1、 例 1： 已知函数1 x yaa与log1 a yx a的图象有且仅有两个公共点， 则实数a的 取值范围是（ ） A 1 1 e ae B1ae C 1 e eae Dae 例 2：若对任意0,1m，总存在唯一 1,1x 使得 2 0 x mx ea 成立，则实数a的取 值范围是（ ） A1, e B 1 (1, e e C(0, e D 1 1, e e 一、选择题 1已知函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点，则m的取值范围是（ ） A0,e B0,2e C( ,)e D(2 , )e 2若关于x的方程 2 |40 xxkxk有四个不同的实数根，则实数k的取值范围为
2、 （ ） A(0,62 5) B(,62 5) C(0,62 5) D(62 5,62 5) 3已知1a ，设函数( )4 x f xax的零点为m，( )log4 a g xxx的零点为n， 2、解决存在性问题 1、根据函数零点的个数求参数的取值范围 函数函数零点零点 则mn的最大值为（ ） A8 B4 C2 D1 4已知( )2sin( 2) 6 f xxm在 0, 2 x上有两个零点，则m的取值范围为（ ） A(1,2) B1,2 C1,2) D(1,2 5已知函数 1 ( ) x a f xxe x 有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A 2 (0,4)e B 2 2 0, e C
3、 2 0,2e D 4 (0, ) e 二、填空题 6已知函数 21 x f xaex有两个零点，则实数a的取值范围是_ 7已知函数 3 2 ,2 ( ) (1) ,2 x f xx xx ，若关于x的方程( )f xk有两个不同的实根，则实 数k的取值范围是_ 三、解答题 8已知函数 22 xx f xmm R为奇函数 （1）求实数m的值； （2）若方程 1 2xf xa 至少有一个实根，求实数a的取值范围 例 1：【答案】A 【解析】因为函数1 x yaa与log1 a yx a的图像关于y x 对称， 所以其公共点在y x 上， 由已知log1 a yx a图像与直线y x 有两个公共点
4、， 可转化为y x 与1 x yaa有两个公共点，即 x xa 有两解， 即lnlnxxa，即 ln ln x a x ， 令 ln x h x x ，所以 2 1 ln x h x x ， 当0,xe， h x单调递增；当,xe， h x单调递减， 画出 h x的图像， 则只需 1 0lna e ，有两个公共点，解得 1 (1,) e ae，故选 A 例 2：【答案】B 【解析】由 2 0 x mx ea 成立，得 2x x eam ， 对任意的0,1m，总存在唯一的 1,1x ，使得 2 0 x mx ea成立， 21 ( 1)1ea ，且 21 01ae，解得 1 1ae e ， 其中
5、1 1a e 时，x存在两个不同的实数，因此舍去， a的取值范围是 1 (1, e e ，故选 B 一、选择题 1【答案】D 【解析】函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点， 等价于( ) x h xxe与 1 ( )() 2 g xm x有两个不同的交点，( )g x恒过点 1 ( ,0) 2 ， 设( )g x与( )h x相切时切点为( ,) a a ae， 因为( )(1) x h xex，所以切线斜率为(1) a ea， 则切线方程为(1)() aa yaeaexa， 当切线经过点 1 ( ,0) 2 时，解得1a 或 1 2 a （舍），此时切线斜率为2e，
6、由函数图像特征可知：函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点， 则实数m的取值范围是(2 ,)e ，故选 D 2【答案】A 【解析】关于x的方程 2 |40 xxkxk有四个不同的实数根， 即方程 2 41xxk x有四个不同的实数根， 不妨设 2 4f xxx， 1g xk x， 则只需 f x， g x有四个交点即可， 又 g x表示斜率为k，且过点1,0的直线 画出 f x， g x的图象如下所示： 数形结合可知，当直线1yk x与 f x在0 x时相切为临界情况 设切点为,m n，显然0,2m， 又相切时， 2 4yxx ， 24yx ， 故可得 2 4 24 11
7、 nmm km mm ，解得 51m ， 则相切时斜率 62 5k ， 故要满足题意，只需0,62 5k，故选 A 3【答案】B 【解析】由( )40 x f xax，得4 x ax ，函数( )4 x f xax的零点为m， 即,4 x yayx的图象相交于点( ,4 )mm； 由( )log40 a g xxx，得log4 ax x，函数( )log4 a g xxx的零点为n， 即log,4 a yx yx的图象相交于点( ,4)nn， 因为,log x a yayx互为反函数，所以4mn，即4mn且0,0mn， 由基本不等式得 2 ()4 2 mn mn ，当且仅当2mn时“”成立，
8、所以mn的最大值为4，故选 B 4【答案】C 【解析】由题意 2sin(2 ) 6 f xxm在0, 2 x上有两个零点可转化为 2sin(2) 6 yx与y m 在0, 2 x上有两个不同交点，作出如图的图象， 由于右端点的坐标是( ,1) 2 由图知，1,2)m，故选 C 5【答案】D 【解析】由 12 1 0 xx a xeax e x ，即y a 与 2 1 x yx e 有三个交点， 设 2 1 ( ) x g xx e ， 1 ( )(2) x g xexx ， 故当,0 x 时，( )0g x ； 当0 ,2x时，( )0g x ； 当2,x时，( )0g x 所以函数( )g
9、x在(,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减， 故(0)0g， 4 (2)g e ，故 4 0a e ，故选 D 二、填空题 6【答案】 2 (0,) e 【解析】由 0f x ，可得 21 x x a e ， 令 21 x x g x e ，则直线y a 与函数 21 x x g x e 的图象有两个交点 12 x x gx e ， 当 1 2 x 时， 0g x，此时，函数 yg x单调递增； 当 1 2 x 时， 0gx，此时，函数 yg x单调递减， 所以，函数 yg x在 1 2 x 处取得极大值，且极大值为 12 ( ) 2 g e 当 1 2 x 时， 0
10、g x ；当 1 2 x 时， 0g x ，如下图所示： 由图象可知，当 2 0a e 时，直线y a 与函数 yg x的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是 2 (0,) e ， 故答案为 2 (0,) e 7【答案】(0,1) 【解析】作出函数( )f x的图象，如图所示， 由图象可知，当01k时，函数( )f x与yk的图象有两个不同的交点， 此时，方程有两个不同实根， 所以所求实数k的取值范围是(0,1)，故答案为(0,1) 三、解答题 8【答案】（1）1；（2）2,) 【解析】（1）因为 22 xx f xm 是奇函数，所以 fxf x ，xR， 即2222 xxxx mm ， 所以 2 11 20 x mm对一切xR恒成立，所以1m （2）方程 1 2xf xa ，即方程 1 222 xxx a 至少有一个实根， 即方程4210 xx a 至少有一个实根 令20 x t ，则方程 2 10tat 至少有一个正根 令 2 1h ttat， 由于 010h ，所以只需 0 0 2 a ，解得2a， 所以a的取值范围为2,
