1、2019 年陕西省西安工大附中中考数学一模试卷年陕西省西安工大附中中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分）4 的绝对值是（ ） A4 B4 C4 D 2 （3 分）下列图形具有稳定性的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （2a）24a2 Ba2+2a23a4 C （a+2）2a2+4 D3a2b（ab）3a 4 （3 分）五名同学的数学成绩分别为 85，92，92，77，90这组数据的众数
2、和中位数分别 是（ ） A92，85 B90，85 C92，90 D92，92 5 （3 分）若直线 l1经过（0，4） ，l2经过点（2，6） ，且 l1与 l2关于 y 轴对称，则 l1与 l2 的交点坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （0，4） D （4，0） 6 （3 分）若关于 x 的方程 x2+（a21）x+a0 的两根互为相反数，则 a 的值为（ ） A1 B1 C0 D1 7 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DEAB，cosA，则 cosDBE 的值是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，已知O 的半径为 5，弦 AB、CD 所对的圆心角分别是AOB
3、，COD， 第 2 页（共 27 页） 且AOB 与COD 互补，弦 CD8，则弦 AB 的长为（ ） A6 B8 C5 D5 9 （3 分）将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 （ ） A B C D3 10 （3 分）根据表中的二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值， （其中 m0 n）下列结论正确的（ ） x 0 1 2 4 y m k m n Ab24ac0 B4a2b+c0 C2a+b+c0 Dabc0 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3
4、 分）分解因式：8x28xy+2y2 12 （3 分）如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y（k0）上，ABx 轴，过 点 A 作 ADx 轴于 D， 连接 OB， 与 AD 相交于点 C， 若 AC2CD， 则 k 的值为 13 （3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置，已知ABC 的面积为 18，阴影部分三角形的面积为 8，若 AA1，则 AD 的值为 第 3 页（共 27 页） 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为正方形外一个动点，AED45， P 为 AB 中点
5、，线段 PE 的最大值是 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答题应写出过程）解答题应写出过程） 15 （5 分）计算：12018+（3）0|tan602| 16 （5 分）先化简，再求值： （1），其中 x+1 17 （5 分）如图，ABC 是锐角三角形，尺规作图：作A，使它与 BC 相切于点 M保留 作图痕迹，不写作法，标明字母 18 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且BAEB求证：AC DE 19 （7 分）去年 4 月，过敏体质检测中心等机构开展了青少年形体测评，专家组随机抽查 了某市若干名初中生坐姿、站
6、姿、走姿的好坏情况我们对专家的测评数据作了适当处 理（如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载） ，并将统计结果 绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答些列问题： 第 4 页（共 27 页） （1）请将两幅图补充完整； （2）如果全市有 10 万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有 人 （3）根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法 20 （7 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元/件， 已知销售价不低于成本价， 且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件， 市场调查发现
7、，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所 示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销 售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21 （7 分）小昕的口袋中有 5 把相似的钥匙，其中 2 把钥匙（记为 A1，A2）能打开教室前 门锁，而剩余的 3 把钥匙（记为 B1，B2，B3）不能打开教室前门锁 （1）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 ； （2）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸
8、出的一把钥匙不能打开 教室前门锁（摸出的钥匙不再放回） ，而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门 锁的概率 22 （7 分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大 树顶端 B 的仰角是 45，若坡角FAE30，求大树的高度（结果保留根号） 第 5 页（共 27 页） 23 （8 分）如图，P 为O 直径 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点 C，过点 B 作 CP 的 垂线 BH 交O 于点 D，连结 AC，CD （1）求证：PBH2HDC； （2）若
9、sinP，BH3，求 BD 的长 24 （10 分）定义：我们把关于某一点成中心对称的两条抛物线叫“孪生抛物线” ，已知抛 物线 L：yx2+4 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点，求 L 关于 坐标原点 O（0，0）的“孪生抛物线”W； 点 N 为坐标平面内一点，且BCN 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，在 x 轴是否存在 一点 M（m，0） ，使抛物线 L 关于点 M 的“孪生抛物线”过点 N，如果存在，求出 M 点 坐标；不存在，说明理由 25 （12 分）问题探究： （1）如图，已知等边ABC，边长为 4，则ABC 的外接圆的半径长为 &n
10、bsp; （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，对角线 BD 与边 BC 的夹角为 30，点 E 在为 边 BC 上且 BEBC，点 P 是对角线 BD 上的一个动点，连接 PE，PC，求PEC 周长 的最小值 问题解决： （3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演其中一个镭射灯距 城墙 30 米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为 60，如图，若将两根光线（AB，AC） 和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为ABC，那么该三角 形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由 第 6 页（共 27 页） 第 7 页（共 27 页） 2019 年陕
11、西省西安工大附中中考数学一模试卷年陕西省西安工大附中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分）4 的绝对值是（ ） A4 B4 C4 D 【解答】解：|4|4 故选：B 2 （3 分）下列图形具有稳定性的是（ ） A B C D 【解答】解：三角形具有稳定性 故选：A 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （2a）24a2 Ba2+2a23a4 C （a+2）2a2+4 D3a2b
12、（ab）3a 【解答】解：A （2a）24a2，此选项错误； Ba2+2a23a2，此选项错误； C （a+2）2a2+4a+4，此选项错误； D3a2b（ab）3a，此选项正确； 故选：D 4 （3 分）五名同学的数学成绩分别为 85，92，92，77，90这组数据的众数和中位数分别 是（ ） A92，85 B90，85 C92，90 D92，92 【解答】解：92 出现了 2 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 92； 第 8 页（共 27 页） 把这些数从小到大排列为：77，85，90，92，92，最中间的数是 90， 则这组数据的中位数是 90； 故选：C 5 （3 分）若直线 l
13、1经过（0，4） ，l2经过点（2，6） ，且 l1与 l2关于 y 轴对称，则 l1与 l2 的交点坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （0，4） D （4，0） 【解答】解：直线 l1经过点（0，4） ，l2经过点（2，6） ，且 l1与 l2关于 y 轴对称， 两直线相交于 y 轴上， l1与 l2的交点坐标是（0，4） ； 故选：C 6 （3 分）若关于 x 的方程 x2+（a21）x+a0 的两根互为相反数，则 a 的值为（ ） A1 B1 C0 D1 【解答】解：根据题意得（a21）0，解得 a1 或 a1， 而 a1 时，原方程化为 x2+10，方程没有实数解， 所
14、以 a 的值为1 故选：B 7 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DEAB，cosA，则 cosDBE 的值是（ ） A B C D 【解答】解：DEAB， AED90， cosA， 可以假设 AE3k，AD5k，则 DE4k 四边形 ABCD 是菱形， ABAD5k， BE2k， 第 9 页（共 27 页） BD2k， cosDBE， 故选：C 8 （3 分）如图，已知O 的半径为 5，弦 AB、CD 所对的圆心角分别是AOB，COD， 且AOB 与COD 互补，弦 CD8，则弦 AB 的长为（ ） A6 B8 C5 D5 【解答】解：解：如图，延长 AO 交O 于点 E，连接 BE，
15、则AOB+BOE180， 又AOB+COD180， BOECOD， BECD， AE 为O 的直径， ABE90， AB6， 故选：A 9 （3 分）将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 （ ） 第 10 页（共 27 页） A B C D3 【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似， 根据相似的性质可知 5：10x：5， 解得 x2.5， 即阴影梯形的上底就是 32.50.5 再根据相似的性质可知 2：5x：2.5， 解得：x1， 所以梯形的下底就是 312， 所以阴影梯形的高是（2+0.5）323.75 故选：C 10 （3 分）根据表中的二次函数
16、yax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值， （其中 m0 n）下列结论正确的（ ） x 0 1 2 4 y m k m n Ab24ac0 B4a2b+c0 C2a+b+c0 Dabc0 【解答】解：由抛物线的对称性可知： （0，m）与（2，m）是对称点， 故对称轴为 x1， 1， b2a， 当 x0 时，ycm0， 2a+b+c0+cm0， 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）分解因式：8x28xy+2y2 2（2xy）2 【解答】解：原式2（4x24xy+y2） 第 11 页（共
17、27 页） 2（2xy）2 故答案为：2（2xy）2 12 （3 分）如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y（k0）上，ABx 轴，过 点 A 作 ADx 轴于 D，连接 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC2CD，则 k 的值为 9 【解答】解：过点 B 作 BEx 轴于 E，延长线段 BA，交 y 轴于 F， ABx 轴， AFy 轴， 四边形 AFOD 是矩形，四边形 OEBF 是矩形， AFOD，BFOE， ABDE， 点 A 在双曲线 y上， S矩形AFOD3， 同理 S矩形OEBFk， ABOD， ， AB2OD， DE2OD， S矩形OEBF3S矩形AF
18、OD9， k9， 故答案是：9 第 12 页（共 27 页） 13 （3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置，已知ABC 的面积为 18，阴影部分三角形的面积为 8，若 AA1，则 AD 的值为 2 【解答】解：如图， SABC18、SAEF8，且 AD 为 BC 边的中线， SADESAEF4，SABDSABC9， 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到A'B'C'， AEAB， DAEDAB， 则（）2，即（）2， 解得 AD2（负值舍去） ， 故答案为：2 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为正方
19、形外一个动点，AED45， 第 13 页（共 27 页） P 为 AB 中点，线段 PE 的最大值是 + 【解答】解：如图，若点 E 在正方形右侧，连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO，EO， AED45，ACD45， A，C，E，D 四点共圆， 正方形 ABCD 的边长为 2， OEODBD， P 为 AB 的中点，O 是 BD 的中点， OPAD， PEOP+OE+， 当点 O 在线段 PE 上时，PEOP+OE+， 即线段 PE 的最大值为+， 如图，点 E 在正方形 ABCD 上方， 第 14 页（共 27 页） 作斜边为 AD 的等腰直角AOD，AOD90， 则点 E 在以 O
20、为圆心，OA 为半径的圆上， 当点 P，点 O，点 E 共线时，PE 的值最大， 过点 O 作 ONAB，交 BA 延长线于点 N， AD2，AODO，AOD90 AO，OAD45， ONAB，ADAB NAONOA45 ANNO PO PE 最大值为+， 故答案为：+ 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答题应写出过程）解答题应写出过程） 15 （5 分）计算：12018+（3）0|tan602| 【解答】解：原式 3 16 （5 分）先化简，再求值： （1），其中 x+1 【解答】解：原式（） 第 15 页（共 27 页） ， 当 x+1 时， 原式 2+
21、17 （5 分）如图，ABC 是锐角三角形，尺规作图：作A，使它与 BC 相切于点 M保留 作图痕迹，不写作法，标明字母 【解答】解：如图，作 AMBC 于 M，以 A 为圆心，AM 为半径画圆，A 即为所求 18 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且BAEB求证：AC DE 【解答】证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC， DAEAEB， 第 16 页（共 27 页） AEBB， ABAE， BDAE 在ABC 和AED 中， ， ABCEAD， ACDE 19 （7 分）去年 4 月，过敏体质检测中心等机构开展了青少年形体测评，专家组随
22、机抽查 了某市若干名初中生坐姿、站姿、走姿的好坏情况我们对专家的测评数据作了适当处 理（如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载） ，并将统计结果 绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答些列问题： （1）请将两幅图补充完整； （2） 如果全市有 10 万名初中生， 那么全市初中生中， 三姿良好的学生约有 12000 人 （3）根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法 【解答】解：三姿良好的所占的百分比是：137%31%20%12%； 三姿良好的人数是：12%60（人） ， 补图如下： 第 17 页（共 27 页） （2）根据题意得： 10000012
23、%12000（人） ， 答：坐姿良好的学生约有 12000 人； 故答案为：12000； （3） 从图中可以看出三姿良好的人数所占的比例较小， 所以在平时注意培养自己的三姿， 保持良好的坐姿，站姿，走姿 20 （7 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元/件， 已知销售价不低于成本价， 且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件， 市场调查发现，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所 示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/
24、件）之间的函数关系式，并求出每件销 售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数解析式为 ykx+b， 将（10，30） 、 （16，24）代入，得：， 解得：， 第 18 页（共 27 页） 所以 y 与 x 的函数解析式为 yx+40（10x16） ； （2）根据题意知，W（x10）y （x10） （x+40） x2+50x400 （x25）2+225， a10， 当 x25 时，W 随 x 的增大而增大， 10x16， 当 x16 时，W 取得最大值，最大值为 144， 答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 14
25、4 元 21 （7 分）小昕的口袋中有 5 把相似的钥匙，其中 2 把钥匙（记为 A1，A2）能打开教室前 门锁，而剩余的 3 把钥匙（记为 B1，B2，B3）不能打开教室前门锁 （1）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 ； （2）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开 教室前门锁（摸出的钥匙不再放回） ，而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门 锁的概率 【解答】解： （1）一个口袋中装有 5 把不同的钥匙，分别为 A1，A2，B1，B2，B3， P（取出一个 A1或 A2）； （2）画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，第一次随
26、机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥 匙不再放回） ，而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的有 6 种可能， 第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回） ，而第二次随 第 19 页（共 27 页） 机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率 22 （7 分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大 树顶端 B 的仰角是 45，若坡角FAE30，求大树的高度（结果保留根号） 【解答】解：如图，过点 D 作 DGBC 于 G，D
27、HCE 于 H， 则四边形 DHCG 为矩形 故 DGCH，CGDH， 在直角三角形 AHD 中， DAH30，AD6 米， DH3 米，AH3米， CG3 米， 设 BC 为 x 米， 在直角三角形 ABC 中，ACx 米， DG（3+x）米，BG（x3）米， 在直角三角形 BDG 中，BGDGtan30， x3（3+x）， 解得：x9， BC（9）米 答：大树的高度为（9）米 第 20 页（共 27 页） 23 （8 分）如图，P 为O 直径 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点 C，过点 B 作 CP 的 垂线 BH 交O 于点 D，连结 AC，CD （1）求证：PBH2HDC； （2
28、）若 sinP，BH3，求 BD 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OC， PC 切O 于点 C， OCPC， 过点 B 作 CP 的垂线 BH 交O 于点 D， DHOC， PBHBOC， BOC2HDC， PBH2HDC； （2）如图，作 OMDH 于 H，设O 的半径为 r， OCHOMHCHM90， 四边形 OMHC 为矩形， sinP，BH3， ， BP4， OCDH， 第 21 页（共 27 页） PHBPCO， ， ，解得 r12， MHOC12， MBMHBH1239， BD2MB18 24 （10 分）定义：我们把关于某一点成中心对称的两条抛物线叫“孪生抛物线” ，已知抛
29、 物线 L：yx2+4 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点，求 L 关于 坐标原点 O（0，0）的“孪生抛物线”W； 点 N 为坐标平面内一点，且BCN 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，在 x 轴是否存在 一点 M（m，0） ，使抛物线 L 关于点 M 的“孪生抛物线”过点 N，如果存在，求出 M 点 坐标；不存在，说明理由 【解答】解： （1）抛物线 L 与抛物线 W 关于原点 O（0，0）成中心对称 W 与 L 开口方向相反，对称轴不变，与 x 轴交于点（2，0）和点（2，0） ，与 y 轴交 于点（0，4） 依题意画图象 第 22 页（共 2
30、7 页） 抛物线 W 的解析式为，yx24 存在 当 N 在 BC 左侧时如图 21 及图 22 BCN 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形 在 BC 上取其中点 E 并过 E 作线段 ENBC，且截取 ENBC 设 L 关于 M（m，0）的“孪生抛物线”解析式为 y（x2m）24，N（n，t） 则 t（n2m）24 过 N 作线段 FGx 轴于点 G，连接 CFx 轴 由BCN 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形得 BNCN， 第 23 页（共 27 页） 又FNC+CNB+BNG180，CNB90 FNC+BNG90 又FNV+NCF90 NCFBNG 在FNC 与GBN 中 FNCGBN
31、（AAS） FNBG2n 又FN4t4（n2m）248（n2m）2 2n8（n2m）2 又GOFCNG tn，即（n2m）24n （n2m）24n 8（n2m）28（4n）4+n 2n4+n 解得，n1 把 n1 代入（n2m）24n 中得， （12m）24（1） 解得，m 故此时 M 点坐标可以为， （，0） ， （，0） 当 N 在 BC 右侧时如图 31 及 32 第 24 页（共 27 页） 设 L 关于 M（m，0）的“孪生抛物线”解析式为 y（x2m）24，N（n，t） 同理易证CNFNBG（AAS） FNBG 即 4t2n 解得，t6n N（n，6n） 又BCN 为等腰直角三角形
32、 BNBC 又在 RtNBG 中，BG2+NG2BN2 （n2）2+（6n）210 整理得，n28n+150 解得，n3 或 n5 N（3，3）或 N（5，1） 当 N 点坐标为（5，1）时，BNC 不是等腰直角三角形，这与题目已知条件相矛盾， 故 N 点坐标只能取（3，3） 又N 在 L 的“孪生抛物线”上， 则把 N（3，3）代入 y（x2m）24 中得， 3（32m）24 解得，m或 m 第 25 页（共 27 页） 故此时 M 点的坐标为（，0）或（，0） 综上所述，满足题意的 M 点的坐标可以为（，0） ， （，0） ， （，0） ， （，0） 25 （12 分）问题探究： （1）如
33、图，已知等边ABC，边长为 4，则ABC 的外接圆的半径长为 （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，对角线 BD 与边 BC 的夹角为 30，点 E 在为 边 BC 上且 BEBC，点 P 是对角线 BD 上的一个动点，连接 PE，PC，求PEC 周长 的最小值 问题解决： （3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演其中一个镭射灯距 城墙 30 米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为 60，如图，若将两根光线（AB，AC） 和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为ABC，那么该三角 形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由 【解答】解： （1
34、）如图，作三角形外接圆O，作直径 AD，连接 BD， 等边ABC 内接于O，AD 为直径， C60D，ABD90， sinD， AD4 0 的半径是 第 26 页（共 27 页） 故答案为：； （2）如图 2，作点 E 关于 BD 的对称点 E，连接 EC 交 BD 于 P，连接 PE，此时 PEC 周长周长最小 连接 BE，过 E作 EHBC， DBC30，ABCD4， BC4， 又BEBC BE 点 E是关于 BD 的对称点 E EBH60，BEBE， BH，EH， HC， EC PEC 周长PC+PE+ECPE+EC （3）如图 3，BAC60，AH30 米， 第 27 页（共 27 页） 当 ABAC 时，边 BC 取最小值， 此时 BCAC20， 作ABCD，作 A 点关于直线 BC 的对称点 A，连接 AD，AB+ACCD+AC， 当 A，C，D 在一条直线上时，AB+AC 最小， 此时，ABC 应为等边三角形，AB+AC40 AB+AC 和 BC 的最小值能够同时取到， 故ABC 的周长最小值为 60
