1.1.2 空间向量的数量积运算 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册

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资源描述

1、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学习目标 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算 方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 知识点一 空间向量的夹角 1定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA a,OB b,则AOB 叫做 向量 a,b 的夹角,记作a,b 2范围:0a,b. 特别地,当a,b 2时,a b. 思考 当a,b0 和a,b 时,向量 a 与 b 有什么关系? 答案 当a,b0 时,a 与 b 同向;当a,b 时,a 与 b 反向 知识点二 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a,

2、b,则|a|b|cos a,b叫做 a,b 的数量积,记作 a b. 即 a b|a|b|cosa,b 规定:零向量与任何向量的数量积都为 0. 性质 aba b0 a aa2|a|2 运算律 (a) b(a b),R. a bb a(交换律) a (bc)a ba c(分配律). 思考 1 向量的数量积运算是否满足结合律? 答案 不满足结合律,(a b) ca (b c)是错误的 思考 2 对于向量 a,b,若 a bk,能否写成 ak b 或bk a ? 答案 不能,向量没有除法 知识点三 向量 a 的投影 1如图(1),在空间,向量 a 向向量 b 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将

3、它们平移 到同一个平面 内, 进而利用平面上向量的投影, 得到与向量 b 共线的向量 c, c|a|cos a, bb |b|,向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量类似地,可以将向量 a 向直线 l 投影(如图 (2) 2如图(3),向量 a 向平面 投影,就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线, 垂足分别为 A, B, 得到AB , 向量AB 称为向量 a 在平面 上的投影向量 这时, 向量 a,AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 所成的角 1向量AB 与CD 的夹角等于向量AB 与DC 的夹角( ) 2若 a b0,则 a0 或 b0.( ) 3对于非

4、零向量 b,由 a bb c,可得 ac.( ) 4若非零向量 a,b 为共线且同向的向量,则 a b|a|b|.( ) 一、数量积的计算 例 1 如图所示,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,求: (1)EF BA; (2)EF BD ; (3)EF DC ; (4)AB CD . 解 (1)EF BA1 2BD BA 1 2|BD |BA | cosBD ,BA 1 2cos 60 1 4. (2)EF BD 1 2BD BD 1 2|BD |21 2. (3)EF DC 1 2BD DC 1 2|BD | |DC |cosBD ,DC 1 2cos

5、 120 1 4. (4)AB CD AB (AD AC ) AB AD AB AC |AB |AD |cosAB ,AD |AB |AC|cosAB,AC cos 60 cos 60 0. 反思感悟 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积 (3)代入 a b|a|b|cosa,b求解 跟踪训练 1 (1) 已知 a3p2q, bpq, p 和 q 是相互垂直的单位向量, 则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 pq 且|p|q|1,a b(3p2q) (pq)3p2

6、p q2q23021. (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE BD _. 答案 2 解析 AE AD DE AD 1 2AB ,BD AD AB , AE BD AD 1 2AB (AD AB )AD2 AD AB 1 2AB AD 1 2AB 240022. 二、利用数量积证明垂直问题 例 2 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1的中点, 求证:A1O平面 GBD. 证明 设A1B1 a,A 1D1 b,A1A c, 则 a b0,b c0,a c0,|a|b|c|. A1O A 1A AO A1A

7、1 2(AB AD ) c1 2a 1 2b, BD AD AB ba, OG OC CG 1 2(AB AD )1 2CC1 1 2a 1 2b 1 2c, A1O BD c1 2a 1 2b (ba) c bc a1 2a b 1 2a 21 2b 21 2b a 1 2(b 2a2) 1 2(|b| 2|a|2)0. 于是A1O BD ,即 A1OBD. 同理可证A1O OG ,即 A1OOG. 又OGBDO,OG平面 GBD,BD平面 GBD, A1O平面 GBD. 反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直,可分别构造与两直线平行的向量,只要证明这两个向量的

8、数量积为 0 即 可 (2)用向量法证明线面垂直,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量数量积证明线线垂 直即可 跟踪训练 2 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB60 , AB2AD,PD底面 ABCD.求证:PABD. 证明 在ADB 中,DAB60 ,AB2AD, 由余弦定理得,BD 3AD, 所以 AD2BD2AB2, 所以 DABD,则BD DA 0. 由 PD底面 ABCD,知 PDBD,则BD PD 0. 又PA PD DA , 所以PA BD (PD DA ) BD PD BD DA BD 0,即 PABD. 三、用数量积求解夹角和模 例

9、3 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,CACB1,BCA90 ,棱 AA12,点 N 为 AA1的中点 (1)求BN 的模; (2)求 cosBA1 ,CB 1 的值 解 由已知得|CA |CB|1,|CC 1 |AA 1 |2,AN1 2AA1 1 2CC1 . CA ,CC 1 CB,CC 1 CA,CB90 , 所以CA CC 1 CB CC 1 CA CB0. (1)因为BN CN CB CAANCBCA1 2CC1 CB, 所以|BN |2BN2 CA 1 2CC1 CB 2 CA 21 4CC1 2CB2121 42 2123, 所以|BN | |BN |2 3. (2)因为

10、BA1 CA 1 CBCACC 1 CB, CB1 CBCC 1 , 所以|BA1 |2BA 1 2(CACC 1 CB )2CA2CC 1 2CB21222126,|BA 1 | 6, |CB1 |2CB 1 2(CBCC 1 )2CB2CC 1 212225,|CB 1 | 5, BA1 CB 1 (CACC 1 CB) (CBCC 1 ) CC1 2CB222 123, 所以 cosBA1 ,CB 1 BA1 CB 1 |BA1 |CB 1 | 3 6 5 30 10 . 延伸探究 1(变结论)本例中条件不变,求BN 与CB 1 夹角的余弦值 解 由例题知,|BN | 3,|CB 1 |

11、 5, BN CB 1 CA 1 2CC1 CB (CB CC 1 ) 1 2CC1 2CB21 22 2 121. 所以 cosBN ,CB 1 BN CB 1 |BN |CB 1 | 1 3 5 15 15 . 所以BN 与CB 1 夹角的余弦值为 15 15 . 2(变条件)本例中,若 CACBAA11,其他条件不变,求异面直线 CA1与 AB 的夹角 解 由已知得|CA |CB|CC 1 |1,CA CC 1 CB CC 1 CA CB0, 因为|CA1 |2CA 1 2(CACC 1 )2CA2CC 1 212122, 所以|CA1 | 2, 因为|AB |2AB2(CBCA)2CB

12、2CA212122, 所以|AB | 2, 又因为CA1 AB(CACC 1 ) (CBCA)CA21. 所以 cosCA1 ,ABCA1 AB |CA1 |AB| 1 2 2 1 2. 所以CA1 ,AB120 , 所以异面直线 CA1与 AB 的夹角为 60 . 反思感悟 求向量的夹角和模 (1)求两个向量的夹角:利用公式 cosa,b a b |a|b|求 cosa,b ,进而确定a,b (2)求线段长度(距离):取此线段对应的向量; 用其他已知夹角和模的向量表示该向量; 利用|a| a2,计算出|a|,即得所求长度(距离) 跟踪训练 3 (1)已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1,

13、 设AB a, AD b, AA c, 则AB ,BD 等于( ) A30 B60 C90 D120 答案 D (2)已知在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,AA1ABAD1,且这三条棱彼此之间的夹角 都是 60 ,则 AC1的长为( ) A6 B. 6 C3 D. 3 答案 B 解析 设AB a,AD b,AA1 c,则|a|b|c|1, 且a,bb,cc,a60 , 因此 a bb cc a1 2. 由AC1 abc 得|AC 1 |2AC 1 2a2b2c22a b2b c2c a6. 所以|AC1 | 6,故选 B. 1.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,下列各组向

14、量的夹角为 45 的是( ) A.AB 与A 1C1 B.AB 与C 1A1 C.AB 与A 1D1 D.AB 与B 1A1 答案 A 2设 ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体,则有( ) A.AB C 1A a2 B.AB A 1C1 2a2 C.BC A 1C a2 D.AB C 1A1 a2 答案 C 3 已知空间四边形 OABC 中, OBOC, AOBAOC 3, 则 cos OA , BC 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C1 2 D0 答案 D 解析 OA BC OA (OC OB )OA OC OA OB |OA |OC |cosAOC|OA |OB |co

15、sAOB 1 2|OA |OC |1 2|OA |OB |0, 所以OA BC .所以 cosOA ,BC 0. 4若 a,b,c 为空间两两夹角都是 60 的三个单位向量,则|ab2c|_. 答案 5 解析 |ab2c|2(ab2c)2 a2b24c22a b4a c4b c 5. |ab2c| 5. 5.如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,设 ADAA11,AB2,P 是 C1D1的中点,则B1C 与A1P 所成角的大小为_,B 1C A 1P _. 答案 60 1 解析 方法一 连接 A1D(图略),则PA1D 就是B1C 与A 1P 所成角,连接 PD,在PA 1D 中, 易得

16、 PA1DA1PD 2,即PA1D 为等边三角形,从而PA1D60 ,即B1C 与A 1P 所成角 的大小为 60 ,因此B1C A 1P 2 2cos 60 1. 方法二 根据向量的线性运算可得 B1C A 1P (A 1A AD ) AD 1 2AB AD 21. 由题意可得 PA1B1C 2,则 2 2cosB1C ,A1P 1, 从而B1C ,A1P 60 . 1知识清单: (1)空间向量的夹角、投影 (2)空间向量数量积、性质及运算律 2方法归纳:化归转化 3常见误区:空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定 (2)当 a0,由 a b0 可得 ab 或 b0.

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