1、1.3.2利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.4.会利用极值解决方程根与函数图象的交点个数问题知识点极值的概念思考1观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是增函数，不满足在x0的左
2、、右两侧f(x)符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点梳理极值的概念(1)极大值与极大值点已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点(3)极值与极值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点1导数为0的点一定是极值点()2函数的极大值一定大于极小值()3函数yf(x)一定有极大值和极小值()4极值点处的导数一定为0.()类型一求函数的极值例1求下列函数的极值，并画出函数的草图(1)f(x)(x21)31；(2)f(x).
3、解(1)f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2.令f(x)0，解得x11，x20，x31.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)无极值极小值0无极值当x0时，f(x)有极小值且f(x)极小值0，没有极大值函数的草图如图所示(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值函数的草图如图所示反思与感悟(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则
4、(2)求可导函数f(x)的极值的步骤求导数f(x)求方程f(x)0的根观察f(x)在方程根左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断跟踪训练1求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)x2ex.考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)x22x3.令f(x)0，得x11，x23，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x
5、(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可以看出，1为函数f(x)的极大值点，极大值为f(1)，3为函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)6.(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，0为函数f(x)的极小值点，极小值为f(0)0.2为函数f(x)的极大值点，极大值为f(2)4e2.例2设函数f(x)2x33(a1)x21，其中a1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的
6、极值解由已知得f(x)6xx(a1)，令f(x)0，解得x10，x2a1，(1)当a1时，f(x)6x20，f(x)在(，)上单调递增当a1时，f(x)6xx(a1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在(，0)上是单调增函数，在(0，a1)上是单调减函数，在(a1，)上是单调增函数综上，当a1时，f(x)的单调增区间为(，)；当a1时，f(x)的单调增区间为(，0)，(a1，)，单调减区间为(0，a1)(2)由(1)知，当a1时，函数f(x)没有极值当a1时，函数在x0处取得极大值1，
7、在xa1处取得极小值1(a1)3.反思与感悟讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知，当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)
8、时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类型二已知函数极值求参数例3已知函数f(x)x3(a1)x2ax(aR)在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围解f(x)x2(a1)xa，因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值，所以f(x)0在(0,1)内有两不等实根，对称轴x，所以即所以0a32.反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解
9、(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性跟踪训练3(1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.求a，b，c的值；求函数的单调减区间解函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a)由f(x)0，得x0或x.由题意可知，当x时，函数取得极小值4，3a24，解得a3.a3，bc0.由知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2)由f(x)0，得3x(x2)0，0x0)上存在极
10、值，求实数a的取值范围解f(x)，x0，f(x).当0x0，当x1时，f(x)0)上存在极值，解得a1.即实数a的取值范围是.类型三函数极值的综合应用例4(1)函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上是增函数，在(2,2)上是减函数，在(2，)上是增函数根据函数单调性、极
11、值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知a.(2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由y
12、f(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m2)g(x)与g(x)随x在(2，)上的变化情况如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)2ln 2b由上表可知，函数在x0处取得极大值，极大值为2ln 2b.结合图象(图略)可知，要使g(x)0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需即所以2ln 20，当x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点故选D.2已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca2 Da6答案D解析
13、f(x)3x22axa6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以(2a)243(a6)0，解得a6或a3.3函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则a_，b_.答案2解析f(x)2bx3，函数的极值点为x11，x22，x11，x22是方程f(x)0的两根，即为2bx23xa0的两根，由根与系数的关系知解得4直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_答案(2,2)解析f(x)3x23.令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2a2.5已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的单调区间，并求极值解(1)f(x)2ax，由题意得即a，b1.(2)由(1)得f(x)x.又f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，)f(x)极小值f(1).1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)的符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题
