1、第第 2 2 课时课时 共线向量与共面向量共线向量与共面向量 学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明 空间三点共线、四点共面 知识点一 共线向量 1空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 ab. 2直线的方向向量 在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量 思考 1 对于空间向量 a，b，c，若 ab 且 bc， 是否可以得到 ac? 答案 不能若 b0，则对任意向量 a，c 都有 ab 且 bc. 思考 2 怎样利用向量共线证明 A，B，C
2、三点共线？ 答案 只需证明向量AB ，BC(不唯一)共线即可 知识点二 共面向量 1共面向量 如图，如果表示向量 a 的有向线段OA 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平 行于直线 l.如果直线 OA 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 a 平行于平面 .平行于同 一个平面的向量，叫做共面向量 2向量共面的充要条件 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x，y)，使 pxayb. 思考 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系OP OA xAB yAC，则点 P
3、与点 A，B，C 是否共面？ 答案 共面. 由OP OA xAB yAC， 可得APxAByAC， 所以向量AP与向量AB， AC共面， 故点 P 与点 A，B，C 共面 1向量AB 与向量CD 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上( ) 2若向量 a，b，c 共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面( ) 3空间中任意三个向量一定是共面向量( ) 4若 P，M，A，B 共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使MP xMA yMB .( ) 一、向量共线的判定及应用 例 1 如图所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是
4、边 CB，CD 上的点，且CF 2 3CB ，CG 2 3CD .求证：四边形 EFGH 是梯形 证明 E，H 分别是 AB，AD 的中点， AE 1 2AB ，AH 1 2AD ， 则EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD 1 2(CD CB )1 2 3 2CG 3 2CF 3 4(CG CF )3 4FG ， EH FG 且|EH |3 4|FG |FG |. 又 F 不在直线 EH 上， 四边形 EFGH 是梯形 反思感悟 向量共线的判定及应用 (1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别 (2)判断或证明两向量 a，b(b0)共线，就是
5、寻找实数 ，使 ab 成立，为此常结合题目图 形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达 (3)判断或证明空间中的三点(如 P，A，B)共线的方法：是否存在实数 ，使PA PB； 跟踪训练 1 (1)已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC mOA nOB ， 则 mn_. 答案 1 解析 由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数 ，使得AC AB，即OC OA (OB OA )， 所以OC (1)OA OB ，所以 m1，n， 所以 mn1. (2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 在 A1D1上，且A1E 2ED 1 ，F 在对角线
6、 A 1C 上，且A1F 2 3FC . 求证：E，F，B 三点共线 证明 设AB a，AD b，AA1 c， 因为A1E 2ED 1 ，A 1F 2 3FC ， 所以A1E 2 3A1D1 ，A1F 2 5A1C ， 所以A1E 2 3AD 2 3b， A1F 2 5(AC AA 1 )2 5(AB AD AA1 )2 5a 2 5b 2 5c， 所以EF A 1F A 1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc . 又EB EA 1 A 1A AB2 3bcaa 2 3bc， 所以EF 2 5EB ，所以 E，F，B 三点共线 二、向量共面的判定 例 2 已知 A，B，C
7、三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC . (1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断 M 是否在平面 ABC 内 解 (1)OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， MA BM CM MB MC ， 向量MA ，MB ，MC 共面 (2)由(1)知，向量MA ，MB ，MC 共面，而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线， M，A，B，C 共面，即 M 在平面 ABC 内 反思感悟 解决向量共面的策略 (1)若已知点 P 在平面 ABC 内，则有AP xAByAC或OP xOA yO
8、B zOC (xyz1)， 然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数 (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分 解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示 跟踪训练 2 (1)如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分 别在对角线 BD，AE 上，且 BM1 3BD，AN 1 3AE.求证：向量MN ，CD ，DE 共面 证明 因为 M 在 BD 上，且 BM1 3BD， 所以MB 1 3DB 1 3DA 1 3AB . 同理AN 1 3AD 1 3DE . 所以MN MB BA AN 1 3D
9、A 1 3AB BA 1 3AD 1 3DE 2 3BA 1 3DE 2 3CD 1 3DE . 又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN ，CD ，DE 共面 (2)已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，求证： E，F，G，H 四点共面 BD平面 EFGH. 证明 如图，连接 EG，BG. 因为EG EB BG EB 1 2(BC BD )EB BFEH EF EH ， 由向量共面的充要条件知 向量EG ，EF ，EH 共面，即 E，F，G，H 四点共面 因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD ，所以 EHBD
10、. 又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH. 空间共线向量定理的应用 典例 如图所示， 已知四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形， 且它们所在的平面不共面， M， N 分别是 AC，BF 的中点，求证：CEMN. 证明 M，N 分别是 AC，BF 的中点， 又四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形， MN MA AF FN1 2CA AF1 2FB ， 又MN MC CE EBBN 1 2CA CEAF1 2FB ， 1 2CA AF1 2FB 1 2CA CEAF1 2FB ， CE CA2AFFB2(MA AF FN)， CE 2MN ，CE MN
11、 . 点 C 不在 MN 上，CEMN. 素养提升 证明空间图形中的两直线平行， 可以转化为证明两直线的方向向量共线问题 这 里关键是利用向量的线性运算，从而确定CE MN 中的 的值 1满足下列条件，能说明空间不重合的 A，B，C 三点共线的是( ) A.AB BCAC B.AB BCAC C.AB BC D|AB |BC| 答案 C 2若空间中任意四点 O，A，B，P 满足OP mOA nOB ，其中 mn1，则( ) AP直线 AB BP直线 AB C点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上 D以上都不对 答案 A 解析 因为 mn1， 所以 m1n， 所以OP (1n)
12、OA nOB ， 即OP OA n(OB OA )， 即AP nAB，所以AP与AB共线 又AP ，AB有公共起点 A，所以 P，A，B 三点在同一直线上，即 P直线 AB. 3下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是( ) A.OM 2OA OB OC B.OM 1 5OA 1 3OB 1 2OC C.MA MB MC 0 D.OM OA OB OC 0 答案 C 解析 C 选项中，MA MB MC ， 点 M，A，B，C 共面 4已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有OM xOA 1 3OB 1 3OC ，则 x 的值 为( ) A1 B0 C3 D.1 3 答案 D 解析 OM xOA 1 3OB 1 3OC ， 且 M，A，B，C 四点共面， x1 3 1 31，x 1 3，故选 D. 5已知非零向量 e1，e2不共线，则使 ke1e2与 e1ke2共线的 k 的值是_ 答案 1 解析 若 ke1e2与 e1ke2共线， 则 ke1e2(e1ke2)， 所以 k， k1. 所以 k 1. 1知识清单： (1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量 (2)空间向量共面的充要条件 2方法归纳 ：转化化归 3常见误区： 混淆向量共线与线段共线、点共线