1、数学一模试题 第 1 页 共 24 页2018-2019 年北京市海淀区首都师大附中中考数学一模试卷一、选择题1在实数|3|，2，0， 中，最小的数是（ ）A|3| B2 C0 D【解答】解：在实数|3| ， 2，0， 中，|3|3 ，则 20|3| ，故最小的数是：2故选：B2下列各式的变形中，正确的是（ ）A（xy）（x+y ）x 2y 2 B xCx 2 4x+3（ x2） 2+1 Dx（x 2+x） +1【解答】解：A、（x y ）（ x+y）x 2y 2，正确；B、 ，错误；C、x 2 4x+3（ x2） 21，错误；D、x（x 2+x） ，错误；故选：A3某大型超市从生产基地购进一
2、批水果，运输过程中质量损失 10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）A40% B33.4% C33.3% D30%数学一模试题 第 2 页 共 24 页【解答】解：设购进这种水果 a 千克，进价为 y 元/ 千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高 x，则售价为（1+x）y 元/千克，由题意得：100%20% ，解得：x 33.4%，经检验，x 是原不等式的解超市要想至少获得 20%的利润，这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 33.4%故选：B4如图，等边ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1
3、cm 的速度，沿AB C 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（s），yPC 2，则 y 关于 x的函数的图象大致为（ ）A BC D【解答】解：正ABC 的边长为 3cm，数学一模试题 第 3 页 共 24 页AB C60，AC3cm当 0 x3 时，即点 P 在线段 AB 上时，APxcm（0x3）；根据余弦定理知 cosA ，即 ，解得，yx 23x +9（0x3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过 C 作 CDAB，则 AD1.5cm，CD cm，点 P 在 AB 上时， APxcm，PD|1.5x|cm，yPC 2（ ） 2+（1.5x ） 2x 23x+9（0x
4、3）该函数图象是开口向上的抛物线；当 3 x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC （6x）cm（3x6）；则 y（6x） 2（x 6） 2（3x6），该函数的图象是在 3x6 上的抛物线；故选：C数学一模试题 第 4 页 共 24 页5下列命题正确的个数是（ ）若代数式 有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108 元若反比例函数 （m 为常数），当 x0 时，y 随 x 增大而增大，则一次函数y2x+m 的图象一定不经过第一象限若函数的图象关于 y 轴
5、对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y3，y2x+1，yx 2 中偶函数的个数为 2 个A1 B2 C3 D4【解答】解：若代数式 有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0，原命题错误；我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108 元正确根据反比例函数 （m 为常数）的增减性得出 m0，故一次函数 y2x +m 的图象一定不经过第一象限，此选项正确；若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中有 y3，yx 2 是偶函数，原命题正确，故选：C6下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）数
6、学一模试题 第 5 页 共 24 页A BC D【解答】解：A、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：xy 3，B、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：3，C、根据反比例函数系数 k 的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：3+ （1+3）2 4，D、根据 M，N 点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为： 163，阴影部分面积最大的是 4故选：C7如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）数学一模试题 第 6 页 共 24 页A B C D【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是
7、一个小正方形，故选：B8为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A报纸B电视C网络，D身边的人E 其他 ”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷先随机抽取 50 名中学生进行该问卷调查根据调查的结果绘制条形图如图该调查的方式是（ ），图中的 a 的值是（ ）A全面调查，26 B全面调查，24C抽样调查，26 D抽样调查， 24【解答】解：根据题意得：该调查的方式是抽样调查，a50（6+10+6+4）24，故选：D9正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）数学一模试题 第 7 页
8、 共 24 页A B C D【解答】解：如图，连接 PA、PB、OP；则 S 半圆 O ，S ABP 211，由题意得：图中阴影部分的面积4（S 半圆 OS ABP ）4（ 1）24，米粒落在阴影部分的概率为 ，故选：A10定义新运算：ab 例如：45 ， 4（5） 则函数y2x（x 0）的图象大致是（ ）A BC D数学一模试题 第 8 页 共 24 页【解答】解：由题意得：y2 x ，当 x0 时，反比例函数 y 在第一象限，当 x0 时，反比例函数 y 在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此 D 选项符合故选：D二、填空题11计算（ ） 0（1） 2018 的值是 【解答】解：原
9、式110，故答案为：012若关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则关于 a、b 的二元一次方程组 的解是 【解答】解：方法一：关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，将解 代入方程组可得 m1，n2关于 a、b 的二元一次方程组 可整理为：数学一模试题 第 9 页 共 24 页解得：方法二：关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，由关于 a、b 的二元一次方程组 可知解得：故答案为：13将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义adbc ，上述记号就叫做 2 阶行列式若 ，则 x 【解答】解：根据题意化简 8，得：（x+1） 2（1x） 28，
10、整理得：x 2+2x+1（12x +x2）80，即 4x8，解得：x2故答案为：214如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系那数学一模试题 第 10 页 共 24 页么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完【解答】解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：2045 升设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得20+8（5a）30，解得：a ，故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30
11、 8 分钟故答案为：815如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得A，B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点H，A， B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 米（结果保留根号）【解答】解：由于 CDHB，CAHACD45，BBCD30数学一模试题 第 11 页 共 24 页在 Rt ACH 中， CAH 45AHCH1200 米，在 Rt HCB， tanBHB 1200 （米）ABHB HA1200 12001200（ 1）米故答案为：1200（ 1）16一块直角三角形板 ABC，ACB 90，BC
12、12cm，AC 8cm ，测得 BC 边的中心投影 B1C1 长为 24cm，则 A1B1 长为 cm【解答】解：ACB90，BC 12cm，AC 8cm，数学一模试题 第 12 页 共 24 页AB4 ，ABCA 1B1C1，A 1B1：ABB 1C1：BC2： 1，即 A1B18 cm三、解答题17先化简，再求值（2x+3）（2x 3）4x （x1）+（x2） 2，其中 x【解答】解：原式4x 294x 2+4x+x24x+4x 25，当 x 时，原式（ ） 2535218山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调
13、查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【解答】（1）解：设每千克核桃应降价 x 元 1 分根据题意，得 （60x40）（100+ 20） 2240 4 分化简，得 x210x+240 解得 x14，x 266 分数学一模试题 第 13 页 共 24 页答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元 7 分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应
14、降价 6 元 此时，售价为：60654（元），设按原售价的 m 折出售，则有： 60 54，解得 m9答：该店应按原售价的九折出售19如图，矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8，E 是 DC 的中点，反比例函数y 的图象经过点 E，与 AB 交于点 F（1）若点 B 坐标为（6，0），求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的表达式；（2）若 AFAE2，求反比例函数的表达式【解答】解：（1）点 B 坐标为（6，0），AD3，AB 8，E 为 CD 的中点，点 A（6，8），E（3，4），函数图象经过 E 点，数学一模试题 第 14 页 共 24 页m3412，设 AE
15、 的解析式为 ykx+ b，解得 ，一次函数的解析式为 y x；（2）AD3，DE4，AE 5，AFAE2，AF7，BF1，设 E 点坐标为（a，4），则 F 点坐标为（a3，1），E，F 两点在函数 y 图象上，4aa3，解得 a1，E（1，4），m144，y 数学一模试题 第 15 页 共 24 页20某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，ABBD，BAD18，C 在 BD 上，BC 0.5m 根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为 CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 C
16、E 的长作为限制的高度小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果（参考数据：sin180.31，cos180.95，tan18 0.325）（结果精确到 0.1m）【解答】解：在ABD 中，ABD90，BAD 18 ，BA10m ，tanBAD ，BD10tan18，CDBDBC10tan180.52.75（m ） 在ABD 中，CDE90BAD72，CEED，数学一模试题 第 16 页 共 24 页sinCDE ，CEsinCDECDsin722.75cos182.75 0.952.752.61252.6（m ），2.6m2.75m，且 CEAE，小亮说的对答：小亮说的对，CE 为 2.
17、6m21某校七年级共有 500 名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取 m 名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图学生读书数量统计表阅读量/本 学生人数1 152 a3 b4 5（1）直接写出 m、a、b 的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？数学一模试题 第 17 页 共 24 页【解答】解：（1）由题意可得，m1530%50，b5040%20，a501520510，即 m 的值是 50，a 的值是 10，b 的值是 20；（2）（115+210
18、+3 20+45） 1150（本），答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是 1150 本22如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB13，BD 24，在菱形ABCD 的外部以 AB 为边作等边三角形 ABE点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点B 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60得到线段 AM，连接 FM（1）求 AO 的长；（2）如图 2，当点 F 在线段 BO 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证：AC AM；（3）连接 EM，若AEM 的面积为 40，请直接写出AFM 的周长【解答】解：（1）四边
19、形 ABCD 是菱形，数学一模试题 第 18 页 共 24 页ACBD，OBOD BD，BD24，OB12，在 Rt OAB 中，AB13，OA 5（2）如图 2，四边形 ABCD 是菱形，BD 垂直平分 AC，FAFC， FACFCA，由已知 AFAM，MAF60，AFM 为等边三角形，MAFM60，点 M，F ，C 三点在同一条直线上，FAC+ FCAAFM 60，FACFCA30，数学一模试题 第 19 页 共 24 页MACMAF+ FAC 60+3090，在 Rt ACM 中tanM ，tan60 ，AC AM（3）如图，连接 EM，ABE 是等边三角形，AEAB，EAB 60，由（
20、2）知AFM 为等边三角形，AMAF，MAF60，EAM BAF，在AEM 和 ABF 中，AEM ABF（SAS ），AEM 的面积为 40，ABF 的高为 AO数学一模试题 第 20 页 共 24 页 BFAO40，BF16，FOBFBO16124AF ，23在平面直角坐标系中 xOy 中，正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图的方式放置点 A1，A 2，A 3、A n 和点 C1，C 2，C 3、 n 分别落在直线 yx+1 和 x 轴上抛物线 L1 过点 A1、B 1，且顶点在直线 yx+1 上，抛物线 L2 过点 A2、B 2，且顶点在直线 yx+1
21、上，按此规律，抛物线 Ln 过点 An、B n，且顶点也在直线 yx+1 上，其中抛物线 L1 交正方形 A1B1C1O 的边 A1B1 于点 D1，抛物线 L2 交正方形 A2B2C2C1 的边 A2B2 于点 D2，抛物线 Ln 交正方形 AnBnnCn1 的边 AnBn 于点 Dn（其中 n2 且 n为正整数）（1）直接写出下列点的坐标：B 1 ，B 2 ，B 3 ；（2）写出抛物线 L2，、L 3 的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线 Ln 的顶点坐标 ；（3） 设 A1D1k D1B1，A 2D2k 2D2B2，试判断 k1 与 k2 的数量关系并说明理由；点 D1
22、、D 2、 ，D n 是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线 yx+1 的交点坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1）令 x0，则 y1，A 1（0，1），数学一模试题 第 21 页 共 24 页OA 11四边形 A1B1C1O 是正方形，A 1B11，B 1（1，1）当 x1 时，y 1+1 2，B 2（3，2）；同理可得，B 3（7，4）故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；（2）抛物线 L2、L 3 的解析式分别为：y（x2） 2+3；，y （x5） 2+6；抛物线 L2 的解析式的求解过程：对于直线 yx+1，设 x0，可得 y1，A 1（0，1），四边形 A1B1C
23、1O 是正方形，C 1（1，0），又点 A2 在直线 yx +1 上，点 A2（1，2），又B 2 的坐标为（3，2），抛物线 L2 的对称轴为直线 x2，抛物线 L2 的顶点为（2，3），设抛物线 L2 的解析式为：ya（x2） 2+3，L 2 过点 B2（3，2），数学一模试题 第 22 页 共 24 页当 x3 时，y 2，2a（32） 2+3，解得：a1，抛物线 L2 的解析式为：y（x2） 2+3；抛物线 L3 的解析式的求解过程：又B 3 的坐标为（7，3），同上可求得点 A3 的坐标为（3，4），抛物线 L3 的对称轴为直线 x5，抛物线 L3 的顶点为（5，6），设抛物线 L3
24、 的解析式为：ya（x5） 2+6，L 3 过点 B3（7，4），当 x7 时，y 4，4a（75） 2+6，解得：a ，抛物线 L3 的解析式为：y （x5） 2+6；猜想抛物线 Ln 的顶点坐标为（32 n2 1，32 n2 ）；（猜想过程：方法 1：可由抛物线 L1、L 2、L 3的解析式：y2（x ） 2+ ，y（x2） 2+3，y （x5） 2+6，归纳总结；方法 2：可由正方形 AnBnnCn1 顶点 An、B n 的坐标规律 An（2 n1 1，2 n1 ）与Bn（2 n，2 n1 ），再利用对称性可得抛物线 Ln 的对称轴为直线 x ，即x 32 n 21，又顶点在直线 yx+
25、1 上，数学一模试题 第 23 页 共 24 页所以可得抛物线 Ln 的顶点坐标为（32 n2 1，32 n2 ）故答案为：（32 n2 1，32 n2 ）；（3） 、k 1 与 k1 的数量关系为：k 1k 2，理由如下：同（2）可求得 L2 的解析式为 y（x2） 2+3，当 y1 时，1（x 2） 2+3 解得：x 12 ，x 22+ ，x2 ，A 1D12 （ 1），D 1B11（2 ） 1，A 1D1 D 1B1，即 k1 ；同理可求得 A2D242 2 （ 1），D2B22（42 ）2 22（ 1），A2D2 D 2B2，即 k2 ，k 1k 2；由 知， k1k 2，点 D1、D 2、，D n 在一条直线上；抛物线 L2 的解析式为 y（x2） 2+3，当 y1 时，x 2 ，数学一模试题 第 24 页 共 24 页D 1（2 ，1）；同理，D 2（52 ，2），设直线 D1D2 的解析式为 ykx+b（k0），则 ，解得 ，直线 D1D2 的解析式为 y（ 3+ ）x + 3， ，解得 ，这条直线与直线 yx +1 的交点坐标为（1，0）
