1、2019 年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）（2019） 1 等于（ ） A2019 B2019 C D 2 （3 分）下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，已知 a、b、c、d 四条直线，ab，cd，1110，则2 等于（ ） A50 B70 C90 D110 4 （3 分）对于正比例函数 y2x，当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值增加（ ） A B C2 D2 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3x3x
2、9 Bx8x4x2 C （ab3）2ab6 D （2x）38x3 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A65，CDAB，垂足为 D，E 是 BC 的中点，连接 ED，则EDC 的度数是（ ） A25 B30 C50 D65 第 2 页（共 21 页） 7 （3 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且 x21+x1时，y2 y12，则 k 等于（ ） A1 B2 C1 D2 8 （3 分） 如图， 在正方形 ABCD 中， AB4 若以 CD 边为底边向其形外作等腰直角DCE， 连接 BE，则 BE 的长为（ ） A B C D 9
3、（3 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，O 的半径为 3，AOBC，垂足为 点 E，若ADC130，则的长等于（ ） A B C D 10 （3 分）已知抛物线 yx2+（m+1）x+m，当 x1 时，y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm3 C1m3 D3m4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）因式分解：x3y9xy3 12 （3 分）正 n 边形的每个内角都是 120，这个正 n 边形的对角线条数为 条 13 （3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y（k10，x
4、0）和 y（k20，x 0）的图象分别相交于 A，B 两点点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则 k1k2的值为 第 3 页（共 21 页） 14 （3 分）如图在 RtABC 中，AC3，ABC90，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBD 交 BC 边于点 E若 AD1，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （5 分）计算： （3）2|3|+（） 2 16 （5 分）解分式方程：+2 17 （5 分）如图，已知ABC，BAC90，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成两个相似的三角形（保留作
5、图痕迹，不写作法） 18 （5 分）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且 CEAF，求证：ABF CBE 19 （7 分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开 展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条 形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6 分） 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名居民； 第 4 页（共 21 页） （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖”
6、， 请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 20 （7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 60m，从 C 点测得 A 点的仰角 为 53， 从 A 点测得 D 点的俯角 为 37， 求两座建筑物的高度 （参考数据： sin37， cos37 ，tan37，sin53，cos53，tan53） 21 （7 分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地两车行驶的时 间为 xh，两车之间的距离为 ykm，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解 决以下问题： （1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h； （2）解释图中点 C 的
7、实际意义并求出点 C 的坐标； （3）求当 x 为多少时，两车之间的距离为 500km 22 （7 分）西安地铁的开通运行给西安市民的出行方式带来了一些变化，小颜和小鹏准备 第 5 页（共 21 页） 利用课余时间，以问卷的方式对西安市民认为地铁站存在的问题进行调查，如图是西安 地铁一号线图（部分） ， 小颜和小鹏分别从劳动路站 （用 A 表示） 、 玉样门站 （用 B 表示） 、 洒金桥站（用 C 表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点 （1）在这三站中，小颜选取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是多少？ （2）请你用画树状图或列表法，求小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻的概率 （各 站点用
8、相应的英文字母表示） 23 （8 分）如图，O 的半径为 3，C 是O 外一点，且 OC6，过点 C 作O 的两条切 线 CB，CD切点分别为 B，D，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A （1）求 AD 的长； （2）若 M 是O 上一动点，求 CM 长的最大值，并说明理由 24 （10 分）已知抛物线 L：ymx28x+3m 与 x 轴相交于 A 和 B（1，0）两点，并与 y 轴相交于点 C 抛物线 L与 L 关于坐标原点对称， 点 A、 B 在 L上的对应点分别为 A、 B （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）在抛物线 L上是否存在点 P，使得PAA 的面积等于CBB 的面积
9、？若存在，求 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （12 分）题型探究： （1）如图，四边形 ABCD 为正方形，请在射线 CD 上找一点 P，使BCP 的面积恰好 等于四边形 ABCD 的面积； （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC4请在直线 BC 上方找一点 Q，使得 BQC 是以 BC 为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形 ABCD 的面积，并求出此时 BQC 的度数； 第 6 页（共 21 页） 问题解决： （3）如图，在ABC 中，C120，AB12在ABC 所在平面上是否存在点 M， 使ABM 的面积等于ABC 的面积，且AMB60？若存在，画出该点的位置，若不 存
10、在，请说明理由 第 7 页（共 21 页） 2019 年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）（2019） 1 等于（ ） A2019 B2019 C D 【解答】解：（2019） 1 故选：D 2 （3 分）下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是（ ） A B C D 【解答】解：A、经过折叠，不能围成封闭的长方体； B、两个正方形围起来构成长方体的上下底面，四个长方形围成长方体的侧面，故可以围 成一个四棱柱； C、经过折叠，不能围成封
11、闭的长方体； D、经过折叠，不能围成封闭的长方体； 故选：B 3 （3 分）如图，已知 a、b、c、d 四条直线，ab，cd，1110，则2 等于（ ） A50 B70 C90 D110 【解答】解：ab，cd， 第 8 页（共 21 页） 31，43， 14110， 2180470， 故选：B 4 （3 分）对于正比例函数 y2x，当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值增加（ ） A B C2 D2 【解答】解：令 xa，则 y2a； 令 xa+1，则 y2（a+1）2a2， 所以 y 减少 2； 故选：D 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3x3x9 Bx8x4x2 C （
12、ab3）2ab6 D （2x）38x3 【解答】解：A、错误应该是 x3x3x6； B、错误应该是 x8x4x4； C、错误 （ab3）2a2b6 D、正确 故选：D 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A65，CDAB，垂足为 D，E 是 BC 的中点，连接 ED，则EDC 的度数是（ ） A25 B30 C50 D65 【解答】解：ACB90，A65， B25， 第 9 页（共 21 页） CDAB，E 是 BC 的中点， EDBCEB， EDBB25， EDC902565， 故选：D 7 （3 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过 A（x1，y1） ，B（x2，y2）
13、 ，且 x21+x1时，y2 y12，则 k 等于（ ） A1 B2 C1 D2 【解答】解：把 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入 ykx+b 中，且 x21+x1时，y2y12， 可得：kx1+b2k（1+x1）+b， 可得：k2， 故选：D 8 （3 分） 如图， 在正方形 ABCD 中， AB4 若以 CD 边为底边向其形外作等腰直角DCE， 连接 BE，则 BE 的长为（ ） A B C D 【解答】解：作 EFBC 于 F， 在正方形 ABCD 中，AB4若以 CD 边为底边向其形外作等腰直角DCE， CEDE2，DCE45， ECF45， CFEF， BE， 故选：C
14、第 10 页（共 21 页） 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，O 的半径为 3，AOBC，垂足为 点 E，若ADC130，则的长等于（ ） A B C D 【解答】解：连接 OB、OC， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， ABC+ADC180， ABC180ADC50， AOC100， EOC80， AOBC，OBOC， BOC2EOC160， 的长， 故选：D 10 （3 分）已知抛物线 yx2+（m+1）x+m，当 x1 时，y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm3 C1m3 D3m4 【解答】解：依题
15、意得： 解得1m3 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 第 11 页（共 21 页） 11 （3 分）因式分解：x3y9xy3 xy（x+3y） （x3y） 【解答】解：x3y9xy3xy（x+3y） （x3y） 故答案是：xy（x+3y） （x3y） 12 （3 分）正 n 边形的每个内角都是 120，这个正 n 边形的对角线条数为 9 条 【解答】解：由多边形内角和公式列方程， 180（n2）120n 解得，n6 该正多边形为正六边形 所以该六边形对角线条数9 故答案为 9 13 （3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y（k10，x0）和
16、 y（k20，x 0）的图象分别相交于 A，B 两点点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则 k1k2的值为 8 【解答】解： 设：A、B、C 三点的坐标分别是 A（，m） 、B（，m） ， 则：ABC 的面积AByA （） m4， 则 k1k28 故答案为 8 14 （3 分）如图在 RtABC 中，AC3，ABC90，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBD 交 BC 边于点 E若 AD1，则图中阴影部分的面积为 1 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：如图，作 DHBC 于 H， ABC90，BD 是ABC 的角平分线， DBCAB
17、D45， DEBD， DEB45， BDE 是等腰直角三角形， 设 DHBHEHa， DHAB CDHCAB， ， AD1，AC3， ， ABa，CEa， AB2+BC2AC2， ， 图中阴影部分的面积 故答案为：1 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （5 分）计算： （3）2|3|+（） 2 【解答】解： （3）2|3|+（） 2 93+2+4 10+3 16 （5 分）解分式方程：+2 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：两边都乘以 x1，得：x2+2（x1）2， 解得：x， 检验：当 x时，x10， 方程的解为 x 17 （5 分）如图，已知ABC，BAC90，请
18、用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图，AD 为所作 18 （5 分）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且 CEAF，求证：ABF CBE 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ABBC，AC， 在ABF 和CBE 中， ABFCBE（SAS） ， ABFCBE 19 （7 分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开 展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条 形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6 分） 第 14 页
19、（共 21 页） 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 50 名居民； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖” ， 请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 【解答】解： （1）共抽取：4+10+15+11+1050（人） ， 故答案为 50； （2）平均数（46+107+158+119+1010）8.26； 众数：得到 8 分的人最多，故众数为 8 中位数：由小到大排列，知第 25，26 平均分为 8 分，故中位数为 8 分； （3）得到 10
20、 分占 105020%， 故 500 人时，需要一等奖奖品 50020%100（份） 20 （7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 60m，从 C 点测得 A 点的仰角 为 53， 从 A 点测得 D 点的俯角 为 37， 求两座建筑物的高度 （参考数据： sin37， cos37 ，tan37，sin53，cos53，tan53） 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E，则 DEBC60m， 第 15 页（共 21 页） 在 RtABC 中，tan53， ， AB80（m） ， 在 RtADE 中，tan37， ， AE45（m） ， BECDABAE35（m） ， 答：两座建筑
21、物的高度分别为 80m 和 35m 21 （7 分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地两车行驶的时 间为 xh，两车之间的距离为 ykm，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解 决以下问题： （1）慢车的速度为 80 km/h，快车的速度为 120 km/h； （2）解释图中点 C 的实际意义并求出点 C 的坐标； （3）求当 x 为多少时，两车之间的距离为 500km 【解答】解： （1）设慢车的速度为 akm/h，快车的速度为 bkm/h， 根据题意，得，解得， 第 16 页（共 21 页） 故答案为 80，120； （2）图中点 C 的实际意义是：快车
22、到达乙地； 快车走完全程所需时间为 7201206（h） ， 点 C 的横坐标为 6， 纵坐标为（80+120）（63.6）480， 即点 C（6，480） ； （3）由题意，可知两车行驶的过程中有 2 次两车之间的距离为 500km 即相遇前： （80+120）x720500， 解得 x1.1， 相遇后：点 C（6，480） ， 慢车行驶 20km 两车之间的距离为 500km， 慢车行驶 20km 需要的时间是0.25（h） ， x6+0.256.25（h） ， 故 x1.1 h 或 6.25 h，两车之间的距离为 500km 22 （7 分）西安地铁的开通运行给西安市民的出行方式带来了一
23、些变化，小颜和小鹏准备 利用课余时间，以问卷的方式对西安市民认为地铁站存在的问题进行调查，如图是西安 地铁一号线图（部分） ， 小颜和小鹏分别从劳动路站 （用 A 表示） 、 玉样门站 （用 B 表示） 、 洒金桥站（用 C 表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点 （1）在这三站中，小颜选取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是多少？ （2）请你用画树状图或列表法，求小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻的概率 （各 站点用相应的英文字母表示） 【解答】解： （1）小颜从三站中选取一站作为调查站点， 小颜有三种选择方案 在这三站中，小颜选取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是： 第 17 页（共 21
24、页） （2）根据题意，列表如下： 由表格可知，共有 9 种等可能的结果，其中小颜和小鹏选取问卷调查的站点相邻的结果 有 4 种，分别是： ：AB，BA，BC，CB 小颜所选取问卷调查的站点相邻的概率为： 23 （8 分）如图，O 的半径为 3，C 是O 外一点，且 OC6，过点 C 作O 的两条切 线 CB，CD切点分别为 B，D，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A （1）求 AD 的长； （2）若 M 是O 上一动点，求 CM 长的最大值，并说明理由 【解答】解： （1）连接 OD， CD 是O 的切线 ODAC OD3，OC6 ODOC OCD30 CD，CB 是O 的切线 ACB2
25、OCD60 A30 OA2OD6， 在 RtAOD 中 AD3； （2）延长 CO 交O 于点 M，所以点 M 即为所要求的最大值的点 第 18 页（共 21 页） O 的半径为 3，所以 EM6， OC6， CE3 CMCE+EM3+69 24 （10 分）已知抛物线 L：ymx28x+3m 与 x 轴相交于 A 和 B（1，0）两点，并与 y 轴相交于点 C 抛物线 L与 L 关于坐标原点对称， 点 A、 B 在 L上的对应点分别为 A、 B （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）在抛物线 L上是否存在点 P，使得PAA 的面积等于CBB 的面积？若存在，求 点 P 的坐标；若不存在，
26、请说明理由 【解答】解： （1）将 B（1，0）代入 ymx28x+3m，得 m+8+3m0 解之，得 m2 抛物线 L 的函数表达式为 y2x28x6 （2）存在，在 L 中，令 x0，则 y6， C（0，6） 令 y0，则2x28x60 解之，得 x1 或 x3 A（3，0） 抛物线 L与 L 关于坐标原点对称， A（3，0） ，B（1，0） ， AA6，BB2，OC6 设 L上的点 P 在 L 上的对应点为 P，P的纵坐标为 n， 由对称性，可得 SPAASPAA要使 SPAASCBB，则， |n|2，n2 第 19 页（共 21 页） 令 y2，则2x28x62 解之，得 x2 令 y
27、2，则2x28x62 解之， 得或P的坐标为 （2， 2） ，或 由对称性，可得 P 的坐标为（2，2） ， （，2）或（，2） 25 （12 分）题型探究： （1）如图，四边形 ABCD 为正方形，请在射线 CD 上找一点 P，使BCP 的面积恰好 等于四边形 ABCD 的面积； （2）如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC4请在直线 BC 上方找一点 Q，使得 BQC 是以 BC 为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形 ABCD 的面积，并求出此时 BQC 的度数； 问题解决： （3）如图，在ABC 中，C120，AB12在ABC 所在平面上是否存在点 M， 使ABM 的面积等于ABC 的面
28、积，且AMB60？若存在，画出该点的位置，若不 存在，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1，延长 CD 至 P，使 CDDP，连接 BP， 则BCP 的面积恰好等于四边形 ABCD 的面积； 点 P 即为所求； （2）如图 2，取 AD 的四等分点：E、M、F，作射线 BE、CF 交于点 Q，则 Q 即为所求； 连接 QM， QBQC， 第 20 页（共 21 页） QBCQCB， ADBC， QEFQBC，QFEQCB， QEFQFE， QEQF， EMFM， QMAD， EMQ90， 四边形 ABCD 是矩形， A90， AEMQ， AEEM，AEBMEQ， ABEQME（ASA） ， ABQM， SQBCBC2QMBCABS矩形ABCD， RtABE 中，AEAD1，AB， BE2， ABE30， QBCQCB60， BQC60； （3）存在满足题意的点 M， 如图，过点 C 作直线 AB 的平行线， 构造等边三角形 ABE，作ABE 的外接圆O，交 AB 的平行线于点 M1，M2， 第 21 页（共 21 页） 则AM1BAM2BAEB60 M1M2AB， SABC 分别做点 M1，M2关于 AB 的对称轴点 M3、M4， 则 M3、M4也满足要求， 故符合题意的点有 4 个，它们分别是 M1、M2、M3、M4
