1、模块综合试卷模块综合试卷 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1直线 l 过点(3,0)，且与直线 y2x3 垂直，则直线 l 的方程为( ) Ay1 2(x3) By1 2(x3) Cy1 2(x3) Dy1 2(x3) 答案 B 解析 因为直线 y2x3 的斜率为 2， 所以直线 l 的斜率为1 2. 又直线 l 过点(3,0)， 故所求直线的方程为 y1 2(x3) 2已知椭圆的中心在原点，离心率 e1 2，且它的一个焦点与抛物线 y 24x 的焦点重合，则此椭圆方程 为( ) A.x 2 4 y2 31 B.x 2
2、 8 y2 61 C.x 2 2y 21 D.x 2 4y 21 答案 A 解析 抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)， 椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，c1， 又 ec a 1 2，a2，b 2a2c23， 椭圆的标准方程为x 2 4 y2 31. 3已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 相切，圆心在直线 yx 上，则圆 C 的方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 答案 A 解析 圆心在 yx 上，设圆心坐标为(a，a)， 圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切， 圆心到两直线 yx 及 xy40 的距
3、离相等， 即|2a| 2 |2a4| 2 a1， 圆心坐标为(1,1)，R 2 2 2， 圆 C 的标准方程为(x1)2(y1)22. 4.如图，ABACBD1，AB平面 ，AC平面 ，BDAB，BD 与平面 成 30 角，则 C，D 间的距离 为( ) A1 B2 C. 2 D. 3 答案 C 解析 |CD |2|CA AB BD |2|CA |2|AB |2|BD |22CA AB 2AB BD 2CA BD 11100 211 cos 120 2. |CD | 2. 5过点 P(2,4)作圆 C：(x2)2(y1)225 的切线 l，直线 m：ax3y0 与切线 l 平行，则切线 l 与
4、直 线 m 间的距离为( ) A4 B2 C.8 5 D. 12 5 答案 A 解析 根据题意，知点 P 在圆 C 上， 切线 l 的斜率 k 1 kCP 1 14 22 4 3， 切线 l 的方程为 y44 3(x2)，即 4x3y200. 又直线 m 与切线 l 平行， 直线 m 的方程为 4x3y0. 故切线 l 与直线 m 间的距离 d |020| 42324. 6已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，过点(4,0)的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(2，1)， 则椭圆 E 的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 3 D. 2 3 3 答
5、案 B 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得x 2 1x 2 2 a2 y 2 1y 2 2 b2 0， 因为 AB 的中点坐标为(2，1)， 所以 x1x24，y1y22， 所以y1y2 x1x2 x1x2b2 y1y2a2 2b2 a2 ， 又 kABy1y2 x1x2 01 42 1 2， 所以2b 2 a2 1 2，即 a2b， 所以 ec a 1 b a 2 3 2 . 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA15，P 是棱 DD1上的动点，则当PA1C 的面积最 小时，DP
6、 等于( ) A1 B2 C.5 2 D4 答案 A 解析 根据题意，以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所 示， 设 DPx(0 x5)， 故可得 P(0,2，x)，A1(0,0,5)，C(1，2,0)， 由空间中两点之间的距离公式可得|A1P|4x52 x210 x29， |PC| 1x2，|A1C| 30， 故在PA1C 中，由余弦定理可得 cosA1PC|A1P| 2|PC|2|A 1C| 2 2|A1P| |PC| x25x x210 x29 1x2， 则 sinA1PC 1cos2A1PC 5x210 x29 x210 x29
7、x21， 故 1 A PC S1 2sinA1PC|A1P|PC| 1 2 5x210 x29 x210 x29x21 x 210 x29 1x2 1 2 5x210 x291 2 5x1224， 当且仅当 x1 时，PA1C 的面积最小 故满足题意时，DP1. 8.如图，F1，F2分别是双曲线 C 的左、右焦点，过 F1的直线与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点， 若ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C. 7 D3 答案 C 解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|2a， ABF2是等边三角形，即|BF2|AB|， |BF1|BF2|2a
8、，即|BF1|AB|AF1|2a， 又|AF2|AF1|2a， |AF2|AF1|2a4a. 在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120 ， |F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1| |AF2|cos 120 ， 即 4c24a216a222a4a 1 2 28a2，得 c 7a， 由此可得双曲线 C 的离心率 ec a 7. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9若圆 C：x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3yc0 的距离为 2，则 c 的取
9、值可 能是( ) A13 B13 C15 D18 答案 BC 解析 圆 C：x2y22x4y200 化为(x1)2(y2)225， 则圆心 C(1，2)，半径 r5， 若圆 C：x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3yc0 的距离为 2， 则圆心 C(1，2)到直线 l 的距离 d3，如图 即|4132c| 5 |c2| 5 3， 13c0，b0)的左、右焦点，过左焦点 F1且斜率为 15 7 的直线 l 与 C 在 第一象限相交于一点 P，则下列说法正确的是( ) A直线 l 的倾斜角的余弦值为7 8 B若|F1P|F1F2|，则 C 的离心率 e4 3 C若|PF2|F
10、1F2|，则 C 的离心率 e2 DPF1F2不可能是等边三角形 答案 AD 解析 设直线 l 的倾斜角为 ，则 tan 15 7 ，cos 7 8，故 A 正确 P 在第一象限内，若|F1P|F1F2|，则|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c2a，由余弦定理得4c 24c22c2a2 8c2 7 8，整理得 3e 28e40，解得 e2 或 e2 3(舍)，故 B 错误 若|PF2|F1F2|，则|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c2a，由余弦定理得4c 22c2a24c2 8cca 7 8，整理得 3e 2e 40，解得 e4 3或 e1(舍)故 C 错误 由|PF1|PF2|，知
11、PF1F2不可能为等边三角形，故 D 正确 11 设抛物线 C： y22px(p0)的焦点为 F， 准线为 l， A 为 C 上一点， 以 F 为圆心， |FA|为半径的圆交 l 于 B， D 两点，若ABD90 ，且ABF 的面积为 9 3，则( ) A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 答案 BCD 解析 由题意，得以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，且ABD90 ， 由抛物线定义，可得|AB|AF|BF|， ABF 是等边三角形， FBD30 ， SABF 3 4 |BF|29 3， |BF|6. 又
12、焦点 F 到准线的距离为 p|BF|sin 30 3， 则抛物线方程为 y26x， 则 BCD 正确，A 错误 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90 ，PA底面 ABCD，且 PAAD AB2BC，M，N 分别为 PC，PB 的中点则( ) ACDAN BBDPC CPB平面 ANMD DBD 与平面 ANMD 所成的角为 30 答案 CD 解析 以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 设 BC1， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， M
13、1，1 2，1 ，N(1,0,1)， 从而CD (2,1,0)，AN (1,0,1)，BD (2,2,0)，PC (2,1，2)，PB(2,0，2)，AD (0,2,0) CD AN 210，A 错误； BD PC 222120，B 错误； 设平面 ANMD 的法向量为 n(x，y，z)， 则由 n AD 0， n AN 0， 得 2y0， xz0， 令 x1，得 n(1,0，1) PB 2n，PB平面 ANMD，C 正确； cosBD ，n BD n |BD | |n| 1 2， BD 与平面 ANMD 所成的角为 30 ，D 正确 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
14、) 13直线 l 到其平行直线 x2y40 的距离和原点到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程是_ 答案 x2y20 解析 根据题意，设所求直线 l 的方程为 x2yC0(C4)， 则 |C4| 1222 |C| 1222， 解得 C2，故直线 l 的方程为 x2y20. 14已知抛物线 C：y22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交 点为 B，若AM MB ，则 p_. 答案 2 解析 如图，由 AB 的斜率为 3， 知 60 ，又AM MB ， M 为 AB 的中点 过点 B 作 BP准线 l 于点 P， 则ABP60 ，
15、BAP30 . |BP|1 2|AB|BM|. M 为焦点，即p 21， p2. 15在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点 S 在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角的大小是_ 答案 30 解析 如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 ODOSOAOBOCa， 则 A(a，0,0)，B(0，a，0)，C(a，0,0)，P 0，a 2， a 2 ， 从而CA (2a，0,0)，AP a，a 2， a 2 ， CB (a，a，0) 设平面 PAC 的法向量为 n(x，y，z)， 由 n CA 0， n AP 0， 可得 n(
16、0,1,1)， 则 cosn，CB n CB |n| |CB | 1 2， 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 30 . 16直线 mxy20(mR)与圆 C：x2y22y10 相交于 A，B 两点，弦长|AB|的最小值为_， 若ABC 的面积为 3 2 ，则 m 的值为_ 答案 2 1 解析 直线 mxy20(mR)恒过圆 C：x2(y1)22 内的定点 M(0,2)，r 2，圆心 C 到直线的距离 d|CM|1，|AB|2 r2d22， 即弦长|AB|的最小值为 2. SABC1 2r 2sinACB 3 2 ， 即ACB 3或 2 3 . 若ACB 3，则圆心到弦 AB 的距离为 6
17、 2 1|CM|，故不符合题意； 若ACB2 3 ，圆心到直线的距离为 2 2 1|CM|， 设弦 AB 的中点为 N， 又|CM|1，故NCM 4， 即直线的倾斜角为 4，则 m 的值为 1. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2,2)证明： (1)对任意的实数 ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标； (2)该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. 证明 (1)显然 2 与(1)不可能同时为零，故对任意的实数 ，该方程都表示直线 方程可变形为 2xy6(xy4)0， 由 2x
18、y60， xy40， 解得 x2， y2， 故直线经过定点 M(2，2) (2)过 P 作直线的垂线段 PQ(图略)， 由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当 Q 与 M 重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是 y2x 2，即 xy40.但直线系方程不能表示直线 xy40， M 与 Q 不可能重合，而|PM|4 2， |PQ|b0)的长轴是短轴的 2倍，且右焦点为 F(1,0) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)直线 l：yk(x2)交椭圆 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为2 3，求直线 l 的方程及FAB 的 面积 解 (1)长轴是短轴的 2倍， a 2b，
19、 焦点 F 的坐标为(1,0)， c1. 结合 a2b2c2，得 a 2，b1. 椭圆 C 的标准方程为x 2 2y 21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 x2 2y 21， ykx2， 得(2k21)x28k2x8k220， 则 x1x2 8k2 2k21，x1x2 8k22 2k21. 线段 AB 中点的横坐标为2 3， x1x2 2 4k2 2k21 2 3. 解得 k21 4，即 k 1 2满足 0， 直线 l 的方程为 y 1 2(x2) |AB|1k2x1x224x1x22 5 3 ， 点 F 到直线 l 的距离 d |3k| 1k2 3 5 5 . FAB 的
20、面积 SAFB1 2 2 5 3 3 5 5 1. 19(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PAAB，E 为线段 PB 的中点 (1)求证：点 F 在线段 BC 上移动时，AEF 为直角三角形； (2)若 F 为线段 BC 的中点，求平面 AEF 与平面 EFD 夹角的余弦值 (1)证明 PAAB，E 为线段 PB 的中点， AEPB. PA底面 ABCD，BC平面 ABCD， PABC. 底面 ABCD 为正方形， BCAB. 又 PAABA，PA，AB平面 PAB， BC平面 PAB. AE平面 PAB， BCAE. PBBCB，PB，
21、BC平面 PBC， AE平面 PBC. EF平面 PBC， AEEF， 点 F 在线段 BC 上移动时，AEF 为直角三角形 (2)解 如图，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，连接 DF，令 PA2，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，D(0,2,0)， 设平面 AEF 的法向量为 m(x，y，z)， 则 m AF 0， m AE 0， 可得 2xy0， xz0， 取 m(1，2，1)， 设平面 DEF 的法向量为 n(a，b，c)， 则 n DE 0， n EF 0， 可得 a2bc0， abc0， 取 n(1,2
22、,3)， |cosm，n| |6| 6 14 21 7 ， 平面 AEF 与平面 DEF 夹角的余弦值为 21 7 . 20. (12 分)已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C：(x1)2y24 交于 A，B 两点 (1)若|AB| 15，求直线 l 的方程； (2)x 轴上是否存在定点 M(x0,0)，使得当 l 变动时，总有直线 MA，MB 的斜率之和为 0？，若存在，求出 x0 的值，若不存在，请说明理由 解 (1)设圆心 C 到直线 l 的距离为 d， 则 d|CA|2 |AB| 2 2 415 4 1 2. 当 l 的斜率不存在时，d1，不符合题意 当 l 的斜率存在时，设 l 的
23、方程为 ykx，由点到直线的距离公式得 |k| k21 1 2， 解得 k 3 3 ， 故直线 l 的方程为 y 3 3 x. (2)存在定点 M，且 x03. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2. 当 l 的斜率不存在时，由对称性可得AMCBMC，k1k20，符合题意； 当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykx，代入圆 C 的方程， 整理得(k21)x22x30， x1x2 2 k21，x1x2 3 k21， k1k2 y1 x1x0 y2 x2x0 2kx1x2kx0 x1x2 x1x0 x2x0 2x06k x1x0 x2x0k21，
24、 当 2x060，即 x03 时，有 k1k20， 存在定点 M(3,0)符合题意，即 x03. 21(12 分)等边ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且满足AD DB CE EA 1 2(如图)，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角 A1DEB 成直二面角，连接 A1B，A1C(如图) (1)求证：A1D平面 BCED； (2)在线段 BC 上是否存在点 P， 使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 ？若存在， 求出 PB 的长； 若不存在， 请说明理由 (1)证明 由已知可得 AE2，AD1，A60 . 从而 DE 1222212cos
25、 60 3. 故 AD2DE2AE2， A1DDE，BDDE. A1DB 为二面角 A1DEB 的平面角 又二面角 A1DEB 为直二面角， A1DB90 ， 即 A1DDB. DEDBD，且 DE，DB平面 BCED， A1D平面 BCED. (2)解 存在 由(1)知 EDDB，A1D平面 BCED，以 D 为坐标原点，以射线 DB，DE，DA1分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正 半轴建立空间直角坐标系，如图， 过 P 作 PHDE 交 BD 于点 H， 设 PB2a(02a3)， 则 BHa，PH 3a，DH2a， 易知 A1(0,0,1)，P(2a， 3a，0)，E(0， 3，0)，
26、PA1 (a2， 3a，1)， DE平面 A1BD， 平面 A1BD 的一个法向量为DE (0， 3，0) 直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 ， sin 60 |PA1 DE | |PA1 | |DE | 3a 4a24a5 3 3 2 ， 解得 a5 4. PB2a5 2，满足 02a3，符合题意 在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 ，此时 PB5 2. 22(12 分)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1( 3，0)，F2( 3，0)，椭圆上的点 P 满 足PF1F290 ，且PF1F2的面积为
27、3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，过点 Q(1,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，直线 AN 与直 线 x4 的交点为 R，求证：点 R 总在直线 BM 上 (1)解 由题意知|F1F2|2c2 3. 椭圆上的点 P 满足PF1F290 ，且 1 2 PF F S 3 2 ， 1 2 PF F S1 2|F1F2| |PF1| 1 22 3|PF1| 3 2 ， |PF1|1 2，|PF2| |F1F2| 2|PF 1| 27 2. 2a|PF1|PF2|4，a2. 又 c 3， b a2c21， 椭圆 C 的方程为x 2
28、4y 21. (2)证明 由题意知 A(2,0)，B(2,0) 当直线 l 与 x 轴垂直时，M 1， 3 2 ，N 1， 3 2 ， 则 AN 的方程是 y 3 6 (x2)，BM 的方程是 y 3 2 (x2)， 直线 AN 与直线 x4 的交点为 R(4， 3)， 点 R 在直线 BM 上 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)， 由 ykx1， x2 4y 21， 得(14k2)x28k2x4k240， x1x2 8k2 14k2，x1x2 4k24 14k2. AR (6，y 0)，AN (x 22，y2)，A，N，R 共线， y0 6y2 x22. 又BR (2，y 0)，BM (x12，y1)， 需证明 B，M，R 共线， 2y1y0(x12)0，只需证明 2k(x11)6kx21 x22 (x12)0， 若 k0，显然成立，若 k0，即证明(x11)(x22)3(x21)(x12)2x1x25(x1x2)824k 24 14k2 58k2 14k280 成立，这个式子显然成立， B，M，R 共线，即点 R 总在直线 BM 上
