2021届高三数学精准培优专练 函数零点(文) 含答案

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1、 例 1: 已知函数1 x yaa与log1 a yx a的图象有且仅有两个公共点, 则实数a的 取值范围是( ) A 1 1 e ae B1ae C 1 e eae Dae 例 2:若对任意0,1m,总存在唯一 1,1x 使得 2 0 x mx ea 成立,则实数a的取 值范围是( ) A1, e B 1 (1, e e C(0, e D 1 1, e e 一、选择题 1已知函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点,则m的取值范围是( ) A0,e B0,2e C( ,)e D(2 , )e 2若关于x的方程 2 |40 xxkxk有四个不同的实数根,则实数k的取值范围为

2、 ( ) A(0,62 5) B(,62 5) C(0,62 5) D(62 5,62 5) 3已知1a ,设函数( )4 x f xax的零点为m,( )log4 a g xxx的零点为n, 2、解决存在性问题 1、根据函数零点的个数求参数的取值范围 函数函数零点零点 则mn的最大值为( ) A8 B4 C2 D1 4已知( )2sin( 2) 6 f xxm在 0, 2 x上有两个零点,则m的取值范围为( ) A(1,2) B1,2 C1,2) D(1,2 5已知函数 1 ( ) x a f xxe x 有三个零点,则实数a的取值范围是( ) A 2 (0,4)e B 2 2 0, e C

3、 2 0,2e D 4 (0, ) e 二、填空题 6已知函数 21 x f xaex有两个零点,则实数a的取值范围是_ 7已知函数 3 2 ,2 ( ) (1) ,2 x f xx xx ,若关于x的方程( )f xk有两个不同的实根,则实 数k的取值范围是_ 三、解答题 8已知函数 22 xx f xmm R为奇函数 (1)求实数m的值; (2)若方程 1 2xf xa 至少有一个实根,求实数a的取值范围 例 1:【答案】A 【解析】因为函数1 x yaa与log1 a yx a的图像关于y x 对称, 所以其公共点在y x 上, 由已知log1 a yx a图像与直线y x 有两个公共点

4、, 可转化为y x 与1 x yaa有两个公共点,即 x xa 有两解, 即lnlnxxa,即 ln ln x a x , 令 ln x h x x ,所以 2 1 ln x h x x , 当0,xe, h x单调递增;当,xe, h x单调递减, 画出 h x的图像, 则只需 1 0lna e ,有两个公共点,解得 1 (1,) e ae,故选 A 例 2:【答案】B 【解析】由 2 0 x mx ea 成立,得 2x x eam , 对任意的0,1m,总存在唯一的 1,1x ,使得 2 0 x mx ea成立, 21 ( 1)1ea ,且 21 01ae,解得 1 1ae e , 其中

5、1 1a e 时,x存在两个不同的实数,因此舍去, a的取值范围是 1 (1, e e ,故选 B 一、选择题 1【答案】D 【解析】函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点, 等价于( ) x h xxe与 1 ( )() 2 g xm x有两个不同的交点,( )g x恒过点 1 ( ,0) 2 , 设( )g x与( )h x相切时切点为( ,) a a ae, 因为( )(1) x h xex,所以切线斜率为(1) a ea, 则切线方程为(1)() aa yaeaexa, 当切线经过点 1 ( ,0) 2 时,解得1a 或 1 2 a (舍),此时切线斜率为2e,

6、由函数图像特征可知:函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点, 则实数m的取值范围是(2 ,)e ,故选 D 2【答案】A 【解析】关于x的方程 2 |40 xxkxk有四个不同的实数根, 即方程 2 41xxk x有四个不同的实数根, 不妨设 2 4f xxx, 1g xk x, 则只需 f x, g x有四个交点即可, 又 g x表示斜率为k,且过点1,0的直线 画出 f x, g x的图象如下所示: 数形结合可知,当直线1yk x与 f x在0 x时相切为临界情况 设切点为,m n,显然0,2m, 又相切时, 2 4yxx , 24yx , 故可得 2 4 24 11

7、 nmm km mm ,解得 51m , 则相切时斜率 62 5k , 故要满足题意,只需0,62 5k,故选 A 3【答案】B 【解析】由( )40 x f xax,得4 x ax ,函数( )4 x f xax的零点为m, 即,4 x yayx的图象相交于点( ,4 )mm; 由( )log40 a g xxx,得log4 ax x,函数( )log4 a g xxx的零点为n, 即log,4 a yx yx的图象相交于点( ,4)nn, 因为,log x a yayx互为反函数,所以4mn,即4mn且0,0mn, 由基本不等式得 2 ()4 2 mn mn ,当且仅当2mn时“”成立,

8、所以mn的最大值为4,故选 B 4【答案】C 【解析】由题意 2sin(2 ) 6 f xxm在0, 2 x上有两个零点可转化为 2sin(2) 6 yx与y m 在0, 2 x上有两个不同交点,作出如图的图象, 由于右端点的坐标是( ,1) 2 由图知,1,2)m,故选 C 5【答案】D 【解析】由 12 1 0 xx a xeax e x ,即y a 与 2 1 x yx e 有三个交点, 设 2 1 ( ) x g xx e , 1 ( )(2) x g xexx , 故当,0 x 时,( )0g x ; 当0 ,2x时,( )0g x ; 当2,x时,( )0g x 所以函数( )g

9、x在(,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,)上单调递减, 故(0)0g, 4 (2)g e ,故 4 0a e ,故选 D 二、填空题 6【答案】 2 (0,) e 【解析】由 0f x ,可得 21 x x a e , 令 21 x x g x e ,则直线y a 与函数 21 x x g x e 的图象有两个交点 12 x x gx e , 当 1 2 x 时, 0g x,此时,函数 yg x单调递增; 当 1 2 x 时, 0gx,此时,函数 yg x单调递减, 所以,函数 yg x在 1 2 x 处取得极大值,且极大值为 12 ( ) 2 g e 当 1 2 x 时, 0

10、g x ;当 1 2 x 时, 0g x ,如下图所示: 由图象可知,当 2 0a e 时,直线y a 与函数 yg x的图象有两个交点, 因此,实数a的取值范围是 2 (0,) e , 故答案为 2 (0,) e 7【答案】(0,1) 【解析】作出函数( )f x的图象,如图所示, 由图象可知,当01k时,函数( )f x与yk的图象有两个不同的交点, 此时,方程有两个不同实根, 所以所求实数k的取值范围是(0,1),故答案为(0,1) 三、解答题 8【答案】(1)1;(2)2,) 【解析】(1)因为 22 xx f xm 是奇函数,所以 fxf x ,xR, 即2222 xxxx mm , 所以 2 11 20 x mm对一切xR恒成立,所以1m (2)方程 1 2xf xa ,即方程 1 222 xxx a 至少有一个实根, 即方程4210 xx a 至少有一个实根 令20 x t ,则方程 2 10tat 至少有一个正根 令 2 1h ttat, 由于 010h ,所以只需 0 0 2 a ,解得2a, 所以a的取值范围为2,

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