1、第第 2 2 课时课时 集合的表示方法集合的表示方法 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法 2.了解集合的两种表示方法的适用情况，并能在两种 表示法中作出选择和转换.3.掌握区间的概念及表示方法 知识点一 列举法 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集 合的方法称为列举法 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开； (2)集合中的元素必须是明确的； (3)集合中的元素不能重复； (4)集合中的元素可以是任何事物 思考 (1)a 与a是相同的吗？(2)0与是同一个集合吗？ 答案 (1)它们完全不同，a表示一个集合，这个集合由一个元素 a 构成，a 是
2、集合a的元 素(2)0是单元素集合，这个集合中只有一个元素 0，而是空集，表示集合中什么元素也 没有，所以它们是不同的集合 知识点二 描述法 1特征性质：一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集合 A 的一个特征性质 2描述法：集合 A 用它的特征性质 p(x)表示为x|p(x)的形式这种表示集合的方法，称为 特征性质描述法，简称为描述法 思考 不等式 x23 的解集中的元素有什么特征？能用列举法表示吗？ 答案 元素的共同特征为 xR，且 x5.不能用列举法表示 知识点三 区间的概念及其表示方法 1设
3、a，b 是两个实数，且 ab，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 a，b x|axb 开区间 (a，b) x|axb 半开半闭区间 a，b) x|aa x|xa x|xa 注意：(1)“”是一个符号，而不是一个数 (2)以“”或“”为端点时，区间这一端必须是小括号 1集合1,2,3与集合3,2,1是同一个集合( ) 2集合 Ax|x10与集合 B1表示同一个集合( ) 3集合xN|x3x可用列举法表示为1,0,1( ) 4集合y|yx2，xR与s|st2，tR的元素完全相同( ) 5集合5，8和(5，8)表示同一个集合( ) 一、用列举法表示集合 例 1 用列举法表示下
4、列集合： (1)满足2x2 且 xZ 的元素组成的集合 A； (2)方程(x2)2(x3)0 的解组成的集合 M； (3)方程组 2xy8， xy1 的解组成的集合 B； (4)15 的正约数组成的集合 N. 解 (1)因为2x2，xZ， 所以 x2，1,0,1,2， 所以 A2，1,0,1,2 (2)因为 2 和 3 是方程的根， 所以 M2,3 (3)解方程组 2xy8， xy1 得 x3， y2. 所以 B(3,2) (4)因为 15 的正约数有 1,3,5,15， 所以 N1,3,5,15 反思感悟 用列举法表示集合的方法 (1)求出集合的元素 (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能
5、列举一次 (3)用大括号括起来 跟踪训练 1 用列举法表示下列集合： (1)方程x 24 x2 0 的所有实数根组成的集合； (2)不大于 15 的质数集； (3)一次函数 yx 与 y2x1 图像的交点组成的集合 解 (1)方程x 24 x2 0 的实数根为 2， 故其实数根组成的集合为2 (2)不大于 15 的质数有 2,3,5,7,11,13，故不大于 15 的质数集为2,3,5,7,11,13 (3)由 yx， y2x1， 解得 x1， y1. 故一次函数 yx 与 y2x1 图像的交点组成的集合为(1,1) 二、用描述法表示集合 例 2 用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，所有
6、不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被 3 除余 1 的整数组成的集合； (3)使 y 1 x2x6有意义的实数 x 组成的集合 (4)方程(x2)2(y3)20 的解集 解 (1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有 不在第一、三象限的点组成的集合为(x，y)|xy0，xR，yR (2)因为被 3 除余 1 的整数可表示为 3n1，nZ，所以所有被 3 除余 1 的整数组成的集合为 x|x3n1，nZ (3)要使 y 1 x2x6有意义， 则 x2x60. 由 x2x60，得 x12，x23. 所以使 y 1 x2x6有意义的实数 x 组成的集合
7、为x|x2 且 x3，xR (4)由(x2)2(y3)20，解得 x2，y3. 所以方程的解集为(x，y)|x2，y3 反思感悟 利用描述法表示集合应注意三点 (1)写清楚该集合代表元素例如，集合(x，y)|x2，y3写成x，y|x2，y3是错误的 (2)所有描述的内容都要写在大括号内 例如， x|x2k， kZ， 这种表达方式就不符合要求， 需将 kZ 也写进大括号，即x|x2k，kZ (3)不能出现未被说明的字母 跟踪训练 2 用描述法表示下列集合 (1)坐标平面内第三象限的点组成的集合； (2)大于 4 的所有偶数组成的集合 解 (1)第三象限内的点的横、纵坐标均小于零，故此集合可表示为
8、(x，y)|x0，y6 的解组成的集合； (4)大于 0.5 且不大于 6 的实数组成的集合； (5)方程组 xy3， xy5 的解集 解 (1)0，1 (2)x|x2n1，且 x1 000，nN (3)(8，) (4)(0.5,6 (5)解集用描述法表示为 x，y xy3， xy5 ， 解集用列举法表示为(4，1) 反思感悟 (1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举 法和描述法的适用范围 (2)方程(或方程组)的解的个数较少， 解集一般用列举法表示； 不等式(或不等式组)的解集一般 用描述法表示，能用区间表示的尽量用区间表示 跟踪训练 3 试分别用列举法和描
9、述法表示下列集合： (1)方程 x220 的所有实数根组成的集合； (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 解 (1)方程 x220 的实数根为 x，并且满足条件 x220，因此，用描述法表示为 A xR|x220 方程x220 有两个实数根 2， 2， 因此， 用列举法表示为A 2， 2 (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x，它满足条件 xZ，且 10x20.因此，用描述法表示为 B xZ|10x0，即 k1，且 k0. 所以实数 k 组成的集合为k|k1，且 k0 2本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数 k 的取 值范围 解 由题意
10、可知，方程 kx28x160 至少有一个实数根 当 k0 时，由8x160 得 x2，符合题意； 当 k0 时，要使方程 kx28x160 至少有一个实数根， 则 6464k0，即 k1，且 k0. 综合可知，实数 k 的取值集合为k|k1 素养提升 (1)读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合 A 中的元素就是所 给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题 (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想， 提升了逻辑推理的数学核心素养 1将集合 Ax|1x3用区间表示正确的是( ) A(1,3) B(1,3 C1,3) D1
11、,3 答案 B 解析 集合 A 为左开右闭区间，可表示为(1,3 2(多选)方程组 xy3， 2xy6 的解集是( ) Ax3，y0 B3 C(3,0) D. x，y x3， y0 答案 CD 解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除 A，B.D 是用的描述法，所以是正确的 3(多选)对于集合(x，y)|y2x1的说法错误的是( ) A方程 y2x1 B点(x，y) C平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D函数 y2x1 图像上的所有点组成的集合 答案 ABC 解析 集合(x，y)|y2x1的代表元素是(x，y)，x，y 满足的关系式为 y2x1，因此集合 表示的是满足关系式 y2x1 的点
12、组成的集合，所以 A，B，C 的说法都不正确 4下列集合的表示方法正确的是( ) A第二、四象限内的点集可表示为(x，y)|xy0，xR，yR B不等式 x14 的解集为x5 C全体整数 D实数集可表示为 R 答案 D 解析 A 中应是 xy0；B 中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了 竖线和竖线前面的代表元素 x，应为x|x5；C 中的“ ”与“全体”意思重复 5集合 AxN|x12 019中的元素个数为( ) A2 018 B2 019 C2 020 D2 021 答案 D 解析 因为集合 AxN|x12 019xN|x2 0200,1,2，2 020，所以元素 个数为 2 021. 1知识清单： (1)集合的两种表示方法：列举法、描述法 (2)区间的应用 2方法归纳：分类讨论、转化与化归 3常见误区： (1)不理解的意义 (2)搞不清点集还是数集把元素写错
