1.1.1(第2课时)共线向量与共面向量 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册

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1、第第 2 2 课时课时 共线向量与共面向量共线向量与共面向量 学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明 空间三点共线、四点共面 知识点一 共线向量 1空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 a,b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ,使 ab. 2直线的方向向量 在直线 l 上取非零向量 a,我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量 思考 1 对于空间向量 a,b,c,若 ab 且 bc, 是否可以得到 ac? 答案 不能若 b0,则对任意向量 a,c 都有 ab 且 bc. 思考 2 怎样利用向量共线证明 A,B,C

2、三点共线? 答案 只需证明向量AB ,BC(不唯一)共线即可 知识点二 共面向量 1共面向量 如图,如果表示向量 a 的有向线段OA 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合,那么称向量 a 平 行于直线 l.如果直线 OA 平行于平面 或在平面 内,那么称向量 a 平行于平面 .平行于同 一个平面的向量,叫做共面向量 2向量共面的充要条件 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x,y),使 pxayb. 思考 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,存在有序实数对(x,y),满足关系OP OA xAB yAC,则点 P

3、与点 A,B,C 是否共面? 答案 共面. 由OP OA xAB yAC, 可得APxAByAC, 所以向量AP与向量AB, AC共面, 故点 P 与点 A,B,C 共面 1向量AB 与向量CD 是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上( ) 2若向量 a,b,c 共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面( ) 3空间中任意三个向量一定是共面向量( ) 4若 P,M,A,B 共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使MP xMA yMB .( ) 一、向量共线的判定及应用 例 1 如图所示,已知四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是

4、边 CB,CD 上的点,且CF 2 3CB ,CG 2 3CD .求证:四边形 EFGH 是梯形 证明 E,H 分别是 AB,AD 的中点, AE 1 2AB ,AH 1 2AD , 则EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD 1 2(CD CB )1 2 3 2CG 3 2CF 3 4(CG CF )3 4FG , EH FG 且|EH |3 4|FG |FG |. 又 F 不在直线 EH 上, 四边形 EFGH 是梯形 反思感悟 向量共线的判定及应用 (1)本题利用向量的共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别 (2)判断或证明两向量 a,b(b0)共线,就是

5、寻找实数 ,使 ab 成立,为此常结合题目图 形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达 (3)判断或证明空间中的三点(如 P,A,B)共线的方法:是否存在实数 ,使PA PB; 跟踪训练 1 (1)已知 A,B,C 三点共线,O 为直线外空间任意一点,若OC mOA nOB , 则 mn_. 答案 1 解析 由于 A,B,C 三点共线,所以存在实数 ,使得AC AB,即OC OA (OB OA ), 所以OC (1)OA OB ,所以 m1,n, 所以 mn1. (2)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 在 A1D1上,且A1E 2ED 1 ,F 在对角线

6、 A 1C 上,且A1F 2 3FC . 求证:E,F,B 三点共线 证明 设AB a,AD b,AA1 c, 因为A1E 2ED 1 ,A 1F 2 3FC , 所以A1E 2 3A1D1 ,A1F 2 5A1C , 所以A1E 2 3AD 2 3b, A1F 2 5(AC AA 1 )2 5(AB AD AA1 )2 5a 2 5b 2 5c, 所以EF A 1F A 1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc . 又EB EA 1 A 1A AB2 3bcaa 2 3bc, 所以EF 2 5EB ,所以 E,F,B 三点共线 二、向量共面的判定 例 2 已知 A,B,C

7、三点不共线,平面 ABC 外一点 M 满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC . (1)判断MA ,MB ,MC 三个向量是否共面; (2)判断 M 是否在平面 ABC 内 解 (1)OA OB OC 3OM , OA OM (OM OB )(OM OC ), MA BM CM MB MC , 向量MA ,MB ,MC 共面 (2)由(1)知,向量MA ,MB ,MC 共面,而它们有共同的起点 M,且 A,B,C 三点不共线, M,A,B,C 共面,即 M 在平面 ABC 内 反思感悟 解决向量共面的策略 (1)若已知点 P 在平面 ABC 内,则有AP xAByAC或OP xOA yO

8、B zOC (xyz1), 然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数 (2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分 解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示 跟踪训练 2 (1)如图所示,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直,点 M,N 分 别在对角线 BD,AE 上,且 BM1 3BD,AN 1 3AE.求证:向量MN ,CD ,DE 共面 证明 因为 M 在 BD 上,且 BM1 3BD, 所以MB 1 3DB 1 3DA 1 3AB . 同理AN 1 3AD 1 3DE . 所以MN MB BA AN 1 3D

9、A 1 3AB BA 1 3AD 1 3DE 2 3BA 1 3DE 2 3CD 1 3DE . 又CD 与DE 不共线,根据向量共面的充要条件可知MN ,CD ,DE 共面 (2)已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,求证: E,F,G,H 四点共面 BD平面 EFGH. 证明 如图,连接 EG,BG. 因为EG EB BG EB 1 2(BC BD )EB BFEH EF EH , 由向量共面的充要条件知 向量EG ,EF ,EH 共面,即 E,F,G,H 四点共面 因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD ,所以 EHBD

10、. 又 EH平面 EFGH,BD平面 EFGH,所以 BD平面 EFGH. 空间共线向量定理的应用 典例 如图所示, 已知四边形 ABCD, ABEF 都是平行四边形, 且它们所在的平面不共面, M, N 分别是 AC,BF 的中点,求证:CEMN. 证明 M,N 分别是 AC,BF 的中点, 又四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形, MN MA AF FN1 2CA AF1 2FB , 又MN MC CE EBBN 1 2CA CEAF1 2FB , 1 2CA AF1 2FB 1 2CA CEAF1 2FB , CE CA2AFFB2(MA AF FN), CE 2MN ,CE MN

11、 . 点 C 不在 MN 上,CEMN. 素养提升 证明空间图形中的两直线平行, 可以转化为证明两直线的方向向量共线问题 这 里关键是利用向量的线性运算,从而确定CE MN 中的 的值 1满足下列条件,能说明空间不重合的 A,B,C 三点共线的是( ) A.AB BCAC B.AB BCAC C.AB BC D|AB |BC| 答案 C 2若空间中任意四点 O,A,B,P 满足OP mOA nOB ,其中 mn1,则( ) AP直线 AB BP直线 AB C点 P 可能在直线 AB 上,也可能不在直线 AB 上 D以上都不对 答案 A 解析 因为 mn1, 所以 m1n, 所以OP (1n)

12、OA nOB , 即OP OA n(OB OA ), 即AP nAB,所以AP与AB共线 又AP ,AB有公共起点 A,所以 P,A,B 三点在同一直线上,即 P直线 AB. 3下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A.OM 2OA OB OC B.OM 1 5OA 1 3OB 1 2OC C.MA MB MC 0 D.OM OA OB OC 0 答案 C 解析 C 选项中,MA MB MC , 点 M,A,B,C 共面 4已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O,有OM xOA 1 3OB 1 3OC ,则 x 的值 为( ) A1 B0 C3 D.1 3 答案 D 解析 OM xOA 1 3OB 1 3OC , 且 M,A,B,C 四点共面, x1 3 1 31,x 1 3,故选 D. 5已知非零向量 e1,e2不共线,则使 ke1e2与 e1ke2共线的 k 的值是_ 答案 1 解析 若 ke1e2与 e1ke2共线, 则 ke1e2(e1ke2), 所以 k, k1. 所以 k 1. 1知识清单: (1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量 (2)空间向量共面的充要条件 2方法归纳 :转化化归 3常见误区: 混淆向量共线与线段共线、点共线

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