1、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学习目标 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算 方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 知识点一 空间向量的夹角 1定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做 向量 a，b 的夹角，记作a，b 2范围：0a，b. 特别地，当a，b 2时，a b. 思考 当a，b0 和a，b 时，向量 a 与 b 有什么关系？ 答案 当a，b0 时，a 与 b 同向；当a，b 时，a 与 b 反向 知识点二 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a，
2、b，则|a|b|cos a，b叫做 a，b 的数量积，记作 a b. 即 a b|a|b|cosa，b 规定：零向量与任何向量的数量积都为 0. 性质 aba b0 a aa2|a|2 运算律 (a) b(a b)，R. a bb a(交换律) a (bc)a ba c(分配律). 思考 1 向量的数量积运算是否满足结合律？ 答案 不满足结合律，(a b) ca (b c)是错误的 思考 2 对于向量 a，b，若 a bk，能否写成 ak b 或bk a ？ 答案 不能，向量没有除法 知识点三 向量 a 的投影 1如图(1)，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将
3、它们平移 到同一个平面 内， 进而利用平面上向量的投影， 得到与向量 b 共线的向量 c， c|a|cos a， bb |b|，向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影(如图 (2) 2如图(3)，向量 a 向平面 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线， 垂足分别为 A， B， 得到AB ， 向量AB 称为向量 a 在平面 上的投影向量 这时， 向量 a，AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 所成的角 1向量AB 与CD 的夹角等于向量AB 与DC 的夹角( ) 2若 a b0，则 a0 或 b0.( ) 3对于非
4、零向量 b，由 a bb c，可得 ac.( ) 4若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a b|a|b|.( ) 一、数量积的计算 例 1 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求： (1)EF BA； (2)EF BD ； (3)EF DC ； (4)AB CD . 解 (1)EF BA1 2BD BA 1 2|BD |BA | cosBD ，BA 1 2cos 60 1 4. (2)EF BD 1 2BD BD 1 2|BD |21 2. (3)EF DC 1 2BD DC 1 2|BD | |DC |cosBD ，DC 1 2cos
5、 120 1 4. (4)AB CD AB (AD AC ) AB AD AB AC |AB |AD |cosAB ，AD |AB |AC|cosAB，AC cos 60 cos 60 0. 反思感悟 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积 (3)代入 a b|a|b|cosa，b求解 跟踪训练 1 (1) 已知 a3p2q， bpq， p 和 q 是相互垂直的单位向量， 则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 pq 且|p|q|1，a b(3p2q) (pq)3p2
6、p q2q23021. (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE BD _. 答案 2 解析 AE AD DE AD 1 2AB ，BD AD AB ， AE BD AD 1 2AB (AD AB )AD2 AD AB 1 2AB AD 1 2AB 240022. 二、利用数量积证明垂直问题 例 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1的中点， 求证：A1O平面 GBD. 证明 设A1B1 a，A 1D1 b，A1A c， 则 a b0，b c0，a c0，|a|b|c|. A1O A 1A AO A1A
7、1 2(AB AD ) c1 2a 1 2b， BD AD AB ba， OG OC CG 1 2(AB AD )1 2CC1 1 2a 1 2b 1 2c， A1O BD c1 2a 1 2b (ba) c bc a1 2a b 1 2a 21 2b 21 2b a 1 2(b 2a2) 1 2(|b| 2|a|2)0. 于是A1O BD ，即 A1OBD. 同理可证A1O OG ，即 A1OOG. 又OGBDO，OG平面 GBD，BD平面 GBD， A1O平面 GBD. 反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的
8、数量积为 0 即 可 (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂 直即可 跟踪训练 2 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60 ， AB2AD，PD底面 ABCD.求证：PABD. 证明 在ADB 中，DAB60 ，AB2AD， 由余弦定理得，BD 3AD， 所以 AD2BD2AB2， 所以 DABD，则BD DA 0. 由 PD底面 ABCD，知 PDBD，则BD PD 0. 又PA PD DA ， 所以PA BD (PD DA ) BD PD BD DA BD 0，即 PABD. 三、用数量积求解夹角和模 例
9、3 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90 ，棱 AA12，点 N 为 AA1的中点 (1)求BN 的模； (2)求 cosBA1 ，CB 1 的值 解 由已知得|CA |CB|1，|CC 1 |AA 1 |2，AN1 2AA1 1 2CC1 . CA ，CC 1 CB，CC 1 CA，CB90 ， 所以CA CC 1 CB CC 1 CA CB0. (1)因为BN CN CB CAANCBCA1 2CC1 CB， 所以|BN |2BN2 CA 1 2CC1 CB 2 CA 21 4CC1 2CB2121 42 2123， 所以|BN | |BN |2 3. (2)因为
10、BA1 CA 1 CBCACC 1 CB， CB1 CBCC 1 ， 所以|BA1 |2BA 1 2(CACC 1 CB )2CA2CC 1 2CB21222126，|BA 1 | 6， |CB1 |2CB 1 2(CBCC 1 )2CB2CC 1 212225，|CB 1 | 5， BA1 CB 1 (CACC 1 CB) (CBCC 1 ) CC1 2CB222 123， 所以 cosBA1 ，CB 1 BA1 CB 1 |BA1 |CB 1 | 3 6 5 30 10 . 延伸探究 1(变结论)本例中条件不变，求BN 与CB 1 夹角的余弦值 解 由例题知，|BN | 3，|CB 1 |
11、 5， BN CB 1 CA 1 2CC1 CB (CB CC 1 ) 1 2CC1 2CB21 22 2 121. 所以 cosBN ，CB 1 BN CB 1 |BN |CB 1 | 1 3 5 15 15 . 所以BN 与CB 1 夹角的余弦值为 15 15 . 2(变条件)本例中，若 CACBAA11，其他条件不变，求异面直线 CA1与 AB 的夹角 解 由已知得|CA |CB|CC 1 |1，CA CC 1 CB CC 1 CA CB0， 因为|CA1 |2CA 1 2(CACC 1 )2CA2CC 1 212122， 所以|CA1 | 2， 因为|AB |2AB2(CBCA)2CB
12、2CA212122， 所以|AB | 2， 又因为CA1 AB(CACC 1 ) (CBCA)CA21. 所以 cosCA1 ，ABCA1 AB |CA1 |AB| 1 2 2 1 2. 所以CA1 ，AB120 ， 所以异面直线 CA1与 AB 的夹角为 60 . 反思感悟 求向量的夹角和模 (1)求两个向量的夹角：利用公式 cosa，b a b |a|b|求 cosa，b ，进而确定a，b (2)求线段长度(距离)：取此线段对应的向量； 用其他已知夹角和模的向量表示该向量； 利用|a| a2，计算出|a|，即得所求长度(距离) 跟踪训练 3 (1)已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1，
13、 设AB a， AD b， AA c， 则AB ，BD 等于( ) A30 B60 C90 D120 答案 D (2)已知在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角 都是 60 ，则 AC1的长为( ) A6 B. 6 C3 D. 3 答案 B 解析 设AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1， 且a，bb，cc，a60 ， 因此 a bb cc a1 2. 由AC1 abc 得|AC 1 |2AC 1 2a2b2c22a b2b c2c a6. 所以|AC1 | 6，故选 B. 1.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各组向
14、量的夹角为 45 的是( ) A.AB 与A 1C1 B.AB 与C 1A1 C.AB 与A 1D1 D.AB 与B 1A1 答案 A 2设 ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，则有( ) A.AB C 1A a2 B.AB A 1C1 2a2 C.BC A 1C a2 D.AB C 1A1 a2 答案 C 3 已知空间四边形 OABC 中， OBOC， AOBAOC 3， 则 cos OA ， BC 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C1 2 D0 答案 D 解析 OA BC OA (OC OB )OA OC OA OB |OA |OC |cosAOC|OA |OB |co
15、sAOB 1 2|OA |OC |1 2|OA |OB |0， 所以OA BC .所以 cosOA ，BC 0. 4若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60 的三个单位向量，则|ab2c|_. 答案 5 解析 |ab2c|2(ab2c)2 a2b24c22a b4a c4b c 5. |ab2c| 5. 5.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，P 是 C1D1的中点，则B1C 与A1P 所成角的大小为_，B 1C A 1P _. 答案 60 1 解析 方法一 连接 A1D(图略)，则PA1D 就是B1C 与A 1P 所成角，连接 PD，在PA 1D 中， 易得
16、 PA1DA1PD 2，即PA1D 为等边三角形，从而PA1D60 ，即B1C 与A 1P 所成角 的大小为 60 ，因此B1C A 1P 2 2cos 60 1. 方法二 根据向量的线性运算可得 B1C A 1P (A 1A AD ) AD 1 2AB AD 21. 由题意可得 PA1B1C 2，则 2 2cosB1C ，A1P 1， 从而B1C ，A1P 60 . 1知识清单： (1)空间向量的夹角、投影 (2)空间向量数量积、性质及运算律 2方法归纳：化归转化 3常见误区：空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定 (2)当 a0，由 a b0 可得 ab 或 b0.
