1、2020 年广东省惠州市仲恺区中考数学一模试卷年广东省惠州市仲恺区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2 （3 分）2020 年 2 月 11 日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30 多个国 家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为 4000 亿只；每平方公里的蝗虫，每天可以吃 掉 35000 人份粮食作物4000 亿用科学记数法表示为（ ） A4103 B4107亿 C41010 D41011 3 （3 分）已知一组数据 5，8，8，9
2、，10，以下说法错误的是（ ） A平均数是 8 B众数是 8 C中位数是 8 D方差是 8 4 （3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ） A B C D 5 （3 分）实数 m，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A|m|1 B1m1 Cmn0 Dm+10 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （2a）24a2 B （a+b）2a2+b2 C （a5）2a7 D （a+2） （a2）a24 7 （3 分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 8 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（4，3）与
3、点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标 为（ ） A （4，3） B （4，3） C （4，3） D （4，3） 9 （3 分）如图，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB，则O 的半径为（ ） A B C D 10 （3 分）如图是二次函数 yax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（5，0） ，对称轴为 直线 x2，给出四个结论：c0；抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0） ；4a b0；若 M（3，y1）与 N（，y2）是抛物线上两点，则 y1y2其中，正确结 论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4
4、分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：x2xy 12 （4 分）如图，直线 a 与直线 b 相交于点 O，130，2 13 （4 分）函数 y自变量 x 的取值范围是 14 （4 分）方程的解为 15 （4 分）如图，O 的半径为 3，点 A，B，C，D 都在O 上，AOB30，将扇形 AOB 绕点 O 顺时针旋转 120后恰好与扇形 COD 重合，则的长为 （结果保 留 ） 16 （4 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，则圆锥的母线 l 17 （4 分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作； 然
5、后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称 为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三 角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次 数是 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：4cos30+20190+|1| 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x+1 20 （6 分）如图，已知在ABC 中，ABAC （1）试用直尺和圆规在 AC 上找一点 D，使 ADB
6、D（不写作法，但需保留作图痕迹） ； （2）在（1）中，连接 BD，若 BDBC，求A 的度数 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）如图，在O 中，点 A 是的中点，连接 AO，延长 BO 交 AC 于点 D （1）求证：AO 垂直平分 BC （2）若，求的值 22 （8 分）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批这种运动服， 上市后很快脱销， 商场又用 68 000 元购进第二批这种运动服， 所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了
7、 10 元 （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套 售价至少是多少元？（利润率100%） 23 （8 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为 了解市民对去年销量较好的肉馅粽、 豆沙馅粽、 红枣馅粽、 蛋黄馅粽 （以下分别用 A、 B、 C、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查， 并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整） 请根据以上信息回答 （1）本次参加抽样调查的居民有 人； （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中 A 占 ，C
8、占 ； （3）若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或 画树状图的方法，求他吃到 C 粽子的概率 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A，B 不 重合） ，连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）求证：ABFBCE； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 C 作
9、CMDG 于点 H，分别交 AD，BF 于点 M， N，求的值 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴分别交于 A （3，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点 E（1，4） ，对称轴交 x 轴于点 F （1）请直接写出这条抛物线和直线 AE、直线 AC 的解析式； （2）连接 AC、AE、CE，判断ACE 的形状，并说明理由； （3）如图 2，点 D 是抛物线上一动点，它的横坐标为 m，且3m1，过点 D 作 DKx 轴于点 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H在点 D 的运动过程中， DG、GH、HK 这三条线段
10、能否相等？若相等，请求出点 D 的坐标；若不相等，请说 明理由； 在的条件下，判断 CG 与 AE 的数量关系，并直接写出结论 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】依据相反数的定义解答即可 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：B 2 （3 分）2020 年 2 月 11 日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30 多个国 家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为 4000 亿只；每平方公里的蝗虫，每天可以吃 掉
11、35000 人份粮食作物4000 亿用科学记数法表示为（ ） A4103 B4107亿 C41010 D41011 【分析】把 4000 亿写成 4000 0000 0000，再记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有 一位的数，n 是正整数的形式 【解答】解：4000 亿4000 0000 000041011， 故选：D 3 （3 分）已知一组数据 5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ） A平均数是 8 B众数是 8 C中位数是 8 D方差是 8 【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断 【解答】解：由平均数的公式得平均数（5+8+8+9+10）58， 方差（58）2+（
12、88）2+（88）2+（98）2+（108）22.8， 将 5 个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第 3 个数为 8，即中位数为 8， 5 个数中 8 出现了两次，次数最多，即众数为 8， 故选：D 4 （3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看，底层是一个小正方形，上层是一个小正方形 故选：B 5 （3 分）实数 m，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A|m|1 B1m1 Cmn0 Dm+10 【分析】
13、利用数轴表示数的方法得到 m0n，然后对各选项进行判断 【解答】解：利用数轴得 m01n， 所以m0，1m1，mn0，m+10 故选：B 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （2a）24a2 B （a+b）2a2+b2 C （a5）2a7 D （a+2） （a2）a24 【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择 【解答】解： （2a）24a2，故选项 A 不合题意； （a+b）2a2+2ab+b2，故选项 B 不合题意； （a5）2a10，故选项 C 不合题意； （a+2） （a2）a24，故选项 D 符合题意 故选：D 7 （3 分）下列图案中，是中
14、心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C 8 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（4，3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标 为（ ） A （4，3） B （4，3） C （4，3） D （4，3） 【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答 【解答】解：点 A（4，3）
15、 ，点 A 与点 B 关于原点对称， 点 B（4，3） 故选：C 9 （3 分）如图，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB，则O 的半径为（ ） A B C D 【分析】 连接 OA， 设O 的半径为 r， 由于 AB 垂直平分半径 OC， AB， 则 AD ，OD，再利用勾股定理即可得出结论 【解答】解：连接 OA，设O 的半径为 r， AB 垂直平分半径 OC，AB， AD，OD， 在 RtAOD 中， OA2OD2+AD2，即 r2（）2+（）2， 解得 r 故选：A 10 （3 分）如图是二次函数 yax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（5，0） ，对称轴为 直线 x2
16、，给出四个结论：c0；抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0） ；4a b0；若 M（3，y1）与 N（，y2）是抛物线上两点，则 y1y2其中，正确结 论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本 题 【解答】解：由函数图象可得， c0，故正确， 二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（5，0） ，对称轴为直线 x2， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） ，故错误， 对称轴为 x2，得 4ab0，故正确， 函数图象开口向下，对称轴为直线 x2， 点 M（3，y1）比点 N（，y2）离对称轴近， y1y2，
17、故错误； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：x2xy x（xy） 【分析】直接提取公因式 x，进而分解因式即可 【解答】解：x2xyx（xy） 故答案为：x（xy） 12 （4 分）如图，直线 a 与直线 b 相交于点 O，130，2 150 【分析】因1 和2 是邻补角，且130，由邻补角的定义可得21801 18030150 【解答】解：1+2180， 又130， 2150 13 （4 分）函数 y自变量 x 的取值范围是 x5 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【
18、解答】解：根据题意得，x50， 解得 x5 故答案为：x5 14 （4 分）方程的解为 x1 【分析】观察可得方程最简公分母为 2x（x+3） 去分母，转化为整式方程求解结果要 检验 【解答】解：两边同时乘 2x（x+3） ，得 x+34x， 解得 x1 经检验 x1 是原分式方程的根 15 （4 分）如图，O 的半径为 3，点 A，B，C，D 都在O 上，AOB30，将扇形 AOB 绕点 O 顺时针旋转 120后恰好与扇形 COD 重合，则的长为 （结果保 留 ） 【分析】先利用旋转的性质得到BOD120，则AOD150，然后根据弧长公式 计算的长 【解答】解：扇形 AOB 绕点 O 顺时针
19、旋转 120后恰好与扇形 COD 重合， BOD120， AODAOB+BOD30+120150， 的长 故答案为 16 （4 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，则圆锥的母线 l 3 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得 圆锥的母线长 【解答】解：圆锥的底面周长22cm， 则：2， 解得 l3 故答案为：3 17 （4 分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作； 然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称 为第二次操作；再将其中一个三
20、角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三 角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次 数是 33 【分析】由第一次操作后三角形共有 4 个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次 操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第 n 次操作后三角形共有 4+3（n1）3n+1 个， 根据题意得 3n+1100，求得 n 的值即可 【解答】解：第一次操作后，三角形共有 4 个； 第二次操作后，三角形共有 4+37 个； 第三次操作后，三角形共有 4+3+310 个； 第 n 次操作后，三角形共有 4+3（n1）3n+1 个； 当 3n+1100
21、 时，解得：n33， 故答案为：33 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：4cos30+20190+|1| 【分析】利用负整数指数幂的性质、零次幂的性质、绝对值的性质进行计算，再算加减 即可 【解答】解：原式4+1+1 2+1+1 3 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x+1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 当 x+1 时， 原式 20 （6 分）如图，已知在ABC 中，ABAC （1）试用直尺和圆规在 AC 上找一点 D，使 ADBD（不写作法
22、，但需保留作图痕迹） ； （2）在（1）中，连接 BD，若 BDBC，求A 的度数 【分析】 （1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案 【解答】解： （1）如图所示： （2）设Ax， ADBD， DBAAx， 在ABD 中 BDCA+DBA2x， 又BDBC， CBDC2x， 又ABAC， ABCC2x， 在ABC 中 A+ABC+C180， x+2x+2x180， x36， 故A 的度数为 36 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 2
23、1 （8 分）如图，在O 中，点 A 是的中点，连接 AO，延长 BO 交 AC 于点 D （1）求证：AO 垂直平分 BC （2）若，求的值 【分析】 （1）延长 AO 交 BC 于 H根据垂径定理证明即可 （2）延长 BD 交O 于 K，连接 CK在 RtACH 中，由 tanACH，可以假 设 AH4k，CH3k，设 OAr，在 RtBOH 中，根据 OB2BH2+OH2，构建方程，求 出 r 与 k 的关系，再求出 CK 即可解决问题 【解答】 （1）证明：延长 AO 交 BC 于 H ， OABC， BHCH， AO 垂直平分线段 BC （2）解：延长 BD 交O 于 K，连接 CK
24、 在 RtACH 中，tanACH， 可以假设 AH4k，CH3k，设 OAr， 在 RtBOH 中，OB2BH2+OH2， r29k2+（4kr）2， rk， OHAHOAk， BK 是直径， BCK90， CKBC，OABC， OACK， BOOK，BHHC， CK2OHk， CKOA， AODCKD， 22 （8 分）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批这种运动服， 上市后很快脱销， 商场又用 68 000 元购进第二批这种运动服， 所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元 （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
25、（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套 售价至少是多少元？（利润率100%） 【分析】 （1）求的是数量，总价明显，一定是根据单价来列等量关系，本题的关键描述 语是：每套进价多了 10 元等量关系为：第二批的每件进价第一批的每件进价10； （2）等量关系为： （总售价总进价）总进价20% 【解答】解： （1）设商场第一次购进 x 套运动服，由题意得： ， （3 分） 解这个方程，得 x200， 经检验，x200 是所列方程的根， 2x+x2200+200600， 所以商场两次共购进这种运动服 600 套； （5 分） （2）设每套运动服的售价为 y
26、元，由题意得： ， 解这个不等式，得 y200， 所以每套运动服的售价至少是 200 元 （8 分） 23 （8 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为 了解市民对去年销量较好的肉馅粽、 豆沙馅粽、 红枣馅粽、 蛋黄馅粽 （以下分别用 A、 B、 C、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查， 并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整） 请根据以上信息回答 （1）本次参加抽样调查的居民有 600 人； （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中 A 占 30% ，C 占 20% ； （3）若有外型完全相同的 A、B、C、D
27、粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或 画树状图的方法，求他吃到 C 粽子的概率 【分析】 （1）根据 B 类有 60 人，所占的百分比是 10%即可求解； （2） 利用总人数减去其他类型的人数即可求得 C 类型的人数， 然后根据百分比的意义求 解； （3）利用列举法即可求解 【解答】解： （1）本次参加抽样调查的居民人数是 6010%600（人） ； 故答案为：600； （2）A 组所对应的百分比是100%30%， C 组的人数是 60018060240120（人） ，所占的百分比是100%20% （3）画树状图如下： 则他吃到 C 粽的概率是 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三）
28、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A，B 不 重合） ，连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）求证：ABFBCE； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 C 作 CMDG 于点 H，分别交 AD，BF 于点 M， N，求的值 【分析】 （1）先判断出GCB+CBG90，再由四边形 ABCD 是正方形，得出CBE 90A，BCAB，即可得出
29、结论； （2）设 ABCDBC2a，先求出 EAEBABa，进而得出 CEa，再求出 BGa，CGa，再判断出CHDBGC（AAS） ，进而判断出 GHCH， 即可得出结论； （3）先求出 CHa，再求出 DHa，再判断出CHDDHM，求出 HMa， 再用勾股定理求出 GHa，最后判断出GHNCHG，得出 HNa，即可 得出结论 【解答】 （1）证明：BFCE， CGB90， GCB+CBG90， 四边形 ABCD 是正方形， CBE90A，BCAB， FBA+CBG90， GCBFBA， ABFBCE（ASA） ； （2）证明：如图 2，过点 D 作 DHCE 于 H， 设 ABCDBC2a
30、， 点 E 是 AB 的中点， EAEBABa， CEa， 在 RtCEB 中，根据面积相等，得 BGCECBEB， BGa， CGa， DCE+BCE90，CBF+BCE90， DCECBF， CDBC，CHDCGB90， CHDBGC（AAS） ， CHBGa， GHCGCHaCH， DHDH，CHDGHD90， DGHCDH（SAS） ， CDGD； （3）解：如图 3，过点 D 作 DQCE 于 Q， SCDGDQCGCHDG， CHa， 在 RtCQD 中，CD2a， DHa， MDH+HDC90，HCD+HDC90， MDHHCD， CHDDHM， ， HMa， 在 RtCHG 中
31、，CGa，CHa， GHa， MGH+CGH90，HCG+CGH90， CGHCNG， GHNCHG， ， HNa， MNHMHNa， 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴分别交于 A （3，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点 E（1，4） ，对称轴交 x 轴于点 F （1）请直接写出这条抛物线和直线 AE、直线 AC 的解析式； （2）连接 AC、AE、CE，判断ACE 的形状，并说明理由； （3）如图 2，点 D 是抛物线上一动点，它的横坐标为 m，且3m1，过点 D 作 DKx 轴于点 K，DK 分别交线段 AE、
32、AC 于点 G、H在点 D 的运动过程中， DG、GH、HK 这三条线段能否相等？若相等，请求出点 D 的坐标；若不相等，请说 明理由； 在的条件下，判断 CG 与 AE 的数量关系，并直接写出结论 【分析】 （1）抛物线的表达式为：ya（x+1）2+4a（x2+2x+1）+4，即可求解； （2）则 AC218，CE22，AE220，即可求解； （3） 设出点 D、 G、 H 的坐标， 求出： DGx22x+32x6x24x3； HKx+3； GH2x+6x3x+3，即可求解； 【解答】解： （1）抛物线的表达式为：ya（x+1） 2+4a（x2+2x+1）+4ax2+2ax+a+4， 故 a
33、+43，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x+3； 将点 A、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AE 的表达式为：y2x+6； 同理可得：直线 AC 的表达式为：yx+3； （2）点 A、C、E 的坐标分别为： （3，0） 、 （0，3） 、 （1，4） ， 则 AC218，CE22，AE220， 故 AC2+CE2AE2，则ACE 为直角三角形； （3）设点 D、G、H 的坐标分别为： （x，x22x+3） 、 （x，2x+6） 、 （x，x+3） ， DGx22x+32x6x24x3；HKx+3；GH2x+6x3x+3； 当 DGHK 时，x24x3x+3，解得：x2 或3（舍去3） ，故 x2， 当 x2 时，DGHKGH1， 故 DG、GH、HK 这三条线段相等时，点 D 的坐标为： （2，3） ； CG；AE2， 故 AE2CG
