1、知识点知识点 28 直角三角形、勾股定理直角三角形、勾股定理 一、选择题一、选择题 7.(2020 宁波)如图， 在 RtABC 中， ACB90 ， CD 为中线， 延长 CB 至点 E， 使 BEBC， 连结 DE，F 为 DE 中点，连结 BF.若 AC8，BC6，则 BF 的长为 A2 B2.5 C3 D4 答案B 解析在 RtABC 中， AC8， BC6， 根据勾股定理， 得 AB 22 ACBC 10.CD 为 RtABC 斜边上的中线， CD 1 2 AB5.BEBC， F 为 DE 的中点， 由中位线定理， 得 BF 1 2 CD 1 2 52.5.因此本题选 B 6 （20
2、20 陕西）如图，在 3 3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B、C 都在格点上，若 BD 是 ABC 的高，则 BD 的长为（ ） A1013 13 B 9 13 13 C 8 13 13 D 7 13 13 第 6 题图 答案D解析本题考查了利用勾股定理求线段长、割补法求三角形面积以及等积法等知识.首先求出 ABC 的面积为 3.5，AC 13，再运用等积法求出 BD3.5 213 7 13 13 （2020包头）8、如图，在Rt ABC中，90ACB，D 是AB的中点，BECD ，交CD的延长线 于点 E若2AC ， 2 2BC ，则BE的长为（ ） A 2 6 3 B 6
3、 2 C 3 D 2 答案A 解析ACB=90，ABC 是直角三角形， 222 12ABACBC, 2 3AB .又点 D 是 AB 的中点，3CD .ABC 的面积等于BCD 面积的 2 倍，即 11 2 22 CD BEBC AC， 2 6 3 BE .故选 A. D B A C E D CB A 12（2020 河北）如图7，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l.下 列说法错误的是 A.从点P向北偏西45 走3km到达l B.公路l的走向是南偏西45 C.公路l的走向是北偏东45 D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l 答案A解析解析：如图
4、，在Rt PAB中，APB=90 ，PA=PB=6km，PAB=PBA=45 ,AB= 22 666 2 km.过点P作PCAB， 垂足为C， PC= 1 2 6 23 2km.点P向北偏西45 走32km 到达l，故选项A错误；过点A作DEPA，则1=2=45 ，公路l的走向是北偏东45 或南偏西45 ，故选 项B和C正确；过点C作CFPB，垂足为F.在Rt PCB中，PCB=90 ，PC=BC，PB=6km，CF=PF= 1 2 6=3km，即从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，故选项D正确. 16（2020 河北）图10是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.
5、现有五种正方形 纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图10的方式组成图案，使所围成的三角 形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4 答案B 解析设选取的三块纸片的面积分别为a,b，c（abc）,根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可 能为：a=b=1,b=2，此时ab=1；a=1，b=2，c=3, 此时ab=2；a=1，b=3，c=4, 此时ab=3；a=1，b=4， c=5, 此时ab=4；a=2，b=2，c=4, 此时ab=4；a=2，b=3，c=5, 此时ab=6.选
6、取的三块纸片的面积分 别是2,3，5时，所围成的三角形的面积最大，故答案为B. 15（2020 毕节）如图，在一个宽度为 AB 长的小巷内，一个梯子的长为 a，梯子的底端位于 AB 上的 点 P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点 C 处，点 C 到 AB 的距离 BC 为 b，梯子的倾斜角BPC 为 45 ;将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点 D 处，点 D 到 AB 的距离 AD 为 c，且此时梯子的倾斜角APD 为 75 ，则 AB 的长等于（ ） Aa Bb C 2 bc Dc l 图7 北 东 P 图10 答案D， 解析本题考查勾股定理的实际应用 解：如图，CBAB，APD45 ，PB
7、C45 PBPC DAAB，APD75 ，ADP15 作EPDEDP15 ，则AEP30 设 APx，则 EP2x，EAc2x 在 RtAPE 中，由勾股定理，得 AP2AE2PE2，即 x2(c2x)2(2x)2， x1（2+3）c（不合题意，舍去），x2（23）c PDPC，AD2AP2BP2BC2即 c2（23）c22b 2 整理，得 b（31）c ABAPPB（23）c（31）cc 故选 D 8 （2020黄石）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 H、E、F 分别是边 AB、BC、CA 的中点，若 EF+CH8，则 CH 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 答案 B 解析 根据
8、三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题： 在 RtABC 中， ACB90，点 H，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，EF1 2AB，CH 1 2AB， EF+CH8，CHEF1 284，故选：B 45 75 a b a c D C A B P 45 75 a b a c b E D C A B P E H F A C B 11 （2020广西北部湾经济区） 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kn， 门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，推开 双门， 双门间隙 CD 的距
9、离为 2 寸， 点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为 1 尺 （1 尺10 寸） ， 则 AB 的长是 （ ） A50.5 寸 B52 寸 C101 寸 D104 寸 答案 C 解析过 D 作 DEAB 于 E，如图 2 所示： 由题意得：OAOBADBC， 设 OAOBADBCr， 则 AB2r，DE10，OE= 1 2CD1，AEr1， 在 RtADE 中， AE2+DE2AD2，即（r1）2+102r2， 解得：r50.5， 2r101（寸） ， AB101 寸，因此本题选 C 4 （2020宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G， 当 EF
10、BC 时，EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 【解析】过点 G 作 HGBC， EFBC， GHBCEF， HGBB，HGEE， 在 RtDEF 和 RtABC 中，F30，C45 E60，B45 HGBB45，HGEE60 EGBHGE+HGB60+45105 故EGB 的度数是 105， 故选：D 二、填空题二、填空题 16（2020衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图已知O，P两点固定， 连杆PAPC140cm， ABBCCQQA60cm， OQ50cm， O， P两点间距与OQ长度相等 当 OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点
11、B恰好在线段MN上来回运动当点B运动至点 M或N时， 点A， C重合， 点P， Q， A， B在同一直线上 （如图3） （1） 点P到MN的距离为 cm； （2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为 cm 答案（1）160，（2） 640 9 解析（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OHPQ于H 由题意：OPOQ50cm，P，Q，A，B在同一直线上，PQPAAQ1406080（cm）， PMPA+BC140+60200（cm）.当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同 一直线上（如图3），当点B运动到点M处的PCO与点B运动到点N处的PCO全等，又PMPN
12、， PTMN. OHPQ，PHHQ40（cm）， cosP PHPT OPPM ， 40 50200 PT ，解得PT160（cm），点P到MN的距离为160 cm （2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QHPT于H设HAx cm 由题意ATPTPA16014020（cm），OAPAOP1405090（cm），OQ50cm，AQ 60cm， QHOA，QH2AQ2AH2OQ2OH2，602x2502（90 x）2，解得x 460 9 . HTAH+AT 640 9 （cm），点Q到MN的距离为 640 9 cm因此本题答案为（1）160 （2） 640 9 13 （2020绍兴）如图 1，
13、直角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪四块这样的直角三 角形纸片， 把它们按图2放入一个边长为3的正方形中 （纸片在结合部分不重叠无缝隙） ， 则图 2 中阴影部分面积为_ 答案4 5 解析本题考查了三角形的面积计算， 勾股定理 由题意可得， 直角三角形的斜边长为3， 一条直角边长为2，由勾股定理得直角三角形的另一条直角边长为： 22 325 ，故阴影部分的面积是 1 2544 5 2 因此本题答案为4 5 16(2020绥化)在 RtABC中，C90，若ABAC2，BC8，则AB的长是_ 答案17解析设 ABx，则 ACx2由勾股定理，得 x2(x2)282解得 x17 13（2020江苏徐
14、州）如图，在RtABC中，ABC=90，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF=5， 则DE= . （第13题） 答案5解析利用三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质进行计算，点D、E、F分 别为AB、BC、CA的中点，ABC=90，AC=2DE=2BF,BF=5，DE=5. 9 （2020齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含 45角，另一个含 30角，如图所示叠放，先 将含 30角的纸板固定不动， 再将含 45角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转， 使 BCDE， 如图所示， 则旋转角BAD 的度数为（ ） F E D B C A A15 B30 C45 D60 答案 B 解
15、析由平行线的性质可得CFAD90，由外角的性质可求BAD 的度数如图，设 AD 与 BC 交于点 F， BCDE， CFAD90， CFAB+BAD60+BAD， BAD30 故选：B 13. （2020 淮安）已知直角三角形斜边长为 16，则这个直角三角形斜边上的中线长为_. 答案8 解析根据直角三角形斜边上的中线性质得出 CD= 1 2AB，代入求出即可 在ACB 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，AB16， CD= 1 2AB8， 故答案为：8 18（2020无锡） 如图， 在 RtABC 中， ACB=90， AB=4， 点 D， E 分别在边 AB， AC 上， 且 DB
16、=2AD， AE=3EC，连接 BE，CD，相交于点 O，则ABO 面积最大值为 答案8 3 解析过点D作DFAC交BE于F （如图1） ， 易得BDFBAE， DF AE BD AB 2 3， AE=3EC， DF=2EC， COEDOF，CO OD CE CF 1 2，SAOB 2 3 SABC； 点 C 显然在以 AB 为直径的圆弧上运动，AB 中点为 M，当 CMAB 时，即点 C 在圆弧最高处时， ABC 面积最大，此时面积为1 2424，SABC 2 34 8 3. E O D BA C 14 （2020扬州） 九章算术是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如
17、图 所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一 根竹子原高 1 丈 （1 丈=10 尺） ， 中部有一处折断， 竹梢触地面处离竹根 3 尺， 试问折断处离地面多高?答： 折断处离地面 尺高. 答案 91 20 解析本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用 勾股定理解题设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺，根据勾股定理得：x2+32(10 x)2， 解得 x 91 20 因此本题答案为 91 20 12 （ 2020岳 阳 ） 如 图 ， 在A B CRt中 ，CD是 斜 边AB上 的 中 线
18、，20A， 则 B C D 答案70 解析在在ABCRt中， CD是斜边AB上的中线， ABBDADCD 2 1 ， ACDA20， BCDACBACD902070 E D 图2 图 1 M C AB O F E O D BA C 15.（2020湖北孝感）如图 1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图 形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得 到如图 2 的图案，记阴影部分的面积为 1 S,空白部分的面积为 2 S，大正方形的边长为 m，小正方形的边长 为 n，若 1 S= 2 S，则 n m 的值为_. （第 15
19、题 图 1） （第 15 题 图 2） 答案 3-1 2 . 解析设图 1 中三角形较短的直角边的长为 x， 则较长的直角边的长为 x+n， 由题意可得 S1=2nx+n 2, S 2=2x 2, 由题意可得 2nx + n2= 2x2, m2= x2+ (x + n)2,解得 x = m 2 n = 31 2 m, , 所以 n m = 3-1 2 .故答案为 3-1 2 . 15.（2020达州）已知ABC 的三边 a、b、c 满足 b+|c 3|+a2-8a=4 1-19，则ABC 的内切圆半径 = . 答案1 解析 式子 b+|c 3|+a2-8a=4 1-19 可整理为： （a-4）
20、2（ 1 2）2+|c 3|=0，由平方、二次 根式、绝对值的非负性可得：a-4=0 且 1 2=0、c 3 = 0，所以 a=4，b=5，c=3，由勾股定理得逆 定理得ABC 是直角三角形，所以 r=1 2（345）=1 11（2020菏泽）如图，在ABC 中，ACB90 ，点 D 为 AB 边的中点，连接 CD，若 BC4，CD 3，则 cosDCB 的值为_ 答案 3 2 解析结合直角三角形斜边中线的性质把DCB 等量转化到直角三角形中求余弦值在 RtABC 中， A C B D 点 D 为 AB 边的中点， CD 2 1 AB， CDBD， AB=2CD=6， DCB=B， cosDC
21、BcosB AB BC 6 4 3 2 15 “健康荆州，你我同行” ，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步. 已知此步道外形近似于如图所示的 RtABC，其中C=90，AB 与 BC 间另有步道 DE 相连，D 在 AB 正中 位置，E 地与 C 相距 1 km.若 tanABC= 4 3 ， DEB=45， 小张某天沿 ACEBDA 路线跑一圈， 则他跑了 km. 答案24 解析过点 D 作 DFBC，垂足为 F，设 DF=x， DEB=45，tanABC= 4 3 ， tanABC= BF DF = 4 3 ，tanDEF= EF DF =1， 4 3 BFx=
22、，EFx=. CE=1， 47 11 33 BCxxx=+ + =+.DFBC，ACBC，DFAC， D 在 AB 正中位置，DF 是ABC 的中位线，AC=2DF=2x， 在在 RtABC 中，C=90，tanABC= 4 3 ， tanABC= BC AC = 4 3 ，即 23 7 4 1 3 x x = + ，解得x=3， AC=6，BC=8， 22 6810AB =+=， 当小张某天沿 ACEBDA 路线跑一圈时，则他跑了 () 6 8 1024ACBCABkm+= + += 15.（2020安顺安顺）如图，ABC中，点E在边AC上，EBEA，2ACBE ，CD垂直于BE的 延长线于
23、点D，8BD，11AC ，则边BC的长为 . 答案4 5解析 过点 C，作 CFAB，交 AB 的延长线于点 F,作点 F 关于直线 CD 的对称点 G.则 ,FCEAFABE ， CF=CG,DF=DG.EB=EA， AABE ， FCE F， EF=EC. 即 AC=BF=11. DF=DG=3，BG=5. CF=CG, 2FGCFCBE ，即 CG=BG=5，则 CD=4.在 Rt BDC 中， 22 484 5BC . 18（2020 宜宾）在 Rt ABC 中，ACB90 ，D 是 AB 的中点，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，连结 CD 交 BE 于点 O若 AC8，BC6，
24、则 OE 的长是 答案 9 5 11 解析在 Rt ABC 中， ACB90 ， AC8， BC6， 根据勾股定理， 得 AB 22 ACBC 22 86 10S ABC24，D 是 AB 的中点，BD5，S BCD12，如图，过点 E 作 EFAB 于点 F，过点 O 分别作 OGAB 于点 G，OHBC 于点 H，BE 平分ABC，CEFE，OGOH，设 CEFEm，OGOHn，AE8m，S ABE 1 2 AE BC 1 2 AB FE，AE BCAB FE， 6（8m）10m，CEFEm3，在 Rt ABC 中，ECB90 ，根据勾股定理，得 BE 22 CEBC 22 36 3 5
25、S BCD 1 2 BD OG+ 1 2 BC OH， 1 2 5 n+ 1 2 6 n12， OG OHn 24 11 ，由 OHBC 得 BO BE OH CE 24 11 3 8 11 ，OE 3 11 BE 9 5 11 第 15 题图 第 15 题答 18 （2020娄底）由 4 个直角边长分别为, a b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方 形的面积 2 c等于小正方形的面积 2 ()ab与 4 个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理 222 abc，还可以用证明结论：若0a ，0b ，且 22 ab为定值，则当a b时，ab取得 最大值. 答案= 解析本题考查了
26、勾股定理的应用和完全平方公式，设 22 ab为定值k，则 222 kcab，由“张爽弦 图”可知， 222 2()()abcabkab，即 2 () 2 kab ab ，要使ab的值最大，则 2 ()ab需最 小，又 2 ()0ab，当ab时， 2 ()ab取得最小值，最小值为 0，则当ab时， 16 （2020通 辽）如图，在ABC 中，ACB90 ，ACBC，点 P 在斜边 AB 上，以 PC 为直角边作等腰直角三角形 PCQ，PCQ90 ，则 PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 答案AP2+BP2=2PC2 解析如图，连结 BQ由题意得：ACB=PCQ=90，ACBPCB=PCQ
27、PCB，即 ACP=BCQ，ACBC，PCQC，ACPBCQ（SAS） ，AP=BQ，A=CBQ=45， CBP=45，CBP+CBQ=90，PBQ 是直角三角形，BQ2+BP2=PQ2，即 AP2+BP2=PQ2， PCQ 是等腰直角三角形，PQ= 2PC，故 PQ 2=2PC2，AP2+BP2=2PC2 ab取得最大值，最大值为 2 k ，因此本题填= 18 （2020邵阳）如图，在 RtABC 中，ACB=90,斜边 AB=2,过点 C 作 CF/AB,以 AB 为边作菱 Q P C BA Q P C BA F G H 形 ABEF,若F=30,则 RtABC 的面积为 . 答案 1 2
28、 解析本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，利用直角三角形中的 30 角所对直角边是斜边一半的 性质，求出 HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到 HE=CG，最终求出直角三角形面积 如图，分别过点 E、C 作 EH、CG垂直 AB，垂足为点 H、G， 根据题意四边形 ABEF为菱形， AB=BE= 2， 又ABE=30 在 RT BHE 中，EH= 2 2 ， 根据题意，ABCF， 根据平行线间的距离处处相等， HE=CG= 2 2 ， Rt ABC的面积为 121 2= 222 因此本题答案为 1 2 12 （2020宁夏）我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的
29、问题： “今有圆 材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材， 埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深 ED1 寸，锯道长 AB1 尺（1 尺10 寸） 问 这根圆形木材的直径是 26 寸 【解析】由题意可知 OEAB， OE 为O 半径， 尺5 寸， 设半径 OAOEr， ED1， ODr1， 则 RtOAD 中，根据勾股定理可得： （r1）2+52r2， 解得：r13， 木材直径为 26 寸； 故答案为：26 16 （2020宁夏）2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股圆方图 ，它是由四个全等的直
30、角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1） ，且大正 方形的面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b如果将四个 全等的直角三角形按如图 2 的形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为 27 【解析】由题意可得在图 1 中：a2+b215， （ba）23， 图 2 中大正方形的面积为： （a+b）2， （ba）23 a22ab+b23， 152ab3 2ab12， （a+b）2a2+2ab+b215+1227， 故答案为：27 三、解答题三、解答题 2222（2020哈尔滨）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端
31、点均在小正方 形的顶点上. （1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以CD为边的等腰CDG，点G在小正方形的顶点上， 且CDG的周长1010.连接EG， 请直接写出线段EG的长. 解析本题考查了使用正方形判定等进行尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形尺规作图 方法是解题的关键，（1） 以A和B为圆心， AB为半径作圆， 格点即为点F和点E；（2） 因为CDG的周长 1010 ， CD 10，所以腰长是5，以C或D为圆心，5个格长为半径作圆，格点即为点G，最后勾股得出EG 512 22 答案解：(1)如图所示. (2)如图所示， E
32、G 5 16 （2020 贵阳） （8 分）如图，在 4 4 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别 按下列要求画三角形 （1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数 答案解： （1）如图中， ABC 即为所求 （2）如图中， ABC 即为所求 （3） ABC 即为所求 23 （2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国 古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵
33、爽为了证明勾股定理，创制 了一幅“弦图”(如图 1)，后人称之为“赵爽弦图” ，流传至今. (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该 定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三 个图形中面积关系满足 321 SSS的有 个； F E G 如图 7 所示， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分 别为 21 SS、，直角三角形面积为 3 S，请判断 321 SSS、的关系并证明；
34、 (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形， 重复这一过程就可以得到如图 8 所示的“勾股树”.在如图 9 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正 方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d，已知1=2= 3=，则当 变化时，回答下列问题：(结果可用含 m 的式子表示) 2222 dcba ； b 与 c 的关系为 ，a 与 d 的关系为 . 解析本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法 （1）按照教材内容叙述勾股定理的内容； 利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于 a、b、c 的等式
35、，然后化简整理即可得到勾股定理 的结论； （2）在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明 321 SSS，进而得到答 案为 3； 首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出 321 SSS、，然后结合勾股定理证明 321 SSS. （3）首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形 A、B、C、D 的面积和等于正方形 M 的面积，然后代入数值可以得到 2222 dcba 2 m. 利用1=2=3=， 得到它们的正切值 e f c d a b ， 再结合勾股定理解方程组可以确定 b=c， a+d=m. 答案解：(1)如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么
36、 222 cba. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）1 分 证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分) 在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即 22 )(4 2 1 ababc，化简得 222 cba. 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即4 2 1 )( 22 abcba，化简得 222 cba. 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即 2 2 1 2 2 1 )( 2 1 cabbaba，化简得 222 cba.3 分 (2)34
37、 分 结论 321 SSS.5 分 证明如下： 2 3 22 21 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1c S ba SS 3 222 )( 8 1 Scba 222 cba， 321 SSS.7 分 (3)如图所示，由（1）的证明可知： MFEDCBA SSSSSSS， 大正方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d， 2222 dcba 2 m. 答案： 2 m8 分 如图所示，设正方形 E、F 的边长分别为 e、f， 1=2=3=， e f c d a b . 又 2222 dcba 2 m， 222 eba， 222 f
38、dc， b=c，a+d=m. 答案：b=c，9 分 a+d=m.11 分 23 （2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理. 在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾 股定理，创制了一幅“弦图”(如图 1)，后人称之为“赵爽弦图” ，流传至今. (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证 明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形， 这三个
39、图形中面积关系满足 321 SSS的有 个； 如图7所示， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为 21 SS、， 直角三角形面积为 3 S，请判断 321 SSS、的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过 程就可以得到如图 8 所示的“勾股树”.在如图 9 所示的“勾股树”的某部分图形中， 设大正方形 M 的边长为定值 m， 四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d，已知1=2=3=，则当 变化时，回答下列问 题：(结果可用含 m 的式子表示) 2222
40、dcba ； b 与 c 的关系为 ，a 与 d 的关系为 . 解析本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法 （1）按照教材内容叙述勾股定理的内容； 利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于 a、b、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论； （2）在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明 321 SSS，进而得到答案为 3； 首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出 321 SSS、，然后结合勾股定理证明 321 SSS. （3）首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形 A、B、C、D 的面积和等于正方形 M 的面积，然后 代入数值可以得到
41、2222 dcba 2 m. 利用1=2=3=，得到它们的正切值 e f c d a b ，再结合勾股定理解方程组可以确定 b=c，a+d=m. 答案解：(1)如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 222 cba. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）1 分 证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分) 在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即 22 )(4 2 1 ababc，化简得 222 cba. 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即
42、4 2 1 )( 22 abcba，化简得 222 cba. 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即 2 2 1 2 2 1 )( 2 1 cabbaba，化简得 222 cba.3 分 (2)34 分 结论 321 SSS.5 分 证明如下： 2 3 22 21 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1c S ba SS 3 222 )( 8 1 Scba 222 cba， 321 SSS.7 分 (3)如图所示，由（1）的证明可知： MFEDCBA SSSSSSS， 大正方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c
43、，d， 2222 dcba 2 m. 答案： 2 m8 分 如图所示，设正方形 E、F 的边长分别为 e、f， 1=2=3=， e f c d a b . 又 2222 dcba 2 m， 222 eba， 222 fdc， b=c，a+d=m. 答案：b=c，9 分 a+d=m.11 分 23. （2020 牡丹江） 等腰三角形 ABC 中， ABAC4， BAC45 ， 以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD， CAD 为 90 ，请画出图形，并直接写出点 B 到 CD 的距离. 解析根据题目条件先画出相应的图形，分点 D 在 AC 的左侧或右侧两种情况讨论，然后根据特殊的 45 角及相
44、关线段长度，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求出点 B 到 CD 的垂线段的长度，即点 B 到 CD 的距离. 答案解：本题有两种情况：点 B 到 CD 的距离为 2 2；点 B 到 CD 的距离为 4-22. （每图正确得 1 分，每个答案正确得 2 分） 16. （2020安顺安顺）如图，在4 4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求 画三角形. （1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数. 图图图 解析 画直角三角形的关键在于利用勾股定理的逆定理，即一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是直角三角形，同时，合理使用格点三角形的特征.（1）显然利用边长为 3、4、5 即可画出直角 三角形；（2）可以借助三边长为 22 2、 、的特点画直角三角形；（3）可以借助三边长为2 2 210、 画出 直角三角形.本题画法不唯一. 答案（答案不唯一） （1）答图（2）答图 （3）答图 D B A C A B C D
