1、我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ） A B C D 3 （3 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板按如图所示方式放置（ABC 30） ，并且顶点 A，C 分别落在直线 m，n 上，若138，则2 的度数是（ ） A20 B22 C28 D38 4 （3 分）若正比例函数 ykx 的图象经过第二、四象限，且过点 A（2m，1）和 B（2，m） ， 则 k 的值为（ ） A B2 C1 D1 5 （3 分）下
2、列运算正确的是（ ） Aa3a2a6 Ba 2 C （a+2） （a2）a2+4 D （a2+1）01 6 （3 分）如图，在ABC 中，ABC90，C52，BE 为 AC 边上的中线，AD 平 分BAC，交 BC 边于点 D，过点 B 作 BFAD，垂足为 F，则EBF 的度数为（ ） 第 2 页（共 36 页） A19 B33 C34 D43 7 （3 分）若直线 l1经过点（3，0） ，l2经过点（1，0） ，且 l1与 l2关于直线 y1 对称，则 l1与 l2的交点坐标是（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，） D （0，2） 8 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB
3、8，BC4点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、 H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ） A2 B3 C5 D6 9 （3 分）如图所示，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，且 OCAB，过点 C 的弦 CD 与 线段 OB 相交于点 E，满足AEC65，连接 AD，则BAD 等于（ ） A20 B25 C30 D32.5 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，则 下列说法错误的是（ ） Aa+c0 B无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，且函数图象截 x 轴所得
4、的线段 长度必大于 2 C当函数在 x时，y 随 x 的增大而减小 第 3 页（共 36 页） D当1mn0 时，m+n 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）已知实数：3.14，0，其中无理数有 个 12 （3 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 BD、BE、DF，则的值为 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中点，D
5、E 与 BC 交于点 F若 y（k0）图象经过点 C，且 SBEF，则 k 的值为 14 （3 分）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0） ， （0，8） ，点 C、F 分别是直线 x 5 和 x 轴上的动点，CF10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y 轴于点 E，则 ABE 面积的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分解答应写出过程）分解答应写出过程） 15 （5 分）计算： （2）2012 （+2）20132|（）0 16 （5 分）先化简，再求值： （），再从 0、1、2 三个数中，选 第 4 页（共 36 页） 择一个你认为合适
6、的数作为 x 值代入求值 17 （5 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABAD 在 BC 上求作一点 P 使ABPADP （要 求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18 （5 分）2020 年的春节，对于我们来说，有些不一样，我们不能和小伙伴相约一起玩耍， 不能去游乐场放飞自我，也不能和自己的兄弟姐妹一起吃美味的大餐，这么做，是因为 我们每一个人都在面临一个眼睛看不到的敌人，它叫病毒，残酷的病毒会让人患上肺炎， 人与人的接触会让这种疾病快速地传播开来，严重的还会有生命危险，目前我省已经启 动突发公共卫生事件一级应急响应，但我们相信，只要大家一起努力，疫情终有会被战 胜的一天 在这
7、个不能出门的悠长假期里，某小学随机对本校部分学生进行“假期中，我在家可以 这么做!A扎实学习、B快乐游戏、C经典阅读、D分担劳动、E乐享健康”的网 络调查， 并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 （若每一位同学只能选择一项） ， 请根据图中的信息，回答下列问题 （1）这次调查的总人数是 人； （2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中 E 所对应的圆心角是 度； （3）若学校共有学生的 1700 人，则选择 C 有多少人？ 19 （7 分）在正方形 ABCD 中，BC2，E、F 分别是 CB、CD 延长线上的点，DFBE， 连接 AE、AF （1）求证：ADFABE （2）若 BE1，求
8、 sinAED 的值 第 5 页（共 36 页） 20 （7 分）如图，某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 AB 的高为 13 米，灯杆 BC 与灯柱 AB 的夹角B120，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 长为 20 米，已知 tan CDE，tanCED，求灯杆 BC 的长度 21 （7 分）为更新树木品种，某植物园计划购进甲、乙两个品种的树苗栽植培育若计划购 进这两种树苗共 41 棵，其中甲种树苗的单价为 6 元/棵，购买乙种树苗所需费用 y（元） 与购买数量 x（棵）之间的函数关系如图所示 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35
9、棵，但不少于甲种树苗的数量请设 计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用 22 （7 分）春节过后元宵节，欢聚一堂诉团圆，元宵节是我国传统节日，在这天家家都要 吃元宵妈妈买了 4 包元宵，每包一斤（4 包元宵除馅不同外，外包装以及其它都相同） ， 其中有两包黑芝麻馅的元宵、一包五仁馅的元宵、一包花生馅的元宵，妈妈从中任意拿 出两包送给奶奶 第 6 页（共 36 页） （1）妈妈随机拿出一包，求拿到黑芝麻馅元宵的概率是 ； （2）用树状图或列表的方法求奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的概率 23 （8 分）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCD ACB 交O
10、 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 24 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0， 2）三点 （1）求这条抛物线的解析式； （2）E 为抛物线上一动点，是否存在点 E，使以 A、B、E 为顶点的三角形与COB 相 似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线相交于点 D，连接 BD
11、，试求出 BDA 的度数 25 （12 分）问题探究， （1）如图，在矩形 ABCD 中，AB2AD，P 为 CD 边上的中点，试比较APB 和 ADB 的大小关系，并说明理由； （2）如图，在正方形 ABCD 中，P 为 CD 上任意一点，试问当 P 点位于何处时APB 第 7 页（共 36 页） 最大？并说明理由； 问题解决 （3）某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在 OD 边上点 P 处安装监控 装置，用来监控 OC 边上的 AB 段，为了让监控效果最佳，必须要求APB 最大，已知： DOC60，OA400 米，AB200米，问在 OD 边上是否存在一点 P，使得APB 最大，
12、若存在，请求出此时 OP 的长和APB 的度数；若不存在，请说明理由 第 8 页（共 36 页） 2020 年陕西师大附中中考数学二模试卷年陕西师大附中中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一分，每小题只有一个选项是符合题意的）个选项是符合题意的） 1 （3 分）的倒数是（ ） A2010 B2010 C D 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为 1 【解答】解：根据倒数的定义得： 2010（）1，因此的倒数是2010 故选：A 【点评】根本题考查了倒数的定义：若两个数
13、的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 2 （3 分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案 【解答】解：该几何体的俯视图是： 故选：A 【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图 形是解决本题的关键 3 （3 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板按如图所示方式放置（ABC 30） ，并且顶点 A
14、，C 分别落在直线 m，n 上，若138，则2 的度数是（ ） 第 9 页（共 36 页） A20 B22 C28 D38 【分析】根据三角形内角和定理求出ACB，过 C 作 CD直线 m，求出 CD直线 m 直线 n，根据平行线的性质得出1ACD，2BCD，即可求出答案 【解答】解： ABC30，BAC90， ACB60， 过 C 作 CD直线 m， 直线 mn， CD直线 m直线 n， 1ACD，2BCD， 138， ACD38， 2BCD603822， 故选：B 【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性 质和判定定理进行推理是解此题的关键 4 （3 分
15、）若正比例函数 ykx 的图象经过第二、四象限，且过点 A（2m，1）和 B（2，m） ， 则 k 的值为（ ） A B2 C1 D1 【分析】由正比例函数的图象经过的象限，利用正比例函数的性质可得出 k0，由正比 例函数的图象经过点 A，B，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于 k，m 的方程 组，解之取其负值即可得出结论 【解答】解：正比例函数 ykx 的图象经过第二、四象限， 第 10 页（共 36 页） k0 正比例函数 ykx 的图象过点 A（2m，1）和 B（2，m） ， ， 解得：或（舍去） 故选：A 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次
16、函 数图象上点的坐标特征，找出关于 k，m 的方程组是解题的关键 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3a2a6 Ba 2 C （a+2） （a2）a2+4 D （a2+1）01 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式a5，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式a24，不符合题意； D、原式1，符合题意， 故选：D 【点评】此题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌 握运算法则及公式是解本题的关键 6 （3 分）如图，在ABC 中，ABC90，C52，BE 为 AC 边上的中线，AD 平 分BAC，交 BC 边于点 D，过点 B 作
17、 BFAD，垂足为 F，则EBF 的度数为（ ） A19 B33 C34 D43 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 BEACAECE，由等腰三角形的性 质得出EBCC52，由角平分线定义得出CAD19，由三角形的外角性质得 出ADB71，由直角三角形的性质得出FBD19，进而得出答案 第 11 页（共 36 页） 【解答】解：ABC90，BE 为 AC 边上的中线， BAC90C905238，BEACAECE， EBCC52， AD 平分BAC， CADBAC19， ADBC+DAC52+1971， BFAD， BFD90， FBD90ADB19， EBFEBCFBD521933； 故
18、选：B 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的 性质等知识； 熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键 7 （3 分）若直线 l1经过点（3，0） ，l2经过点（1，0） ，且 l1与 l2关于直线 y1 对称，则 l1与 l2的交点坐标是（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，） D （0，2） 【分析】根据数形结合的数学思想，画出图形后就可以找到交点 【解答】解：根据两条直线关于 y1 对称，可得交点坐标是： （2，1） 故选：B 【点评】本题考查了图形的对称与坐标的知识点，运用了数形结合的数学思想 第 12 页（共
19、36 页） 8 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC4点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、 H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ） A2 B3 C5 D6 【分析】方法一：连接 EF 交 AC 于 O，由四边形 EGFH 是菱形，得到 EFAC，OE OF，由于四边形 ABCD 是矩形，得到BD90，ABCD，通过CFOAOE， 得到 AOCO，求出 AOAC2，根据AOEABC，即可得到结果方法二： 利用勾股定理构建方程解决问题即可 【解答】解；连接 EF 交 AC 于 O， 四边形 EGFH 是菱形， EFAC，OEOF，
20、四边形 ABCD 是矩形， BD90，ABCD， ACDCAB， 在CFO 与AOE 中， CFOAOE， AOCO， AC4， AOAC2， CABCAB，AOEB90， AOEABC， ， ， AE5 方法二：应连接 EF 得 EFAC 易证 EF 垂直平分 AC 连接 CE，得 CEAE， 第 13 页（共 36 页） 设 CEAEx，EB8x，BC4，利用勾股定理求得 x5 即可 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 熟练运用定理是解题的关键 9 （3 分）如图所示，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，且 OCAB，过点 C 的弦
21、CD 与 线段 OB 相交于点 E，满足AEC65，连接 AD，则BAD 等于（ ） A20 B25 C30 D32.5 【分析】连接 OD，根据三角形内角和定理求出OCD，根据等腰三角形的性质求出 ODC，根据三角形内角和定理求出DOC，求出DOB，再根据圆周角定理求出BAD 即可 【解答】解：连接 OD， OCAB， COB90， AEC65， OCE180906525， ODOC， ODCOCD25， 第 14 页（共 36 页） DOC1802525130， DOBDOCBOC1309040， 由圆周角定理得：BADDOB20， 故选：A 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角
22、和定理和圆周角定理等知识点，能 求出DOB 的度数是解此题的关键 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，则 下列说法错误的是（ ） Aa+c0 B无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，且函数图象截 x 轴所得的线段 长度必大于 2 C当函数在 x时，y 随 x 的增大而减小 D当1mn0 时，m+n 【分析】A把 M、N 的坐标代入解析式得到两个三元一次方程，进而可求得 a+c 的值， B令 y0，求出，判断图象与 x 轴的交点个数，根据根的个数与根的判别式的关系得 解； C求出对称轴，然后结合 a 的取值范围判断；
23、 D根据 a 的取值范围，判断的箱号便可得结果 【解答】解：函数经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ， ab+c2，a+b+c2， a+c0，b2， A 正确； ca，b2， yax22xa， 4+4a20， 无论 a 为何值，函数图象与 x 轴必有两个交点， x1+x2，x1x21， 第 15 页（共 36 页） |x1x2|22， B 正确； 二次函数 yax2+bx+c（a0）的对称轴 x， 当 a0 时，不能判定 x时，y 随 x 的增大而减小； C 错误； 1mn0，a0， m+n0，0， m+n； D 正确， 故选：C 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，交点坐标和系数的
24、关系，熟悉抛物线的对称 性及抛物线与 x 轴的交点坐标是本题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）已知实数：3.14，0，其中无理数有 2 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此进行解答即可 【解答】解：在实数3.14，0，中，无理数有， 共 2 个 故答案为：2 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010
25、001，等有这样规律的数 12 （3 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 BD、BE、DF，则的值为 【分析】由正六边形的性质得出 BCCDDEEF，CCDEDEF120，由 第 16 页（共 36 页） 等腰三角形的性质得出CDBCBD30，得出BDE90，DEBFEB 60， 求出DBE30， 由含 30角的直角三角形的性质得出 BE2DE， BDDE， 证明BCDDEF（SAS） ，得出 BDDFDE，即可得出答案 【解答】解：六边形 ABCDEF 是正六边形， BCCDDEEF，CCDEDEF（62）180120， CDBCBD30， BDE1203090，DEBFEB60，
26、 DBE30， BE2DE，BDDE， 在BCD 和DEF 中， BCDDEF（SAS） ， BDDFDE， ； 故答案为： 【点评】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、 含 30角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形全等是解 题的关键 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中点，DE 与 BC 交于点 F若 y（k0）图象经过点 C，且 SBEF
27、，则 k 的值为 12 【分析】连接 OC，BD，根据折叠的性质得到 OAOE，得到 OE2OB，求得 OA2OB， 设 OBBEx，则 OA2x，根据平行四边形的性质得到 CDAB3x，根据相似三角形 第 17 页（共 36 页） 的性质得到，即，求得 SBDF，SCDF，即可求得 SCDO SBDC6，于是得到结论 【解答】解：连接 OC，BD， 将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处， OAOE， 点 B 恰好为 OE 的中点， OE2OB， OA2OB， 设 OBBEx，则 OA2x， AB3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB3x， CDAB， C
28、DFBEF， ，即， SBEF， SBDF，SCDF， SBCD6， SCDOSBDC6， k2SCDO12， 故答案为 12 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质， 相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 14 （3 分）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0） ， （0，8） ，点 C、F 分别是直线 x 第 18 页（共 36 页） 5 和 x 轴上的动点，CF10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y 轴于点 E，则 ABE 面积的最大值为 【分析】如图 1，设直线 x5 交 x 轴于 K由题意 KDCF5，推出
29、点 D 的运动轨 迹是以 K 为圆心，5 为半径的圆，推出当直线 AD 与K 相切时，ABE 的面积最大，根 据三角形面积公式即可解决问题 【解答】解：如图 1，设直线 x5 交 x 轴于 K连接 DK， 由题意 KDCF5， 点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心，5 为半径的圆， 当直线 AD 与K 相切时，ABE 的面积最大，如图 2，连接 KD， 第 19 页（共 36 页） AD 是切线，点 D 是切点， ADKD， AK5+813，DK5， AD12， tanEAO，即， OE， BE8+， SABEBEOA 故答案为： 【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关
30、系，三角形的 面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分解答应写出过程）分解答应写出过程） 15 （5 分）计算： （2）2012 （+2）20132|（）0 【分析】根据积的乘方和零指数幂的意义计算 【解答】解：原式（2） （+2）2012 （+2）21 +21 1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 第 20 页（共 36 页） 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事
31、半功倍 16 （5 分）先化简，再求值： （），再从 0、1、2 三个数中，选 择一个你认为合适的数作为 x 值代入求值 【分析】首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再 根据分式有意义的条件确定 x 的值，然后代入 x 的值即可 【解答】解：原式， ， ， ， x0，x40，x20， x0 和 4 和 2， x 取 1， 原式1 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正 确把分式进行化简 17 （5 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABAD 在 BC 上求作一点 P 使ABPADP （要 求：用尺规作图，不写作法，保留作
32、图痕迹） 【分析】作BAD 的平分线得BAPDAP，结合 ABAD、APAP 可得ABP ADP 【解答】解：如图所示，点 P 即为所求 第 21 页（共 36 页） 【点评】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、 角平分线的尺规作图 18 （5 分）2020 年的春节，对于我们来说，有些不一样，我们不能和小伙伴相约一起玩耍， 不能去游乐场放飞自我，也不能和自己的兄弟姐妹一起吃美味的大餐，这么做，是因为 我们每一个人都在面临一个眼睛看不到的敌人，它叫病毒，残酷的病毒会让人患上肺炎， 人与人的接触会让这种疾病快速地传播开来，严重的还会有生命危险，目前我省已经启 动突发
33、公共卫生事件一级应急响应，但我们相信，只要大家一起努力，疫情终有会被战 胜的一天 在这个不能出门的悠长假期里，某小学随机对本校部分学生进行“假期中，我在家可以 这么做!A扎实学习、B快乐游戏、C经典阅读、D分担劳动、E乐享健康”的网 络调查， 并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 （若每一位同学只能选择一项） ， 请根据图中的信息，回答下列问题 （1）这次调查的总人数是 200 人； （2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中 E 所对应的圆心角是 104.4 度； （3）若学校共有学生的 1700 人，则选择 C 有多少人？ 【分析】 （1）根据选择 A 的人数和所占的百分比，可以求得
34、本次调查的总人数； （2）根据（1）中的结果可以得到选择 B 的人数，从而可以将条形统计图补充完整，然 后根据条形统计图中的数据可以计算出扇形统计图中 E 所对应的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出该校学生选择 C 有多少人 【解答】解： （1）这次调查的总人数是：5226%200（人） ， 第 22 页（共 36 页） 故答案为：200； （2）选择 B 的学生有：2005234165840（人） ， 补全的条形统计图如右图所示， 扇形统计图中 E 所对应的圆心角是：360104.4， 故答案为：104.4； （3）1700289（人） ， 答：选择 C 有 289 人 【点
35、评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答 19 （7 分）在正方形 ABCD 中，BC2，E、F 分别是 CB、CD 延长线上的点，DFBE， 连接 AE、AF （1）求证：ADFABE （2）若 BE1，求 sinAED 的值 【分析】 （1）由 SAS 直接得出结论 （2）作 AHDE 于 H，算出 AH 和 AE 即可得出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA，ABCBCDCDADAB90， ABEADF90， 第 23 页（共 36 页） 在ADF 和ABE 中： ADFABE（SAS） （2）BC2，BE
36、1， CDADAB2，CE3， DE，AE， 如图，作 AHDE 于 H， 则 SAEDDEAH， 又SAEDADAB2， DEAH2， AH， sinAED 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等面积 法求线段长度、锐角三角函数的定义等知识点，难度不大，熟悉正方形、三角形基本性 质和相关定理是解答的关键 20 （7 分）如图，某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 AB 的高为 13 米，灯杆 BC 与灯柱 AB 的夹角B120，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 长为 20 米，已知 tan CDE，tanCED，求灯杆 BC 的长度 第 24 页（共 3
37、6 页） 【分析】过点 C 作 CFAE，交 AE 于点 F，过点 B 作 BGCF，交 CF 于点 G，则 FG BA13设 CF7x，则 EF8x、DF，由 DE 求得 x，据此知 CGCF GF，再求得CBGABCABG30可得 CB2CG 【解答】解：过点 C 作 CFAE，交 AE 于点 F，过点 B 作 BGCF，交 CF 于点 G，则 FGBA13 tanCDE，tanCED， 设 CF7x，则 EF8x 在 RtCDF 中，tanCDF， DF， DE20， 2x+8x20 x2 CGCFGF14131 ABC120， CBGABCABG1209030 CB2CG2， 答：灯杆
38、 CB 的长度为 2 米 第 25 页（共 36 页） 【点评】本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角 三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力 21 （7 分）为更新树木品种，某植物园计划购进甲、乙两个品种的树苗栽植培育若计划购 进这两种树苗共 41 棵，其中甲种树苗的单价为 6 元/棵，购买乙种树苗所需费用 y（元） 与购买数量 x（棵）之间的函数关系如图所示 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于甲种树苗的数量请设 计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用 【分析】 （1）根据题意和函数图象中的
39、数据可以求得 y 与 x 的函数关系式； （2）根据在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于甲种树苗的数量，可 以得到购买乙种树苗的取值范围，再根据题意，即可得到总费用与乙种树苗数量的函数 关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到使总费用最低的购买方案，并求出最低费 用 【解答】解： （1）设当 0x20 时，y 与 x 的函数关系式为 ykx， 20k160，得 k8， 即当 0x20 时，y 与 x 的函数关系式为 y8x， 设当 x20 时，y 与 x 的函数关系式是 yax+b， ，得， 即当 x20 时，y 与 x 的函数关系式是 y6.4x+32， 由上可得 y 与
40、x 的函数关系式为：y； （2）购买乙种树苗 x 棵， 购买甲种树苗（41x）棵， 在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于甲种树苗的数量， 第 26 页（共 36 页） 41xx35， 解得，20.5x35， 设购买树苗的总费用为 w 元， 20.5x35 且 x 为整数， w（6.4x+32）+6（41x）0.4x+278， 当 x21 时，w 取得最小值，此时 w286.4，41x20， 答：当购买甲种树苗 20 棵，乙种树苗 21 棵时，使总费用最低，最低费用是 286.4 元 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确 题意，利用一次函
41、数的性质和数形结合的思想解答 22 （7 分）春节过后元宵节，欢聚一堂诉团圆，元宵节是我国传统节日，在这天家家都要 吃元宵妈妈买了 4 包元宵，每包一斤（4 包元宵除馅不同外，外包装以及其它都相同） ， 其中有两包黑芝麻馅的元宵、一包五仁馅的元宵、一包花生馅的元宵，妈妈从中任意拿 出两包送给奶奶 （1）妈妈随机拿出一包，求拿到黑芝麻馅元宵的概率是 ； （2）用树状图或列表的方法求奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）记黑芝麻馅的元宵、五仁馅的元宵、花生馅的元宵分别为 A、B、C，画树状图列出 所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率
42、公式计算可得 【解答】解： （1） （1）妈妈随机拿出一包，拿到黑芝麻馅元宵的概率是， 故答案为：； （2）记黑芝麻馅的元宵、五仁馅的元宵、花生馅的元宵分别为 A、B、C， 画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的有 10 第 27 页（共 36 页） 种结果， 奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的概率为 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与 总情况数之比 23 （8 分）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCD ACB 交O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长
43、 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 【分析】 （1）由 ABAC 知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC 得 BCDADC，从而得证； （2）连接 OA，由CAFCFA 知ACDCAF+CFA2CAF，结合ACB BCD 得ACD2ACB，CAFACB，据此可知 AFBC，从而得 OAAF，从而 得证； （3）证ABECBA 得 AB2BCBE，据此知 AB5，连接 AG，得BAGBAD+ DAG， BGAGAC+ACB， 由点 G 为内心知DAG
44、GAC， 结合BAD+DAG GAC+ACB 得BAGBGA，从而得出 BGAB5 【解答】解： （1）ABAC， ABCACB， 又ACBBCD，ABCADC， BCDADC， EDEC； （2）如图 1，连接 OA， 第 28 页（共 36 页） ABAC， ， OABC， CACF， CAFCFA， ACDCAF+CFA2CAF， ACBBCD， ACD2ACB， CAFACB， AFBC， OAAF， AF 为O 的切线； （3）ABECBA，BADBCDACB， ABECBA， ， AB2BCBE， BCBE25， AB5， 如图 2，连接 AG， 第 29 页（共 36 页） BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB， 点 G 为内心， DAGGAC， 又BAD+DAGGAC+ACB， BAGBGA， BGAB5 【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理
