1C )23(A 1B1 )2,所以 A 正确;A1B1 A 1A AB 1 ,AB 1A1C,A1C AB 1 0,故 B 正确;ACD 1是等边三角形,AD1C 60 ,又 A1BD1C,异面直线 AD1与 A1B 所成的角为 60 ,但是向量AD1 与向量A 1B 的夹角是 120 ,故 C 不正确;ABAA1, AB AA 1 0,故| AB AA 1 AD|0,因此 D 不正确故选 A、B. 4、如图,已知直三棱柱 ABCA1B1C1,在底面ABC 中,CACB1,BCA90 ,棱 AA12,M, N 分别是

33、A1B1,A1A 的中点 (1)求BN 的模; (2)求 cosBA1 ,CB1 的值; (3)求证:A1BC1M. 【解析】 (1)如图,以点 C 作为坐标原点 O,CA,CB,CC1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立 第 15 页 / 共 17 页 空间直角坐标系. 由题意得 B(0,1,0),N(1,0,1),|BN | (10)2(01)2(10)2 3. 第 3 题图 (2)由题意得 A1(1,0,2), B(0,1,0),C(0,0,0), B1(0,1,2),BA1 (1,1,2),CB1 (0,1,2), BA1 CB1 3,|BA1 | 6,|CB1 | 5, co

34、sBA1 ,CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 30 10 . (3)由题意得 C1(0,0,2),M 1 2, 1 2,2 ,A1B (1,1,2),C1M 1 2, 1 2,0 , A1B C1M 1 2 1 200,A1B C1M ,即 A1BC1M. 5、 【2020 年北京卷】如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,E为 1 BB的中点 第 16 页 / 共 17 页 ()求证: 1/ / BC平面 1 ADE; ()求直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值 【解析】)如下图所示: 在正方体 1111 ABCDABC D中, 11 /AB AB且 11 A

35、BAB, 1111 /ABC D且 1111 ABC D, 11 /AB C D且 11 ABC D,所以,四边形 11 ABC D为平行四边形,则 11 /BCAD, 1 BC 平面 1 ADE, 1 AD 平面 1 ADE, 1/ BC平面 1 ADE; ()以点A为坐标原点,AD、AB、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标 系Axyz, 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2,则0,0,0A、 1 0,0,2A、 1 2,0,2D、0,2,1E, 1 2,0,2AD ,0,2,1AE , 第 17 页 / 共 17 页 设平面 1 ADE的法向量为, ,nx y z,由 1 0 0 n AD n AE ,得 220 20 xz yz , 令2z ,则2x,1y ,则2,1, 2n . 1 1 1 42 cos, 3 23 n AA n AA nAA . 因此,直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值为 2 3 .